生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 第六章 方差分析 I 单向分类资料
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 第六章 方差分析 I 单向分类资料
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 方差分析（analysis of variance） • R.Fisher在1918年提出 • 原则－变异的剖分 – 变异 个 体i的变异：Xi − X ( ) = − n i Xi X 1 总变异： ( ) 0 1 − = = n i 但 Xi X (( ) ) = − n i Xi X 1 2 因此用个体变异的平方再总和： ((X X ) ) SS n i i − = 总变异： 离均差平方和 1 2
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 方差分析（analysis of variance） • R.Fisher在1918年提出 • 原则－变异的剖分 – 变异 个 体i的变异：Xi − X ( ) = − n i Xi X 1 总变异： ( ) 0 1 − = = n i 但 Xi X (( ) ) = − n i Xi X 1 2 因此用个体变异的平方再总和： ((X X ) ) SS n i i − = 总变异： 离均差平方和 1 2
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 实 例 测量小鼠脾脏重量（g），对照与试验组安排及测定数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I组 12.3 13.2 13.7 15.2 15.4 15.8 16.9 17.3 II 组 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 III 组 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 IV组 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5 I组：对照；II组：自发性白血病； III组：移植白血病AK4； IV组：移植白血病9421 每个处理看做是一个总体:有各自的， I. IV 观察值变异的剖分：处理组的效应（总体平均数）＋ 测量精度＋饲养条件（温度，笼子的位置等）＋其他 不可预见因素 随机 误差
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 实 例 测量小鼠脾脏重量（g），对照与试验组安排及测定数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I组 12.3 13.2 13.7 15.2 15.4 15.8 16.9 17.3 II 组 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 III 组 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 IV组 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5 I组：对照；II组：自发性白血病； III组：移植白血病AK4； IV组：移植白血病9421 每个处理看做是一个总体:有各自的， I. IV 观察值变异的剖分：处理组的效应（总体平均数）＋ 测量精度＋饲养条件（温度，笼子的位置等）＋其他 不可预见因素 随机 误差
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 变异的剖分 观察值变异的剖分：处理组总体平均数＋随机误差 组内（处理内）个体之间的差异只由随机误差造成 的→组内变异；对每个个体的影响不同 组间（不同处理间）个体之间的差异由处理和随机 误差造成的→组间变异； i j i i j i i j X = + e = + a + e = = k i i k 1 1 总平均数 ai = i − 数学模型 ij i ij X = + e i:组或处理，i=1,2,.k;j:组内个体数 ij e i ij a + e
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 变异的剖分 观察值变异的剖分：处理组总体平均数＋随机误差 组内（处理内）个体之间的差异只由随机误差造成 的→组内变异；对每个个体的影响不同 组间（不同处理间）个体之间的差异由处理和随机 误差造成的→组间变异； i j i i j i i j X = + e = + a + e = = k i i k 1 1 总平均数 ai = i − 数学模型 ij i ij X = + e i:组或处理，i=1,2,.k;j:组内个体数 ij e i ij a + e
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 实 例 测量小鼠脾脏重量（g），对照与试验组安排及测定数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I组 12.3 13.2 13.7 15.2 15.4 15.8 16.9 17.3 II 组 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 III 组 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 IV组 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5 I组：对照；II组：自发性白血病； III组：移植白血病AK4； IV组：移植白血病9421 i j i i j i i j X = + e = + a + e 2 23 23 2 23 12 3 a e X a e = + + = + + . 2 25 25 2 25 13 5 a e X a e = + + = + + . 3 35 35 3 35 11 7 a e X a e = + + = + + . 处理 效应
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 实 例 测量小鼠脾脏重量（g），对照与试验组安排及测定数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I组 12.3 13.2 13.7 15.2 15.4 15.8 16.9 17.3 II 组 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 III 组 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 IV组 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5 I组：对照；II组：自发性白血病； III组：移植白血病AK4； IV组：移植白血病9421 i j i i j i i j X = + e = + a + e 2 23 23 2 23 12 3 a e X a e = + + = + + . 2 25 25 2 25 13 5 a e X a e = + + = + + . 3 35 35 3 35 11 7 a e X a e = + + = + + . 处理 效应
