案例设计一三角形面积的计算 设计意图 几年前，我教“三角形面积的计算”前，让每位学生准备两个完全一样的直角三角形、 锐角三角形和钝角三角形。有学生问我：学习平行四边形面积的计算时，是把平行四边形转 化成长方形来推导出公式的，今天为什么要准备三组两个完全一样的三角形？当时，我没能 作出“详细”的解释，而是建议这位学生先去看看书，预习预习。课堂上，我按照书上的思 路组织学生用准备的三组三角形，通过旋转、平移把它们转化成平行四边形，推导出三角形 面积的计算公式。课后，每想到这件事，我总觉得心里不很踏实：学生的问题通过看教材和 上课就能明白了吗？上课时学生的操作是一种应答式的操作，这不像是引导学生推导公式， 倒像是在验证公式。华罗庚先生说过：“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前， 怎样去找出公式来。”这样的教学很显然没有能很好地去发展学生的创造性思维和培养学生 主动探索知识的能力。 今年，运用苏教版教材（修订本）再次教学“三角形面积的计算”公式推导时，在新课 标理念的指导下，我力求在以下几个方面有所突破： 1.指导公式的思路。以书上“拼”的思路为主，渗透“分”的思想，即把一个平行四 边形沿一条对角线剪开，分成两个三角形，让学生猜一猜一个三角形的面积，并简单说出想 法。 2.学生操作的性质。由原来的应答性操作转化为探索性操作。在学生明确要把三角形 转化为己经学过并能计算出面积的图形这一操作要求后，提供给学生一个长方形、一个平行 四边形和四个三角形，其中四人小组中的1、2、3号同学的四个三角形中分别有两个完全一 样的直角、锐角、钝角三角形，而4号同学则四个三角形各不相同。学生在操作中要去尝试， 在失败后要去比较、选择，这样的操作具有很强的选择性、探索性和创造性。而且只有在尝 试失败后，才能深深体会到“只有两个完全一样的三角形”才能拼成一个平行四边形： 3.教学的组织形式。分四人小组进行操作、讨论，这已为广大教师所采用，但小组中 四名学生的材料各不相同，操作中可以互相借鉴、帮助，却无法模仿别人的操作。4号同学 无法用两个三角形拼成一个平行四边形，促使其他学生自觉去分析、研究拼成平行四边形的 两个三角形的特点、关系，并促使4号同学动脑筋去探索其他方法（如可制作与手中完全一 样的三角形等)
案例设计－三角形面积的计算 设计意图 几年前，我教“三角形面积的计算”前，让每位学生准备两个完全一样的直角三角形、 锐角三角形和钝角三角形。有学生问我：学习平行四边形面积的计算时，是把平行四边形转 化成长方形来推导出公式的，今天为什么要准备三组两个完全一样的三角形?当时，我没能 作出“详细”的解释，而是建议这位学生先去看看书，预习预习。课堂上，我按照书上的思 路组织学生用准备的三组三角形，通过旋转、平移把它们转化成平行四边形，推导出三角形 面积的计算公式。课后，每想到这件事，我总觉得心里不很踏实：学生的问题通过看教材和 上课就能明白了吗?上课时学生的操作是一种应答式的操作，这不像是引导学生推导公式， 倒像是在验证公式。华罗庚先生说过：“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前， 怎样去找出公式来。”这样的教学很显然没有能很好地去发展学生的创造性思维和培养学生 主动探索知识的能力。 今年，运用苏教版教材（修订本）再次教学“三角形面积的计算”公式推导时，在新课 标理念的指导下，我力求在以下几个方面有所突破： 1．指导公式的思路。以书上“拼”的思路为主，渗透“分”的思想，即把一个平行四 边形沿一条对角线剪开，分成两个三角形，让学生猜一猜一个三角形的面积，并简单说出想 法。 2．学生操作的性质。由原来的应答性操作转化为探索性操作。