入入入 §3.5函数的最大值与最小值 一、函数的最大值与最小值定义 定义3.3设函数f(x)在D上有定 义，x。∈D·若对任意x∈D,恒有 f(x>f(,则称f(x)为f(x)在D上的最 大值；若对任意x∈D,恒有f(x,)<f(x), 则称f(x)为f(x)在D上的最d小值. 图 A从木人小k水小人Oaom
§3.5 函数的最大值与最小值 一、函数的最大值与最小值定义 定 义 3.3 设函数 f x( ) 在 D 上有定 义 , 0 x D . 若对任意 x D , 恒 有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称 0 f x( )为 f x( )在D上的最 大值; 若对任意x D ,恒有 0 f x f x ( ) ( ) ， 则称 0 f x( )为 f x( )在D上的最小值. 图
二、闭区间上连续函数的最大值与最小 值的存在性 1.闭区间上连续函数一定有最大值 与最小值 2.若连续函数f(x)在区间[a,b]上单 调增加（或单调减少），则f(a)是f(x)在 区间[a,b1上的最小（或最大）值，f(b)是 f(x)在区间[a,b]上的最大（或最小）值 图 Ce backe next exit
2.若连续函数 f x( )在区间[ , ] a b 上单 调增加(或单调减少),则 f a( )是 f x( )在 区 间[ , ] a b 上的最小(或最大)值, f b( )是 f x( )在区间[ , ] a b 上的最大(或最小)值. 图 二、闭区间上连续函数的最大值与最小 值的存在性 1.闭区间上连续函数一定有最大值 与最小值
3.若连续函数f(x)在区间(a,b)内有 且仅有一个极大（或极小）值，则此极大 (或极小)值就是函数f(x)在区间[a,b]上 的最大（或最小）值 图 back next exit
3.若连续函数 f x( )在区间( , ) a b 内有 且仅有一个极大(或极小)值,则此极大 (或极小)值就是函数 f x( )在区间[ , ] a b 上 的最大(或最小)值. 图
九M 三、求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上 最大值与最小值步骤 1.求出f(x)在(a,b)内的所有驻点 x(i=1,2,…,k)和所有导数不存在的点 x（j=1,2,…,1);
三、求连续函数 f x( )在闭区间[ , ] a b 上 最大值与最小值步骤 1.求 出 f x( )在( , ) a b 内的所有驻点 i x (i k =1,2, , )和所有导数不存在的点 j x ( j l =1,2, , );
2.比较 f(x),f(x2),…,f(x),f(x),f(x2), …,f(x),f(a),f(b);其中最大值即为f(x) 在[a,b]上的最大值，其中最小值即为f(x) 在[a,b]上的最小值， back next exit
2.比较 1 f x( ), 2 f x( ), , ( ) k f x , 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( )l f x , f a( ), f b( );其中最大值即为 f x( ) 在[ , ] a b 上的最大值，其中最小值即为 f x( ) 在[ , ] a b 上的最小值
例1求函数f(x)=2x3-3x2在 [-1,2]上的最大值和最小值 解：f'(x)=6x2-6x=6x(x-1) 令f'(x)=0,得x=0,x2=1 而f(-1)=-5,f(2)=4, f(0)=0,f(1)=-1 所以maxf(x)=f(2)=4 minf(x)=f(-1)=-5 图 back next exit
例 1 求函数 3 2 f x x x ( ) 2 3 = − 在 [ 1,2] − 上的最大值和最小值. 解： 2 f x x x x x ( ) 6 6 6 ( 1) = − = − 令 f x ( ) 0 = ,得 1 x = 0, 2 x =1 而 f ( 1) 5 − = − , f (2) 4 = , f (0) 0 = , f (1) 1 = − 所以max ( ) (2) 4 f x f = = min ( ) ( 1) 5 f x f = − = − 图
AA 例2设有一长8cm和宽5cm的矩 形铁片，在每个角上剪去同样大小的 正方形，问剪去正方形的边长多大， 才能使剩下的铁片折起来做成开口 盒子的容积最大. 图 解：设剪去的正方形的边长为 则盒子的容积是 V(x)=(5-2x)(8-2x)x, 5 其中0≤x≤二； 2 ←back noxt☐ex
例 2 设有一长 8cm 和宽 5cm 的矩 形铁片,在每个角上剪去同样大小的 正方形,问剪去正方形的边长多大, 才能使剩下的铁片折起来做成开口 盒子的容积最大. 图 解：设剪去的正方形的边长为x, 则盒子的容积是 V x x x x ( ) (5 2 )(8 2 ) = − − , 其中 5 0 2 x ;
V'(x)=-2x(8-2x)-2x(5-2x)+(5-2x)(8-2x) =4(x-1)(3x-10) (w)三0得驻点x=1,飞三，（舍为 V"(x)=4(3x-10)+12(x-1)=24x-52 由于V"(1)=-28<0,所以x=1时V(x) 取极大值，即最大值，V(1)=18. 答：剪去的正方形的边长为1cm时， 做成的盒子的容积最大，最大容积是 18cm. back next exit☑
由于V(1) 28 0 = − ,所以x =1时V x( ) 取极大值，即最大值, V(1) 18 = . 答：剪去的正方形的边长为 1cm 时, 做成的盒子的容积最大,最大容积是 18cm3 . V x x x x x x x ( ) 2 (8 2 ) 2 (5 2 ) (5 2 )(8 2 ) = − − − − + − − . = − − 4( 1)(3 10) x x . 令V x ( ) 0 = ,得驻点 1 x =1, 2 10 3 x = (舍去) V x x x x ( ) 4(3 10) 12( 1) 24 52 = − + − = −
例3如图，铁路线上AB段长100 公里，工厂C到铁路的距离CA是20公 里.在AB上某一点D处向C修一条公 路.已知铁路与公路的运费之比为3：5 问点D选在何处，才能使原料从供应 站B到工厂C的运费最省？ 图 next exit
例 3 如图，铁路线上AB段长 100 公里,工厂C到铁路的距离CA是 20 公 里.在AB上某一点D处 向C修一条公 路.已知铁路与公路的运费之比为3:5, 问 点D选在何处,才能使原料从供应 站B到工厂C的运费最省? 图
AA 解：设铁路每吨公里运费为3，公 路每吨公里运费为5，设DA=x,于是 BD=100-x,CD=Vx2+202 则将原料从点B运到点C,每吨的 总运费为 f(x)=3(100-x)+5Vx2+202 (0≤x≤100) A←A←bc*atom
解：设铁路每吨公里运费为 3,公 路每吨公里运费为 5,设DA x = ,于 是 BD x = − 100 , 2 2 CD x = + 20 则将原料从点B运到点C,每吨的 总运费为 2 2 ( ) 3(100 ) 5 20 (0 100) f x x x x = − + +