§3.3函数的单调性 一、函数的单调性及判别法 定理3.3设函数f(x)在(a,b)内可导， (1)如果f(x)在(a,b)内的任一点x 处，恒有f'(x)>0,则f(x)在(a,b)内 单调增加； 图 A从↓人人大小人Oao
§3.3 函数的单调性 一、函数的单调性及判别法 定理 3.3 设函数 f x( )在( , ) a b 内可导， (1)如果 f x( )在( , ) a b 内的任一点x 处，恒有 f x ( ) 0 ， 则 f x( )在( , ) a b 内 单调增加； 图
(2)如果f(x)在(a,b)内的任一点x 处，恒有f'(x)<0,则f(x)在(a,b)内单 调减少； 图 f(x)在(a,b)内单调增加，(a,b)为 f(x)的一个单调增加区间；f(x)在(a,b) 内单调减少，(a,b)为f(x)的一个单调减 少区间. back next exit☑
(2)如 果 f x( )在( , ) a b 内的任一点x 处，恒有 f x ( ) 0 ，则 f x( )在( , ) a b 内单 调减少；f x( )在( , ) a b 内单调增加，( , ) a b 为 f x( )的一个单调增加区间；f x( )在( , ) a b 内单调减少，( , ) a b 为 f x( )的一个单调减 少区间. 图
例1求函数f(x)=x-sinx的单调区间. 解：函数的定义域D=(-0,+o0) 由于f'(x)=1-c0sx≥0 所以f(x)=x-sinx在(-o,+o)入. (-oo,+oo)是函数f(x)=x-sinx的 单调增加区间. 图 back next exit■
例 1 求函数 f x x x ( ) sin = − 的单调区间. 解：函数的定义域D = − + ( , ) 由于 f x x ( ) 1 cos 0 = − 所以 f x x x ( ) sin = − 在( , ) − + ↗. ( , ) − + 是函数 f x x x ( ) sin = − 的 单调增加区间. 图
AA 定义3.1若函数f(x)在x处的导 数f'(x)=0,则称点x为函数f(x)的一 个驻点. 图 木人人k人人oaom
定义 3.1 若函数 f x( )在 0 x 处的导 数 0 f x ( ) 0 = ，则称点 0 x 为函数 f x( )的一 个驻点. 图
在函数的定义域内，若f'(x)有正 有负，这时求函数f(x)的单调区间的 步骤是： ()确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的一阶导数 f'(x);
在函数的定义域内，若 f x ( )有正 有负，这时求函数 f x( )的单调区间的 步骤是：(1)确定函数 f x( )的定义域； (2)求出函数 f x( )的一阶导数 f x ( )；
A (3)令f'(x)=0,求出驻点； (4)驻点及导数不存在的点把定义 域分成几个区间，列表分别考察在这几 个区间内f'(x)的符号，确定f(x)的增减 性并确定f(x)的单调区间. back next exit
(3)令 f x ( ) 0 = ，求出驻点； (4)驻 点及导数不存在的点把定义 域分成几个区间，列表分别考察在这几 个区间内 f x ( )的符号，确定 f x( )的增减 性并确定 f x( )的单调区间
例2求f(x)=2x3+3x2-12x的单 调区间. 解：f(x)定义域D=(-o0,+o) f'(x)=6x2+6x-12 =6(x+2)(x-1) 令f'(x)=0,即(x0A0-0=， 得驻点x1=-2,x2=1; 不存在不可导的点 A人A←back no☐axt
例 2 求 3 2 f x x x x ( ) 2 3 12 = + − 的 单 调区间. 解： f x( )定义域D = − + ( , ) 2 ( ) 6 6 12 6( 2)( 1) f x x x x x = + − = + − . 令 f x ( ) 0 = ，即6( 2)( 1) 0 x x + − = ， 得驻点 1 x = −2， 2 x =1； 不存在不可导的点
(-00,-2) -2 (-2,1) (1,+0) f'(x) 0 0 f(x) f(x)的单调增加区间为 (-00,-2)、(1,+00) f(x)的单调减少区间为(-2,1) 图 back nexte exit
x ( , 2) − − −2 ( 2,1) − 1 (1, ) + f x ( ) + 0 - 0 + f x( ) f x( )的单调增加区间为 ( , 2) − − 、(1, ) + f x( )的单调减少区间为( 2,1) − 图
例3求f)= 的单调区间 1+x 解：f(x)定义域D=(-0,-1)U(-1,+oo) 00)=2x1+)-x_2+ (1+x)2 (1+x)2 令f'"(x)=0,即x(2+ 0 (1+x)2 得驻点x=-2,x2=0;不存在不可 导的点 back next exit
例 3 求 2 ( ) 1 x f x x = + 的单调区间. 解： f x( )定义域D = − − − + ( , 1) ( 1, ) 2 2 2 2 (1 ) (2 ) ( ) (1 ) (1 ) x x x x x f x x x + − + = = + + . 令 f x ( ) 0 = ，即 2 (2 ) 0 (1 ) x x x + = + 得驻点 1 x = −2， 2 x = 0；不存在不可 导的点
-00,-2) -2 2,-1 -1,0) 0(0,+00) (x 0 0 f(x)的单调增加区间为(-o0,-2)、(0,+∞)； f(x)的单调减少区间为(-2，-1)、(-1,0) 图
x ( , 2) − − −2 ( 2, 1) − − ( 1,0) − 0 (0, ) + f x ( ) + 0 − − 0 + f x( ) f x( )的单调增加区间为( , 2) − − 、(0, ) + ； f x( )的单调减少区间为( 2, 1) − − 、( 1,0) − . 图