§3.2洛必达法则 ,型或“0”型未定式极限 0 00 在x的同一变化过程中， 如果1imu(x)=0,limv(x)=0, 则1im(为“0，三 型未定式极限 v(x) 0 x2-4 比如lim 0, 型) x2X-2 0 小小A0☐oexi
§3.2 洛必达法则 一、 “ 0 0 ”型或“ ”型未定式极限 在x的同一变化过程中， 如果lim ( ) 0 u x = ，lim ( ) 0 v x = ， 则 ( ) lim ( ) u x v x 为“ 0 0 ”型未定式极限 比如 2 2 4 lim x 2 x → x − − (“ 0 0 ”型)
在x的同一变化过程中， 如果1imu(x)=o,limv(x)=o, 则lim (为“0” 型未定式极限 v(x) 00 比如lim Inx (“0” 型 x+oo x 0
在x的同一变化过程中， 如果lim ( ) u x = ，lim ( ) v x = ， 则 ( ) lim ( ) u x v x 为“ ”型未定式极限 比如 ln lim x x →+ x (“ ”型)
二、洛必达(L'Hospital)法则 如果1im极限为“0”型或“o” v(x) 0 00 型未定式极限，且极限m田=A(或 v'(x) 0),则 lim (x) =lim u'(x) =A(或o) v(x) v'(x) back nextext
二、洛必达(L’Hospital)法则 如果 ( ) lim ( ) u x v x 极限为“0 0 ”型或“ ” 型未定式极限，且极限 ( ) lim ( ) u x A v x = (或 )，则 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) u x u x A v x v x = = (或)
x2-4 例1求li (0, 型) x2x-2 0 解：li x2-4 (x2-4)1 =lim x2X-2 x2(x-2) =lim2x =4 x→2 A小w木人k水4小人小aaam
例 1 求 2 2 4 lim x 2 x → x − − (“ 0 0 ”型) 解： 2 2 4 lim x 2 x → x − − 2 2 ( 4) lim ( 2) x x → x − = − . 2 lim2 x x → = .= 4
例2求lim Inx 型) x→+0X 00 解：lim Inx (Inx)' =lim x→+0X x→+0 x' 1 1 =limx=lim二=0 x-→+01x→+0X
例 2 求 ln lim x x →+ x (“ ”型) 解： ln (ln ) lim lim x x x x →+ →+ x x = 1 1 lim lim 0 1 x x x →+ →+ x = = =
例3求1im 1-cosx (0 型) x→0 0 解：lim 1-cosx (1-cosx)' =lim x→0 x2 x>0 (x2) sinx 1 lim x→02x 2
例 3 求 2 0 1 cos lim x x → x − (“ 0 0 ”型) 解： 2 2 0 0 1 cos (1 cos ) lim lim ( ) x x x x → → x x − − = 0 sin lim x 2 x → x = . 1 2 =
例4求im二 (a>0) (“0” 型) x→+olnx 00 解：1im二=jim (x)' x→+oInx x→+o(lnx)Y axa-1 lim X→+00 x =a lim x=+o0 x→+00
例 4 求 lim ( 0) x ln x x →+ (“ ”型) 解： ( ) lim lim ln (ln ) x x x x x x →+ →+ = 1 1 lim x x x − →+ = . lim x x →+ = = +
Vx-2-1 例5求lim 、1 型) x3√x+1-2 0 解：lim x-2-1 x→3」 x+1-2 lim (Wx-2-1) x3(Vx+1-2)1
例 5 求 3 2 1 lim 1 2 x x → x − − + − (“ 0 0 ”型) 解： 3 2 1 lim 1 2 x x → x − − + − 3 ( 2 1) lim ( 1 2) x x → x − − = + −
1 =lim 2Wx-2 x→3 1 2Wx+1 Vx+1 =lim- V3+1 =2 x→3 x-2 √3-2 back next exit
3 1 2 2 lim 1 2 1 x x x → − = + . 3 1 lim 2 x x → x + = − . 3 1 2 3 2 + = = −
例6求lim Inx （“0”型) tex 00 解：lim Inx (Inx)' lim x→+oe x→+00 (e)' 1 1 limx lim ·=0 x→+we x→+oxe 从w木人人小k水小小A小ooa
例 6 求 ln lim x x x →+ e (“ ”型) 解： ln (ln ) lim lim ( ) x x x x x x →+ →+ e e = 1 lim x x x →+ e = . 1 lim x x→+ xe = .= 0