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 方差分析的基本思想 • 将变异剖分为组间和组内 • 对于组间和组内差异进行比较 • 组间变异显著大于组内差异－处理效应显著大于随机误差 – 不同处理（组）之间存在差异或者说 – 不同的总体间的平均数间存在显著差异 • 组间变异不显著大于组内差异－处理效应不显著大于随机 误差 – 不同处理（组）之间差异不显著或者说 – 不同的总体间的平均数间差异不显著 怎么检验 其显著性？ ij e i ij a + e
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 方差分析的基本思想 • 将变异剖分为组间和组内 • 对于组间和组内差异进行比较 • 组间变异显著大于组内差异－处理效应显著大于随机误差 – 不同处理（组）之间存在差异或者说 – 不同的总体间的平均数间存在显著差异 • 组间变异不显著大于组内差异－处理效应不显著大于随机 误差 – 不同处理（组）之间差异不显著或者说 – 不同的总体间的平均数间差异不显著 怎么检验 其显著性？ ij e i ij a + e
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 单向分类的资料 • One-way classification – 以一种标准来分组的。 – 标准可以是自然地或人为地分为各等级－水平或处理 例如：各品种牛间的生产性能的差异； 同种猪喂不同饲料的增重对比； – 研究目的是比较不同水平或者不同处理对所考察的指标 的影响是否有差异或者说 – 研究目的是比较各处理所代表的总体的平均数有无差异 实例：小鼠脾脏重量；I组：对照；II组：自发性白血病； III组：移植白血病AK4； II组：移植白血病9421 研究目的是不同处理所代表总体的脾脏重量总体均 数有无差异 单因子资料
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 单向分类的资料 • One-way classification – 以一种标准来分组的。 – 标准可以是自然地或人为地分为各等级－水平或处理 例如：各品种牛间的生产性能的差异； 同种猪喂不同饲料的增重对比； – 研究目的是比较不同水平或者不同处理对所考察的指标 的影响是否有差异或者说 – 研究目的是比较各处理所代表的总体的平均数有无差异 实例：小鼠脾脏重量；I组：对照；II组：自发性白血病； III组：移植白血病AK4； II组：移植白血病9421 研究目的是不同处理所代表总体的脾脏重量总体均 数有无差异 单因子资料
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 单向分类资料的数据结构 组别 观测值 合计 平均 A1 A2 Ak Ai X1. X2. Xk . Xi. X1. X2. Xk. Xi. 1 1 1 2 1 1n1 X X X j X j n ２ X2 1 X2 2 X2 X2 k Xk1 Xk 2 Xkj Xkn i Xi1 Xi2 Xi j Xi n X . X = = ni j Xi Xij 1 . = = ni j ij i i X n X 1 . 1 = k i X Xi 1 总和： . ＝ . X. N X 1 总平均： ＝
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 单向分类资料的数据结构 组别 观测值 合计 平均 A1 A2 Ak Ai X1. X2. Xk . Xi. X1. X2. Xk. Xi. 1 1 1 2 1 1n1 X X X j X j n ２ X2 1 X2 2 X2 X2 k Xk1 Xk 2 Xkj Xkn i Xi1 Xi2 Xi j Xi n X . X = = ni j Xi Xij 1 . = = ni j ij i i X n X 1 . 1 = k i X Xi 1 总和： . ＝ . X. N X 1 总平均： ＝
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 基本计算（1）－和、平均数 = = + + + = k i N n n ni nk ni 1 总样本数： 1 2 ＋＋ = = ni j Xi Xi j i 1 处理 的和及平均数： . = = ni j ij i i X n X 1 . 1 = k i X Xi 1 总和及总平均数： . ＝ . . 1 X N X＝
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 基本计算（1）－和、平均数 = = + + + = k i N n n ni nk ni 1 总样本数： 1 2 ＋＋ = = ni j Xi Xi j i 1 处理 的和及平均数： . = = ni j ij i i X n X 1 . 1 = k i X Xi 1 总和及总平均数： . ＝ . . 1 X N X＝
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 实例－小鼠脾脏 group 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n sum average I 12.3 13.2 13.7 15.2 15.4 15.8 16.9 17.3 8 119.80 14.98 II 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 7 89.20 12.74 III 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 9 104.40 11.60 I V 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5 8 84.70 10.59 3 2 398.10 12.44 398.10, 12.44 119.8, 14.98 4, 8, 7, 9, 8, 32 . 1 8 1 1. 1 2 3 4 = = = = = = = = = = = X X X X X k n n n n N j i j ＝
生物统计 Chap.6 Analysis of Variance I 实例－小鼠脾脏 group 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n sum average I 12.3 13.2 13.7 15.2 15.4 15.8 16.9 17.3 8 119.80 14.98 II 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 7 89.20 12.74 III 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 9 104.40 11.60 I V 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5 8 84.70 10.59 3 2 398.10 12.44 398.10, 12.44 119.8, 14.98 4, 8, 7, 9, 8, 32 . 1 8 1 1. 1 2 3 4 = = = = = = = = = = = X X X X X k n n n n N j i j ＝