§2.4多元线性回归模型的统计检验 拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验(t检验) 四、参数的置信区间
§2.4 多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验） 四、参数的置信区间
拟合优度检验 1、可决系数与调整的可决系数 总离差平方和的分解 记 Ss=∑：-)2总离差平方和 EsS-∑日-)2回归平方和 RSS= ∑，-)2剩余平方和 则 SS=(Y-)2 =(Y,-,)+(心-7)2 =(Y,-)2+2(Y,-,-)+(,-T)2
一、拟合优度检验 1、可决系数与调整的可决系数 则 2 2 2 2 ) ˆ ) ( ˆ )( ˆ ) 2 ( ˆ ( )) ˆ ) ( ˆ (( ( ) Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y TSS Y Y i i i i i i i i i i = − + − − + − = − + − = − 总离差平方和的分解
由于∑，-，-)=∑e,(,-) =B∑e+B,∑e,X+.+B∑e,Xu+T∑e, =0 所以有： TSS=∑(y-)2+∑(，-T)=RSS+ESS 注意：一个有趣的现象 g-)=g-)+位-) g-}≠化，-}+位-引 ∑g-}=g-+Σ度-}
由于 − − = − ) ˆ ) ( ˆ )( ˆ (Yi Y Yi Y ei Yi Y = i + i i + + k i ki + i e e X e X Y e ˆ ˆ ˆ 0 1 1 =0 所以有： TSS Y Y Y Y RSS ESS = i − i + i − = + 2 2 ) ˆ ) ( ˆ ( 注意：一个有趣的现象 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y i i i i i i i i i i i i − = − + − − − + − − = − + −
可决系数 R2= ESS RSS =1 TSS TSS 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题： 在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解 释变量，R2往往增大 (Why?) 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只 要增加解释变量即可。 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数 引起的R的增大与拟合好坏无关，R2需调整
可决系数 TSS RSS TSS ESS R = = 1− 2 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题： 在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解 释变量， R2往往增大（Why?) 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只 要增加解释变量即可。 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数 引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整
调整的可决系数 (adjusted coefficient of determination) 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定 使得自由度减少，所以调整的思路是将残差平方 和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔 除变量个数对拟合优度的影响 R2=1- RSS /(n-k 7SS/(n-1) 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平 方和的自由度
调整的可决系数 （adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定 使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方 和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔 除变量个数对拟合优度的影响: /( 1) /( 1) 1 2 − − − = − TSS n RSS n k R 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平 方和的自由度
F2与R2之间存在如下关系： R2=1-1-R2)n-1 n-k-1 在中国居民消费支出的二元模型例中，2=0.9954 在中国居民消费支出的一元模型例中，2=0.9927 问题：F2多大才算通过拟合优度检验？
1 1 1 (1 ) 2 2 − − − = − − n k n R R
2、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型 的拟合优度，常用的标准还有： 赤池信息准则(Akaike information criterion, AIC) AIC In e'e,2(k+1) n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion,SC) e'e k HC=In ee +~Inn n 这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量
2、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型 的拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） n k n AIC 2( 1) ln + + = e e 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC） n n k n AC ln + ln = e e 这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量
Eviews的估计结果显示： 中国居民消费一元例中： AC=6.68 AC=6.83 中国居民消费二元例中： AC=7.09 AC=7.19 从这点看，可以说前期人均居民消费CONSP(-1)应 包括在模型中
Eviews的估计结果显示： 中国居民消费一元例中： AIC=6.68 AC=6.83 中国居民消费二元例中： AIC=7.09 AC=7.19 从这点看，可以说前期人均居民消费CONSP(-1)应 包括在模型中
二、方程的显著性检验(F检验) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变 量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著 成立作出推断。 1、方程显著性的F检验 即检验模型 Y=Bo+B1X1+β2X2+.+βkXktμ1 i=1,2,.,n 中的参数B是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0:B。=B=B2=.=βk-0 H1: B不全为0
二、方程的显著性检验(F检验) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变 量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著 成立作出推断。 1、方程显著性的F检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n 中的参数j是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： 0 =1 =2= =k=0 H1： j不全为0
下检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS-ESS+RSS 由于回归平方和ESS=∑？是解释变量X的联合体对被解 释变量Y的线性作用的结果，考虑比值 ESS1RSS-∑好/∑e 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度 高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存 在线性关系。 因此，可通过该比值的大小对总体线性关系进行推 断
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS 由于回归平方和 = 2 ˆ i ESS y 是解释变量 X的联合体对被解 释变量 Y 的线性作用的结果，考虑比值 = 2 2 / ˆ i i ESS RSS y e 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度 高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存 在线性关系。 因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推 断