在学生明确要把三角形 转化为已经学过并能计算出面积的图形这一操作要求后，提供给学生一个长方形、一个平行 四边形和四个三角形，其中四人小组中的 1、2、3 号同学的四个三角形中分别有两个完全一 样的直角、锐角、钝角三角形，而 4 号同学则四个三角形各不相同。学生在操作中要去尝试， 在失败后要去比较、选择，这样的操作具有很强的选择性、探索性和创造性。而且只有在尝 试失败后，才能深深体会到“只有两个完全一样的三角形”才能拼成一个平行四边形。 3．教学的组织形式。分四人小组进行操作、讨论，这已为广大教师所采用，但小组中 四名学生的材料各不相同，操作中可以互相借鉴、帮助，却无法模仿别人的操作。4 号同学 无法用两个三角形拼成一个平行四边形，促使其他学生自觉去分析、研究拼成平行四边形的 两个三角形的特点、关系，并促使 4 号同学动脑筋去探索其他方法（如可制作与手中完全一 样的三角形等）
4.多媒体手段的使用。公式推导过程中只是当学生看书上的静态图难以理解图意时， 用多媒体进行动态的旋转、平移，使学生明白图意，较好地发挥了多媒体化静为动的功能， 而不过多依赖使用多媒体。 教学片段一 一、创设情景，合理清想 (电脑出示下面左图。)学生口算面积。 (连接平行四边形的一条对角线，隐去其中一个三角形，得到右图。)学生猜猜三角形 的面积。 3厘米 13厘米 4厘来 4厘来 师：刚才同学们猜得对不对呢？现在你有办法来说明吗？那怎么办？ 生1：现在我们不能说明他猜得对不对，如果我们知道三角形的面积怎样计算就好了。 生2：如果我们知道三角形面积的计算公式就好了。 二、尝试操作，自主探索 1.师：三角形的面积计算没有学过，你准备怎样着手来研究它呢？ 生1：我想看看它与学过的什么图形有关系。 生2：我想把它转化成己经学过的图形。 生3：我想试试三角形能不能转化成长方形。 生4：我想试试三角形能不能转化成平行四边形。 生5：我想研究三角形和长方形或平行四边形之间有没有关系。 师：你们的想法都有一定的道理，继续努力，我相信你们都能成功！ 师：请每个同学把信封里准备的学具倒出来(1个长方形、1个平行四边形和4个三角 形)，自己先动手试试，看能想出什么办法。 (多数同学在尝试中有所发现。) 师：把你们的发现先在四人小组交流。 师：好！很多同学都有办法了。谁愿意把自己的研究情况展示给大家看？（在视频展示台 上。) 生1（边操作边说）：我用两个三角形拼成了一个平行四边形。 生2（边操作边说）：我也用两个三角形拼成了一个平行四边形
4．多媒体手段的使用。公式推导过程中只是当学生看书上的静态图难以理解图意时， 用多媒体进行动态的旋转、平移，使学生明白图意，较好地发挥了多媒体化静为动的功能， 而不过多依赖使用多媒体。 教学片段一 一、创设情景，合理猜想 （电脑出示下面左图。）学生口算面积。 （连接平行四边形的一条对角线，隐去其中一个三角形，得到右图。）学生猜猜三角形 的面积。 师：刚才同学们猜得对不对呢?现在你有办法来说明吗?那怎么办? 生 1：现在我们不能说明他猜得对不对，如果我们知道三角形的面积怎样计算就好了。 生 2：如果我们知道三角形面积的计算公式就好了。 二、尝试操作，自主探索 1．师：三角形的面积计算没有学过，你准备怎样着手来研究它呢? 生 l：我想看看它与学过的什么图形有关系。 生 2：我想把它转化成已经学过的图形。 生 3：我想试试三角形能不能转化成长方形。 生 4：我想试试三角形能不能转化成平行四边形。 生 5：我想研究三角形和长方形或平行四边形之间有没有关系。 师：你们的想法都有一定的道理，继续努力，我相信你们都能成功! 师：请每个同学把信封里准备的学具倒出来（1 个长方形、1 个平行四边形和 4 个三角 形），自己先动手试试，看能想出什么办法。 （多数同学在尝试中有所发现。） 师：把你们的发现先在四人小组交流。 师：好!很多同学都有办法了。谁愿意把自己的研究情况展示给大家看?（在视频展示台 上。） 生 1（边操作边说）：我用两个三角形拼成了一个平行四边形。 生 2（边操作边说）：我也用两个三角形拼成了一个平行四边形
