AA §1.4两个重要极限 一、极限存在准则1与重要极限1im sinx=1 x→0X 定理1.8（准则）如果在某个变化 过程中，三个变量u、v、w总有关系 v≤u≤w,且1im=1i,则 1im=A.(两边夹定理) back next exit
§1.4 两个重要极限 一、极限存在准则I与重要极限 0 sin lim 1 x x → x = 定理 1.8(准则I ) 如果在某个变化 过程中，三个变量u 、v、w总有关系 v u w ， 且 lim lim v w A = = ， 则 limu A = .(两边夹定理)
例1证明1 imsinx=0. x→0 证明：当刘0
例 1 证明 0 limsin 0 x x → = . 证明：当 2 x 时，0 sin x x ， 由于 0 lim 0 x x → = ， 所以 0 limsin 0 x x → =
例2证明(1)limcosx=1 x→0 (2)lim sinx=1(重要极限). x→0 证明：( )当削0 即limcosx=1. x→0
例 2 证明 (1) 0 limcos 1 x x → = (2) 0 sin lim 1 x x → x = (重要极限). 证明：(1)当 2 x 时 2 2 2 0 1 cos 2sin 2 2 2 2 x x x x − = = 由于 2 0 lim 0 x 2 x → = ，所以 0 lim(1 cos ) 0 x x → − = 即 0 limcos 1 x x → =
(2)如图所示，当00 back next exit
(2)如图所示，当 0 2 x 时 AOB的面积<扇 形AOB的面积<AOD 的面积. 即 1 1 1 sin tan 2 2 2 x x x 于是 1 1 sin cos x x x 即 sin cos 1 x x x (以−x代替x此不等式仍成立) 由于 0 0 limcos lim1 1 x x x → → = = 所以 0 sin lim 1 x x → x = 图
重要极限 m 及其应用 x→0X 公式1im inx=1的结构分析： x->0 sin lim →0 式子中的“”既可以是自变量x,又可以 是x的函数，而且当x→x(0)时，→0. AAA←back noxt oxi
重要极限 0 sin lim 1 x x → x = 及其应用 公式 0 sin lim 1 x x → x = 的结构分析： 0 sin lim 1 → = 式子中的“ ”既可以是自变量x，又可以 是x的函数，而且当 0 x x → ( )时， → 0
例1求lim sin2x x-0 3x 解：lim sin2x,.sin2x 22 ~=lim- 0 3x x→0 2x33
解： 0 sin 2 lim x 3 x → x 0 sin 2 2 2 lim x 2 3 3 x → x = = . 例 1 求 0 sin 2 lim x 3 x → x
tan3x 例2求lim x→0 2x 解：lim tan3x=lim sin3x 1 0 2x x0 2x cos3x sin3x 3. 1 lim .lim- x-→0 3x 2 x0 cos3x 3
例 2 求 0 tan3 lim x 2 x → x . 解： 0 tan3 lim x 2 x → x 0 sin3 1 lim x 2 cos3 x → x x = 0 0 sin3 3 1 lim lim x x 3 2 cos3 x → → x x = 3 2 =
人人 sin3x 例3求lim x>0 sin5x sin 3x sin3x.3 解：lim sin3x limx =lim 3x x->0 sin5x x->0 sin5x o sin5x.5 比 5x 3 lim sin3x 1x→0 3x 3 5 lim sin5x 5 x-→0 5x 4A←abac*Oa☐oexi
例 3 求 0 sin3 lim x sin5 x → x . 解： 0 sin3 lim x sin5 x → x 0 sin3 limx sin5 x x x x → = 0 sin3 3 3 lim sin5 5 5 x x x x x → = 0 0 sin3 lim 3 3 5 sin5 lim 5 x x x x x x → → = 3 5 =
例4求lim -cosx x→0 1-cosx 2sin2 解：lim =lim 2 x→0 →0 110 2 x→0 2 2
例 4 求 2 0 1 cos lim x x → x − . 解： 2 0 1 cos lim x x → x − 2 2 0 2sin 2 lim x x → x = = 2 0 sin 1 2 lim 2 2 x x → x = 1 2
1 例5求limxsin二. X→00 x 1 sin- 解：limxsin二=lim =1 X→00 Xx-→01 X
例 5 求 1 lim sin x x → x . 解： 1 lim sin x x → x 1 sin limx 1 x x → = =1