§3.4函数的极值 一、 函数极值的定义 定义3.2设函数f(x)在点x,的某邻域内有定 义，若对此邻域内每一点x（x≠x,),恒有 f(x)<f(x),则称f(x)是函数f(x)的一个极大 值，x称为函数f(x)的一个极大值点； back next exit☑
§3.4 函数的极值 一、函数极值的定义 定义 3.2 设函数 f x( )在点 0 x 的某邻域内有定 义 ， 若 对 此 邻 域 内 每 一 点 x ( 0 x x ) ， 恒 有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称 0 f x( )是函数 f x( )的一个极大 值， 0 x 称为函数 f x( )的一个极大值点；
若对此邻域内每一点x(x≠x), 恒有f(x)>f(x),则称f(x)是函数 f(x)的一个极小值，x称为函数f(x)的 一个极小值点 极大值和极小值统称为极值，极 大值点和极小值点统称为极值点. backe next exit
若对此邻域内每一点x( 0 x x )， 恒 有 0 f x f x ( ) ( ) ，则称 0 f x( )是函数 f x( )的一个极小值，0 x 称为函数 f x( )的 一个极小值点. 极大值和极小值统称为极值，极 大值点和极小值点统称为极值点
注意： ()极值是一个局部性的概念，它 只是与极值点邻近点的函数值相比较 而言，并不意味着它在整个定义区间 最大或最小. A从木人人k水小人水Oaa
注意： (1)极值是一个局部性的概念，它 只是与极值点邻近点的函数值相比较 而言，并不意味着它在整个定义区间 最大或最小
(2)某个函数在区间(a,b)上可以 有多个极大值和极小值. (3)极大值不一定要比极小值大， (4)极值不能在定义区间端点取得， 图
(2)某个函数在区间( , ) a b 上可以 有多个极大值和极小值. (3)极大值不一定要比极小值大. (4)极值不能在定义区间端点取得. 图
定理3.4（必要条件）如果函数 f(x)在点x处有极值f(x),且f'(x) 存在，则f'(x)=0.(证明略) 该定理表明，f'(x)=0是点x。 为极值点的必要条件，而不是充分 条件. back next exit
定 理 3.4 (必要条件)如果函数 f x( )在 点 0 x 处有极值 0 f x( ),且 0 f x ( ) 存在,则 0 f x ( ) 0 = .(证明略) 该定理表明, 0 f x ( ) 0 = 是 点 0 x 为极值点的必要条件,而不是充分 条件
例如，f(x)=(x-1)3+1, f'(x)=3(x-1)2,且f'(1)=0,但 f(x)在x=1处没有极值！ 图 对于导数不存在的点，函数可能 有极值，也可能没有极值， 图
例如, 3 f x x ( ) ( 1) 1 = − + , 2 f x x ( ) 3( 1) = − ,且 f (1) 0 = ,但 f x( )在x =1处没有极值. 图 对于导数不存在的点,函数可能 有极值,也可能没有极值. 图
二、极值的判别方法一 定理3.5设函数f(x)在点x的某 个邻域内有定义，且f'(x)=0(或f'(x) 不存在)，那么 (1)如果在x,左侧某个邻域内有 f'(x)>0,在x右侧某个邻域内有 f'(x)<0,则x为f(x)的一个极大值点 back next exit☑
二、极值的判别方法一 定 理 3.5 设函数 f x( )在 点 0 x 的 某 个邻域内有定义,且 0 f x ( ) 0 = (或 0 f x ( ) 不存在),那么 (1)如果在 0 x 左侧某个邻域内有 f x ( ) 0 , 在 0 x 右 侧 某 个 邻 域 内 有 f x ( ) 0 ,则 0 x 为 f x( )的一个极大值点
(2)如果在x,左侧某个邻域内有 f'(x)0,则x为f(x)的一个极小值 点. (3)如果在x,左右两侧邻域内 f'(x)符号相同，则x不是f(x)的极值 点 图 backe next exit
(2)如果在 0 x 左侧某个邻域内有 f x ( ) 0 ,在 0 x 右侧某个邻域内有 f x ( ) 0 ,则 0 x 为 f x( )的一个极小值 点. (3)如果在 0 x 左右 两侧邻域内 f x ( )符号相同,则 0 x 不 是 f x( )的极值 点. 图
求函数极值的步骤： ()确定函数定义域， (2)求出f'(x),令f'(x)=0,求出 f(x)的所有驻点； (3)找出f(x)在其定义域内的所 有导数不存在的点；
求函数极值的步骤： (1)确定函数定义域; (2)求 出 f x ( ) ,令 f x ( ) 0 = ,求 出 f x( )的所有驻点; (3)找 出 f x( )在其定义域内的所 有导数不存在的点;
(4)考察f'(x)在这些点的左右两 侧的符号，根据定理3.5判断这些点是 否是极值点，若是，是极大值点还是极 小值点 (5)求出极值点处的函数值，即 极值 back next exit
(4)考 察 f x ( )在这些点的左右两 侧的符号,根据定理 3.5 判断这些点是 否是极值点,若 是,是极大值点还是极 小值点. (5)求出极值点处的函数值,即 极值