第6章 【例654】 题目】半径为r1的导体球带有电荷+q,球外有一同心导体球壳 内外半径分别为r2,r3,壳上带有电荷+Q(见图)。 (1)求电场分布,球和球壳的电势U球和壳及二者电势差AU。 【分棉荷将空间划分为4个区域。静电平衡 0+q 后,电荷分布如图所示。 【题解】)分别作4个同心球形高斯面,由高 斯定理可求得这4个区域的场强分布为 E1=0 24πE0 (F1r 4丌E 势及电势差 《工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.5.4】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 【题目】 ♂ e o (1) 求电场分布，球和球壳的电势U球和U壳及二者电势差ΔU。 半径为r１的导体球带有电荷+q，球外有一同心导体球壳， 内外半径分别为r２，r３，壳上带有电荷+Q (见图)。 电荷将空间划分为4个区域。静电平衡 后，电荷分布如图所示。 (1)分别作4个同心球形高斯面，由高 斯定理可求得这4个区域的场强分布为 【分析】 【题解】 1 r 2 r 3 r ( )1 r r r e r q E 2 0 2 4π = E3 = 0 r e r q E Q 2 0 4 4π + = E1 = 0 ( ) 1 2 r r r ( )3 r r ( ) 2 3 r r r 下面，选无穷远点为 电势零点，用电势定义 式求导体球和球壳的电 势及电势差。 Q q + q − q 4 3 2 1
第6章 【例6.54】 球壳和内球的电势分别为 ∞+0 g+ Q+q i=E dr=J dr l4x0r246073 球=Ed=E2d+Ed 432 E 14nen2+/9+Q dr 乃34EaF 【讨论】 g 9+o ★从导体球电势计 4TE。1 73 算的过程中可以看出 根据电势差的定义,球与球壳的电势差为 Ua=△U+U 壳 △U=E2d dr i for 即ΔU=U球一乙壳 q ★当Q增加时,U 球 4πE0F12 U壳↑,但∧U不变。 工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.5.4】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 ♂ o 1 r 2 r 3 r 4 3 2 1 q Q+ q = 1 d r U E l 球 + = + 3 2 1 d 4π d 4π 2 0 2 0 r r r r r q r r q Q ( ) 4π 1 0 1 2 3 r q r q r q + Q = − + 球壳和内球的电势分别为 = 3 4 d r U E r 壳 + = 3 d 4π 2 0 r r r q Q π 0 3 4 r q Q + = = + 3 2 1 2 d 4 d r r r E l E l 0 E3 = = 2 1 2 d r r U E r ★ 从导体球电势计 算的过程中可以看出 根据电势差的定义，球与球壳的电势差为 = 2 1 d 4π 2 0 r r r r q ) 1 1 ( 4π 0 1 2 r r q = − U球 U U壳 = + E2 E4 【讨论】 U U球 U壳 即 = − ★ 当Q增加时， U球 U壳 ，但U不变。 0 E1 =
第6章 【例654】 题目】(2)若用导线将球和球壳逛接,情况如何? (3)若外球壳接地,情况又如何? 【题解】此时球和球壳内表面的电荷中和,球壳 Q+q 外表面的电荷仍为,而Q E1=E2=B3=0B=9+g 432 4πE0T E=0 故 球C 9+o 壳4兀6073 △U=0 E2=0 (3)此时球壳外表面的电荷与大地中和,故 Q+g q E1=E2=E,=0E246 432 则U球=△U-9 42 兀E0hi 0 《工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.5.4】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 【题目】 ♂ e 4 3 2 1 o q 0 E1 = 4 3 2 1 o Q+ q (2) 若用导线将球和球壳连接，情况如何? (3) 若外球壳接地，情况又如何? 【题解】 E1 = E2 = E3 = 0 r e r q E Q 2 0 4 4π + = 故 U球 =U壳 U = 0 π 0 3 4 r q Q + = 此时球壳外表面的电荷与大地中和，故 E1 = E3 = E4 = 0 r e r q E 2 0 2 4π = 则 = 0 U壳 U球 = U ) 1 1 ( 4π 0 1 2 r r q = − 此时球和球壳内表面的电荷中和，球壳 外表面的电荷仍为 ，而 q + Q 0 E3 = E2 = 0 E4 q 0 E1 = 0 E3 = E2 E4 = 0 Q+ q (2) (3)
第6章 【例654】 题目】(4)设外球壳离地面很远,若内球接地,电荷如何分布 U2为多少? q 【题解】[时内球和大地连接为一体,球壳 的总带电量仍为Q,但和內球上的电荷均重 新分布,达到新的静电平衡。 21 设内球表面带电q球壳内表面感应带电-q 那么球壳外表面带电Q+q此后仍有 E1=E2=0,但E2≠0E4≠0 同时U=U=0 壳 E4dF=△U一个均匀带电球 壳在球内任一点的 下面运用电势叠加原理计算内球的电势。 电势为 g+ U球=4兀E1 0 4 4π03 4兀EnR 《工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.5.4】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 【题目】 ♂ e (4) 设外球壳离地面很远，若内球接地，电荷如何分布， U２为多少? 此时内球和大地连接为一体，球壳 的总带电量仍为Q，但和内球上的电荷均重 新分布，达到新的静电平衡。 【题解】 0 E1 = E3 = E4 0 同时 U球 =U = 0 o 1 r 2 r 3 r 4 3 2 1 E2 E4 q Q+ q = 3 4 d r U E r 壳 = U E2 0 ，但 下面运用电势叠加原理计算内球的电势。 一个均匀带电球 壳在球内任一点的 电势为 R q U π 0 4 = π 0 1 4 ' r q U 球 = ) 4π ' ( 0 2 r q + − π 0 3 4 ' r q Q + + = 0 (4) − q 设内球表面带电 q ，球壳内表面感应带电 −， q 那么球壳外表面带电 Q + 。此后仍有 q
第6章 【例6.54】 g+ U球4T54En24÷0 Q+g 可解得q= 43t2 F1n2+F273=7173 此时,外球壳的电势为 g+Q Q(2-1) 壳43460(+2万F写) q<0 【讨论】 ★这一结果说明,当内球接地后,有U,堡并不表示内球就 不带电;如果外球壳带电(内球会感应带负电。 ★根据高斯定理可知,外球壳的内、外表面均带正电,电荷总 量为Q。电场线从高电势指向低电势。 结束 工科物理教程》重庆科技学院数理系
【例6.5.4】 《工科物理教程》 重庆科技学院数理系 第 6章 ♂ o 0 4π ' 4π ' 4π ' 0 1 0 2 0 3 = + = − + r q Q r q r q U 球 Q rr r r rr rr q 1 2 2 3 1 3 1 2 ' + − 可解得 = − ★ 根据高斯定理可知，外球壳的内、外表面均带正电，电荷总 量为Q。电场线从高电势指向低电势。 【讨论】 1 r 2 r 3 r 4 3 2 1 q Q+ q ★ 这一结果说明，当内球接地后，有 ，但并不表示内球就 不带电；如果外球壳带电 ，内球会 Q 0 感应带负电。 U球 = 0 4π ( ) ( ) 4π ' 0 1 2 2 3 1 3 2 1 0 3 rr r r rr Q r r r q Q U + − − = + = 壳 此时，外球壳的电势为 − q ·结束· q 0 e