§2.3导数运算 一、复合函数的导数 定理2.4如果函数u=p(x)在x处可导， 而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合 函数y=f[p(x)]在x处可导，并且有 y=少.d或y=y.t dx du dx
一、复合函数的导数 定理 2.4 如果函数 u x =( )在x处可导， 而函数 y f u = ( )在对应的u处可导，那么复合 函数y f x = [ ( )] 在x处可导，并且有 dy dy du dx du dx = 或 x u x y y u = §2.3 导数运算
由此得到复合函数的求导法则： =y”四 其中y=f(w),u=p(x) back next exit
由此得到复合函数的求导法则： x u x y y u = 其中y f u = ( )， u x =( )
证明：△u=p(x+△x)-p(x) △y=f(u+△w)-f(w) 当△4≠0时， △y_△y△u △x△u △x 因为u=p(x)可导，则必连续 所以当△x→0时，△u→0 lim Ay lim Ay.lim Au lim Ay.lim A △u Ar0△x △x→0△2u△r→0△X △u-0△u△x-→0△x 即 dy =f'(u)p'(x) 或 back next exit
证明： = + − u x x x ( ) ( ). = + − y f u u f u ( ) ( ). 当 u 0时， y y u x u x = . 因为u x =( )可导，则必连续 所以当 →x 0时， →u 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim lim x x x u x y y u y u → → → → → x u x u x = = . 即 ( ) ( ) dy f u x dx = 或 x u x y y u =
例13求y=(2x+3)1的导数 解：y'=10(2x+3)(2x+3)'=20(2x+3)9 例14求y=Insinx的导数 解：y=1((sinx)=1cosx=cotx sinx sinx
例 13 求 10 y x = + (2 3) 的导数. 解： 9 9 y x x x = + + = + 10(2 3) (2 3) 20(2 3) 例 14 求y x = ln sin 的导数. 解： 1 1 (sin ) cos cot sin sin y x x x x x = = =
例15求y=sin3x的导数： 解：y'=3sin2x(sinx)'=3sin2 xcosx 例16求y=esn的导数 解：y'=einr(sinx2)y =esincosx2(x2)=2xesinx'cosx2 next exit
例 15 求 3 y x = sin 的导数. 例 16 求 2 sin x y e = 的导数. 解： 2 2 y x x x x = = 3sin (sin ) 3sin cos 解： 2 sin 2 (sin ) x y e x = 2 2 sin 2 2 sin 2 cos ( ) 2 cos x x = = e x x xe x
例17求y=ln(x+√x2+1)的导数： 解：y=1 (x+Vx2+1)” x+vx2+1 =(x2+1)门 x+Vx2 2x2+1 x+vx +1 2 +1 Vx2+1+x x+vx2+1 vx2+1 Vx2+1 back nextext☑
例 17 求 2 y x x = + + ln( 1)的导数. 解： 2 2 1 ( 1) 1 y x x x x = + + + + 2 2 2 1 1 [1 ( 1) ] 1 2 1 x x x x = + + + + + . 2 2 1 (1 ) 1 1 x x x x = + + + + . 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x + + = = + + + +
例18求y=e sin3x的导数： 解：y'=(ex)'sin3x+ex(sin3x)' =e *(-x)'sin3x+e cos3x(3x)' =-e sin3x+3e cos3x =e *(3cos3x-sin3x)
例 18 求 sin 3 x y e x − = 的导数. 解： ( ) sin3 (sin3 ) x x y e x e x − − = + ( ) sin 3 cos3 (3 ) x x e x x e x x − − = − + . sin 3 3 cos3 x x e x e x − − = − + . (3cos3 sin 3 ) x e x x − = −
二、隐函数的导数 由方程P(x,y)=0确定的y是x的函数称 为由该方程确定的隐函数 back next exit
二、隐函数的导数 由方程P x y ( , ) 0 = 确定的y是x的函数称 为由该方程确定的隐函数
隐函数的求导方法： 将P(x,y)=O两边的各项分别对x求导， 而表达式中的y作为中间变量，用复合函数求 导数的法则计算，最后再解出y的表达式（在 y表达式中允许保留变量y). backe next exit
隐函数的求导方法： 将P x y ( , ) 0 = 两边的各项分别对x求导， 而表达式中的y作为中间变量，用复合函数求 导数的法则计算，最后再解出 y 的表达式(在 y 表达式中允许保留变量y)
例19求由方程x2+y2=R(R为常数) 所确定的隐函数的导数 dx 解：将方程两边对x求导，得 2x+2y·y'=0 y=-x0≠0)
例 19 求由方程 2 2 2 x y R + = (R为常数) 所确定的隐函数的导数 dy dx . 解：将方程两边对x求导，得 2 2 0 x y y + = . ( 0) x y y y = −