生3（边操作边说）：我用两个三角形拼成了长方形。 (屏幕上显示了分别用两个完全一样的锐角、钝角和直角三角形拼咸的平行四边形。) 师：很好！还有研究情况和他们不完全一样的吗？ 生4（边操作边说）：我也用两个三角形拼成了一个平行四边形，但拼成的平行四边形 和他们两个不一样。 生5：我把平行四边形（沿一条“对角线”）剪开，得到两个三角形，而且我发现这两 个三角形是一模一样的。 师：真爱动脑筋！还有研究情况和他们不完全一样的吗？ 师：刚才这些同学都找到了三角形和已学过的图形之间的联系。你们能把这么多种方法 分分类吗？ 生1：可以分成三类：一类是用两个三角形拼成一个平行四边形：第二类是用两个三角 形拼成一个长方形：第三类是把一个平行四边形分成两个三角形。 生2：因为长方形是特殊的平行四边形，所以我觉得可以分成两类。 师：你能把知识联系起来思考，很好！ 师：同学们先来看第一类一一用两个三角形拼成一个平行四边形。你们都用三角形拼成 平行四边形了吗？（指着其中没有两个完全一样的三角形的学生问）你也有4个三角形，怎 么没有想到把它转化成平行四边形？试过没有？ 生3（很委曲地）：我的不能。 师：不能？谁愿意帮助他？ 生4（很有把握地上来操作，尝试了好几次）：他的不能。 师：不能？怎么回事呢？ 生4：他的三角形不一样。 师：那怎样的两个三角形才能拼成一个平行四边形呢？ 生5：我想是两个一样的三角形才能够拼成一个平行四边形。 (很多学生若有所悟地微微点点头。) 师：请拼出平行四边形的同学把所用的两个三角形拿起来比比看，是不是这样？ 生（欣喜)：真是这样！ 师：这样的三角形我们称它们是完全一样的三角形（板书：完全一样)。“完全一样” 是什么意思？
生 3（边操作边说）：我用两个三角形拼成了长方形。 （屏幕上显示了分别用两个完全一样的锐角、钝角和直角三角形拼咸的平行四边形。） 师：很好!还有研究情况和他们不完全一样的吗? 生 4（边操作边说）：我也用两个三角形拼成了一个平行四边形，但拼成的平行四边形 和他们两个不一样。 生 5：我把平行四边形（沿一条“对角线”）剪开，得到两个三角形，而且我发现这两 个三角形是一模一样的。 师：真爱动脑筋!还有研究情况和他们不完全一样的吗? 师：刚才这些同学都找到了三角形和已学过的图形之间的联系。你们能把这么多种方法 分分类吗? 生 1：可以分成三类：一类是用两个三角形拼成一个平行四边形；第二类是用两个三角 形拼成一个长方形；第三类是把一个平行四边形分成两个三角形。 生 2：因为长方形是特殊的平行四边形，所以我觉得可以分成两类。 师：你能把知识联系起来思考，很好! 师：同学们先来看第一类——用两个三角形拼成一个平行四边形。你们都用三角形拼成 平行四边形了吗?（指着其中没有两个完全一样的三角形的学生问）你也有 4 个三角形，怎 么没有想到把它转化成平行四边形?试过没有? 生 3（很委曲地）：我的不能。 师：不能?谁愿意帮助他? 生 4（很有把握地上来操作，尝试了好几次）：他的不能。 师：不能?怎么回事呢? 生 4：他的三角形不一样。 师：那怎样的两个三角形才能拼成一个平行四边形呢? 生 5：我想是两个一样的三角形才能够拼成一个平行四边形。 （很多学生若有所悟地微微点点头。） 师：请拼出平行四边形的同学把所用的两个三角形拿起来比比看，是不是这样? 生（欣喜）：真是这样! 师：这样的三角形我们称它们是完全一样的三角形（板书：完全一样）。“完全一样” 是什么意思?
