第6章 【例673】 (题目】 电荷Q均匀分布在半径为R的球体内,求该带电球体的能量。 题解】用两种方法求解 解法1:直接用电场能量密度积分法来计算。 首先,应用高斯定理求出空间的场强分布。 0R:E·dS=E4xr29 30 E 4丌Er 4R 由于场强分布具有球对称性,由公式=可知/电场能量 密度分布也具有球对敌别取两个同心薄球壳状体积元来计算电 场能量。薄球壳的体积为 。dJ=4兀r2dr 《工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.7.3】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 【题目】 ♂ e Q R o 电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，求该带电球体的能量。 【题解】 解法1: 用两种方法求解 直接用电场能量密度积分法来计算。 首先，应用高斯定理求出空间的场强分布。 0 r R: 2 E dS E4π r S = 3 0 π 3 1 4 r i Q = r 3 0 1 4π R r Q E = r R: 2 E dS E4π r S = 0 Q = 2 0 2 4π r Q E = 由于场强分布具有球对称性，由公式 可知，电场能量 密度分布也具有球对称性， 2 2 we = 0 E 3 4π 3 R Q = 电荷体密度 故分别取两个同心薄球壳状体积元来计算电 场能量。薄球壳的体积为 。 dV 4π r dr 2 = r
第6章 【例673】 E1 0R 4πEnR 24c 薄球壳dⅣ=的电场能量为 dw=udv=-8E4tr dr=2IE E r dr 球内电 总电场能量为所有薄球壳中电场能量的相加,即 场能量 W=dW=[-sE2dy 40兀EnR8ER 1 2TCOEfr-dr+ D 2TEoE2r-dr 球外电 R 场能量 2TE0( rdr 4丌EnR 所以空电场总能量 2 30 dr W 4丌Er 20丌EnR 工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.7.3】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 ♂ 3 0 1 4π R r Q E = 2 0 2 4π r Q E (0 r R) = (r R) 薄球壳 dV 中的电场能量为 4π r dr 2 = dW =wdV 总电场能量为所有薄球壳中电场能量的相加，即 E 4πr dr 2 2 0 2 1 = 2π E r dr 2 2 0 = W = dW = E dV 2 0 2 1 = + R R 2π E r dr 2π E r dr 2 2 0 2 0 2 2 0 1 = R r r R rQ 0 2 2 3 0 0 ) d 4π 2π ( + R r r r Q ) d 4π 2π ( 2 2 2 0 0 R Q 0 2 40π = R Q 0 2 8π + R W Q 0 2 20π 3 = 所以空间电场总能量 球外电 场能量 球内电 场能量
第6章 【例673】 解法从电场能量的建立过程来计算 试想原来球体不带电,电荷是从无穷远处一点点搬运来的。在搬 运电荷的过程中,外力要不断地克服电场力做功,这些功最终转 化为电场的能量。 假设:电荷是由内而外一层一层被从无穷远处搬运来的。 现在搬运的电荷q已经占满了半径为r的 R 球体,球体表面的电势为 4r U 4丌Enr4πEar3 38 再搬运dq=p4的电荷到球表面,外力克服电 场力做的元功为 电荷体密度 da=Ud 4p 30 dr 38 4R 工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.7.3】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 ♂ R 解法从电场能量的建立过程来计算。 2： 原来球体不带电，电荷是从无穷远处一点点搬运来的。在搬 运电荷的过程中，外力要不断地克服电场力做功，这些功最终转 化为电场的能量。 试想： 假设：电荷是由内而外一层一层被从无穷远处搬运来的。 现在搬运的电荷q已经占满了半径为r的 球体，球体表面的电势为 r dq r q U 4π 0 ' = dA =U'dq 再搬运 的电荷到球表面，外力克服电 场力做的元功为 dq 4πr dr 2 = 3 4π 3 R Q = 电荷体密度 Q 0 2 3 r = 3 4π 4π 1 3 0 r r = r dr 3 4π 4 0 2 =
第6章 【例673】 dA=d-4πo rdr 38 则当整个球体的电荷达到Q时外力所做的总功为 4兀o2cR 30 a=Ude 7d、4pR= 38 15E 20丌EnR 可见这个功就转化为所建立的电场的能量即W。A 【讨论】 两种计算方法结果相同,但侧重点不同。 ★第一种解法侧重于对己有电场能量分布的计算,是重点要求 掌握的一种方法; ★第二种解法则强调了在电荷和电场建立的过程中,电场能量 的来源,突出了能量转化的过程。 结束 工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.7.3】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 ♂ ★ 第一种解法侧重于对已有电场能量分布的计算，是重点要求 掌握的一种方法； 则当整个球体的电荷达到Q时,外力所做的总功为 = = Q R A U q r r 0 4 0 2 0 d 3 4π 'd 可见,这个功就转化为所建立的电场的能量,即 W 。 = A 5 0 2 15 4π R = dA =U'dq r dr 3 4π 4 0 2 = 【讨论】 两种计算方法结果相同，但侧重点不同。 ★ 第二种解法则强调了在电荷和电场建立的过程中，电场能量 的来源，突出了能量转化的过程。 R Q 0 2 20π 3 = e ·结束·