§4.3第一换元积分法 定理4.1如果f(x)dx=F(x)+c,且 u=u(x),u'连续，则对于中间变量u同样有 f(u)du =F(u)+c 这个法则说明： 在积分变量为自变量x的积分表 达式中，若将x改为中间变量u也是成 立的. back next exit☑
§4.3 第一换元积分法 定理 4.1 如果 f x dx F x c ( ) ( ) = + ，且 u u x = ( )，u 连续，则对于中间变量u同样有 f u du F u c ( ) ( ) = + 这个法则说明： 在积分变量为自变量x的积分表 达式中，若将x改为中间变量u也是成 立的
第一换元积分公式（其中u为中间变量） 1. Odu c 2. udu +1 +C (≠-1) +1 fdu=-I+e du=2u +c u u ∫da=lnu+ back next exit
第一换元积分公式(其中u为中间变量) 1. 0du c = 2. 1 1 1 u du u c + = + + ( −1) 2 1 1 du c u u = − + . 1 du u c 2 u = + 3. 1 du u c ln u = +
A a“du= a" +C (a>0且a≠1) lna 5. e“du=e"+c 6 sinudu =-cosu c cosudu sinu +c 4人A←Ac*ant☐cex
4. ln u u a a du c a = + (a 0且a 1) 5. u u e du e c = + 6. sin cos udu u c = − + 7. cos sin udu u c = +
8. sec2 udu tanu c 9. csc"udu =-cotu +c 10 du arcsinu +c N1-u du arctan u c u back next exit
8. 2 sec tan udu u c = + 9. 2 csc cot udu u c = − + 10. 2 1 arcsin 1 du u c u = + − 11. 2 1 arctan 1 du u c u = + +
凑微分公式 dx=d(x+b (k≠0) 证：.'d(c+b) =(kx+b)'dx kdx 所以公式成立. 注意：公式中的常数k和b是根据换元 积分中的中间变量来确定 back next exit
凑微分公式 (1) 1 dx d kx b ( ) k = + 证： d kx b ( ) + = + ( ) kx b dx = kdx 所以公式成立. 注意：公式中的常数k和b是根据换元 积分中的中间变量u来确定. ( 0) k
例 dx d(x+3) &=d03x d=}d4x-3) dx=-d(-x)dx=-d(1-x) _1d-2) dx = A◆A←back noxt exit
例 dx d x = + ( 3) 1 (3 ) 3 dx d x = 1 (4 3) 4 dx d x = − dx d x = − −( ) dx d x = − − (1 ) 1 ( 2 ) 2 dx d x = − −
公式(1)可以推广 p)=[a)+b (k≠0) 例d2=d(x2+1) de'=-d(1-e) 1 dsinx=。d(2sinx) 2 back next exit☑
公式(1)可以推广 1 d x d k x b ( ) ( ) k = + ( 0) k 例 2 2 dx d x = + ( 1) (1 ) x x de d e = − − 1 sin (2sin ) 2 d x d x =
(2) xdx dx2+b〉 2k (3) (4) 入 dx =2dx x back next☐exIt
(2) 1 2 ( ) 2 xdx d kx b k = + (3) 2 1 1 dx d x x = − (4) 1 dx d x 2 x =
(5) -dx=dInx (x>0) (6) e"dx de" (7) sin xdx =-d cosx (8) cos xdx =d sinx 这些公式的证明都可以参照公式(1)的证明
(5) 1 dx d x ln x = (x 0) (6) x x e dx de = (7) sin cos xdx d x = − (8) cos sin xdx d x = 这些公式的证明都可以参照公式(1)的证明
例 h=3rux=3r-2） 1 x2d=-5d(4-x3) Idx=dIx dx=d(2+Ix) X 1 -dx =d(2+3Inx) back nexte exit
例 2 3 1 3 x dx dx = 2 3 1 ( 2) 3 x dx x = − 2 3 1 (4 ) 3 x dx d x = − − 1 dx d x ln x = 1 dx d x (2 ln ) x = + 1 1 (2 3ln ) 3 dx d x x = +