生6：两个三角形放在一起完全重合。 生7：它们形状一样，大小相同。 师：对了，只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形！刚才同学们用两个完 全一样的锐角、钝角和直角三角形都分别拼成了一个平行四边形。三角形按角来分类还有第 四种、第五种吗？ 所以，我们也可以说：只要是两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。 师：同学们再来看第二类一一把一个平行四边形分成两个三角形。想一想，分成的两个 三角形有关系吗？ 生：分成的两个三角形我想是完全一样的，而且我用重叠的方法证实了这一结论。 师：怎样用两个完全一样的三角形很快地拼成一个平行四边形呢？ 请同学看书上的图。你能看懂图的意思吗？ (学生借助学具说说图的意思。电脑动态演示旋转、平移的过程，师边演示边板书：旋 转、平移。) 师：请大家将两个完全+样的三角形用这种方法拼一拼。（同时指名到黑板上操作。） 师：同学们观察屏幕上己经拼好的图，思考一个三角形与拼成的平行四边形有什么关系？ (得出三角形面积的计算公式，并用字母S=Qh÷2表示。) 教学片段二 (练习中)出示图形： 12厘米 12厘米 15厘米 15厘米 1.学生口答计算面积的算式和结果。 2.师：这两个三角形有什么关系？ 生1：它们面积相等。 生2：它们的底相等，高也相等，所以面积相等。 3.师：用这两个三角形能拼成一个平行四边形吗？它们面积相等怎么不能拼成一个平行 四边形呢？从这里你能看出什么？ 生1：面积相等的两个三角形不一定能拼成一个平行四边形
生 6：两个三角形放在一起完全重合。 生 7：它们形状一样，大小相同。 师：对了，只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形!刚才同学们用两个完 全一样的锐角、钝角和直角三角形都分别拼成了一个平行四边形。三角形按角来分类还有第 四种、第五种吗? 所以，我们也可以说：只要是两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。 师：同学们再来看第二类——把一个平行四边形分成两个三角形。想一想，分成的两个 三角形有关系吗? 生：分成的两个三角形我想是完全一样的，而且我用重叠的方法证实了这一结论。 师：怎样用两个完全一样的三角形很快地拼成一个平行四边形呢? 请同学看书上的图。你能看懂图的意思吗? （学生借助学具说说图的意思。电脑动态演示旋转、平移的过程，师边演示边板书：旋 转、平移。） 师：请大家将两个完全+样的三角形用这种方法拼一拼。（同时指名到黑板上操作。） 师：同学们观察屏幕上已经拼好的图，思考一个三角形与拼成的平行四边形有什么关系? （得出三角形面积的计算公式，并用字母 表示。） 教学片段二 （练习中）出示图形： 1．学生口答计算面积的算式和结果。 2．师：这两个三角形有什么关系? 生 1：它们面积相等。 生 2：它们的底相等，高也相等，所以面积相等。 3．师：用这两个三角形能拼成一个平行四边形吗?它们面积相等怎么不能拼成一个平行 四边形呢?从这里你能看出什么? 生 1：面积相等的两个三角形不一定能拼成一个平行四边形
生2：只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。 生3：“面积相等”不一定“完全一样”，而“完全一样”表示形状相同、面积相等。 4.师板书：完全一样≠面积相等。 评析 本教学片段的设计体现了如下特点： 1.教学中把学习的主动权交给学生，让学生发现问题、提出问题并尝试自行解决问题。 课伊始，教师创设一定的情境，让学生大胆地猜想，并让学生对猜想进行判断。学生面 对新的问题，通过直观多数同学能猜出三角形的面积，但又无法说明（或证明），因而产生 了要研究三角形面积计算方法的迫切需要，从中自己提出要研究的问题。在此基础上，让学 生带着问题运用学具自己进行探索、研究。学生探索、研究的过程，是从盲目地拼摆到在尝 试中发现三角形和其他已经学过的图形之间关系的过程，在思维上是一种从无序到有序的过 程，同时这也是前人探索知识的一种过程，很好地培养了学生解决问题的能力。 2.学生是操作的主体，更是思维的主体。本片段教学过程，主要是学生自己独立思考、 操作、交流的过程。学生操作目标的定向、操作方法的尝试运用、操作结论的发现等都是来 自学生自己思维的积极调动，较好地改变了在课堂上为了体现学生的主体参与而让学生单纯 进行模仿操作，仅让学生作为操作主体的现象。应该说，学生的操作绝不能离开目标、离开 他们自己的思维，没有主动、积极思维参与的操作过程是一种低层次的、实用效果不好的过 程。所以，上述教学过程中学生首先是思维的主体，同时也是操作的主体。 3.较好地发挥小组合作作用和学生的自能评价作用。探索三角形和已经学过的图形之 间的面积关系这一教学环节，是让学生先自己独立操作再小组交流、互相启发、互相帮助的 过程。因而，在四人小组中学生操作的材料有所区别，解决问题的方法呈现多样。这不仅有 利于培养学生思维的灵活性、深刻性，也有利于在学生的交流、启发中培养其合作与交流的 能力：同时在学生的讨论争辩评价中，发展其思维的深刻性和自我评价能力
生 2：只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。 生 3：“面积相等”不一定“完全一样”，而“完全一样”表示形状相同、面积相等。 4．师板书：完全一样 面积相等。 评析 本教学片段的设计体现了如下特点： 1．教学中把学习的主动权交给学生，让学生发现问题、提出问题并尝试自行解决问题。 课伊始，教师创设一定的情境，让学生大胆地猜想，并让学生对猜想进行判断。学生面 对新的问题，通过直观多数同学能猜出三角形的面积，但又无法说明（或证明），因而产生 了要研究三角形面积计算方法的迫切需要，从中自己提出要研究的问题。在此基础上，让学 生带着问题运用学具自己进行探索、研究。学生探索、研究的过程，是从盲目地拼摆到在尝 试中发现三角形和其他已经学过的图形之间关系的过程，在思维上是一种从无序到有序的过 程，同时这也是前人探索知识的一种过程，很好地培养了学生解决问题的能力。 2．学生是操作的主体，更是思维的主体。本片段教学过程，主要是学生自己独立思考、 操作、交流的过程。学生操作目标的定向、操作方法的尝试运用、操作结论的发现等都是来 自学生自己思维的积极调动，较好地改变了在课堂上为了体现学生的主体参与而让学生单纯 进行模仿操作，仅让学生作为操作主体的现象。应该说，学生的操作绝不能离开目标、离开 他们自己的思维，没有主动、积极思维参与的操作过程是一种低层次的、实用效果不好的过 程。所以，上述教学过程中学生首先是思维的主体，同时也是操作的主体。 3．较好地发挥小组合作作用和学生的自能评价作用。探索三角形和已经学过的图形之 间的面积关系这一教学环节，是让学生先自己独立操作再小组交流、互相启发、互相帮助的 过程。因而，在四人小组中学生操作的材料有所区别，解决问题的方法呈现多样。这不仅有 利于培养学生思维的灵活性、深刻性，也有利于在学生的交流、启发中培养其合作与交流的 能力；同时在学生的讨论争辩评价中，发展其思维的深刻性和自我评价能力