入A入 §1.1极限的概念 一、数列的极限 考察下列数列，当n无限增大时，数列的 变化趋势分别是什么？ 2,34sn+1 分析 234, (1.1) n -1,1-11 (1.2) n 1,-11,-1,…,(-10m,… (1.3) 1,3,5,7,…,(2n-1),… （1.4) A水人人水4人小oaam
§1.1 极限的概念 一、数列的极限 考察下列数列，当n无限增大时，数列的 变化趋势分别是什么？ 3 4 5 1 2, , , , , , 234 n n + （1.1） 1 1 1 1 1, , , , , ( 1) , 2 3 4 n n − − − （1.2） 1 1, 1,1, 1, ,( 1) , n+ − − − （1.3） 1,3,5,7, ,(2 1), n − （1.4） 分析
定义1.2设有数列{yn},如果当n无限增大 时，y无限趋近于一个确定的常数A,我们就称 常数A是数列{yn}的极限，或称数列{yn}收敛于 A,记作im,=A或y,→A(n→o）. 对于数列(1.1)有 1im(1+)=1或1+1→1n→o）. n 对于数列（1.2)有 1im(-1)1=0或(-1)1→0(n→o）. n backe next exit☑
定义 1.2 设有数列yn ，如果当n无限增大 时， n y 无限趋近于一个确定的常数A，我们就称 常数A是数列yn 的极限，或称数列yn 收敛于 A，记作 lim n n y A → = 或 n y A → （n → ）. 对于数列（1.1）有 1 lim(1 ) 1 n→ n + = 或 1 1 1 n + → (n → ). 对于数列（1.2）有 1 lim( 1) 0 n n→ n − = 或 1 ( 1) 0 n n − → (n → )
如果当n→oo时，yn不趋近于一个确定的常 数，我们就说数列{yn}没有极限或称数列{yn}是 发散的 对于数列(1.3)、(1.4)它们都没有极限，都 是发散的， back next exit
如果当 n → 时, n y 不趋近于一个确定的常 数,我们就说数列yn 没有极限或称数列yn 是 发散的. 对于数列(1.3)、(1.4)它们都没有极限,都 是发散的
二、函数的极限 1.当x→o时，函数f(x)的极限 例1.设函数f(x)=二(x≠0)，讨论当x无限 增大时f(x)的变化趋势 分析 定义1.3如果当x→o时(x无限增大)，函 数f(x)无限趋近于一个常数A,那么称常数A为 函数f(x)在x→o时的极限，记作： limf(x)=A或f(x)A(x→o) 对于例1，f(x)=(x≠0)，1im二=0. x→0X
二、函数的极限. 1. 当x → 时，函数 f x( )的极限 例 1.设函数 1 f x x ( ) ( 0) x = ,讨论当 x 无限 增大时 f x( )的变化趋势. 分析 定义 1.3 如果当x → 时( x 无限增大),函 数 f x( )无限趋近于一个常数 A,那么称常数 A为 函数 f x( )在x → 时的极限,记作: lim ( ) x f x A → = 或 f x A ( ) → (x → ). 对于例 1, 1 f x x ( ) ( 0) x = , 1 lim 0 x→ x =
x→∞是指x即可趋近于正无穷大又可趋近 于负无穷大.如果限定x只取正值（或负值），记作： lim f(x)=4(lim f(x)=A) 称为当x趋近于正无穷大（或负无穷大）时，函 数f(x)的极限为A. 比如lim 0,lim e*=0. 演示 X>+00 X)一00 limf(x)=A的充分必要条件是 X→00 lim f(x)=lim f(x)=4. x-→-00
x → 是 指x即可趋近于正无穷大又可趋近 于负无穷大.如果限定x只取正值(或负值),记作: lim ( ) x f x A →+ = (或 lim ( ) x f x A →− = ) 称为当x趋近于正无穷大(或负无穷大)时,函 数 f x( )的极限为A. 比如 1 lim 0 2 x x→+ = , lim 0 x x e →− = . lim ( ) x f x A → = 的充分必要条件是 lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = . 演示
2.当x→x时，函数f(x)的极限 例3设函数f)=- (x≠1)，讨论当x趋 x-1 近于1时f(x)的变化趋势 分析 定义1.4设函数f(x)在x的某邻域内有定义 (x可除外)，如果当自变量x趋近于x(x≠x)时， 函数f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数 A,则称常数A为函数f(x)当x→x时的极限，记 作： Iimf(x)=A或f(x)→A(x→x,） back next exit
2. 当 0 x x → 时，函数 f x( )的极限 例 3.设函数 2 1 ( ) ( 1) 1 x f x x x − = − ,讨论当x趋 近于 1 时 f x( )的变化趋势. 分析 定义 1.4 设函数 f x( )在 0 x 的某邻域内有定义 ( 0 x 可除外),如果当自变量x趋近于 0 x ( 0 x x )时， 函 数 f x( )的函数值无限趋近于某个确定的常数 A，则称常数A为函数 f x( )当 0 x x → 时的极限，记 作: 0 lim ( ) x x f x A → = 或 f x A ( ) → ( 0 x x → )
f(x)在x→x时的极限是否存在，与f(x)在 点x,处有无定义以及在点x,处函数值无关， x→x,是指x即可从x,的左侧(xx)趋近于x
f x( )在 0 x x → 时的极限是否存在，与 f x( )在 点 0 x 处有无定义以及在点 0 x 处函数值无关. 0 x x → 是 指x即可从 0 x 的左侧 ( 0 x x )趋 近 于 0 x ，也可从 0 x 的右侧 ( 0 x x )趋近于 0 x
3.f(x)在x的左极限与右极限 定义1.5如果当x从x的左侧趋近于x时， f(x)无限趋近于常数A,那么就称A为x→x时 f(x)的左极限； 记作limf(x)=A或f(x-0)=A x-→x0 如果当x从x,的右侧趋近于x,时，f(x)无限 趋近于常数A,那么就称A为x→x,时f(x)的右 极限 记作limf(x)=A或f(x,+0)= 例 back next exit☑
3. f x( )在 0 x 的左极限与右极限 定义 1.5 如果当 x 从 0 x 的左侧趋近于 0 x 时， f x( )无限趋近于常数A，那么就称A为 0 x x → 时 f x( )的左极限； 记作 0 lim ( ) x x f x A → − = 或 0 f x A ( 0) − = . 如果当x从 0 x 的右侧趋近于 0 x 时， f x( )无限 趋近于常数A，那么就称A为 0 x x → 时 f x( )的右 极限； 记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x A ( 0) + = . 例
定理1.1Iimf(x)=A成立的充分必要 X-Y 条件是limf(x)=limf(x)=A, X→x x→x0 x-1x≥0 例4设f(x)= 讨论当x→0 x+1x<0 时f(x)的极限是否存在： 分析 例5讨论当x→1时，f(x)=x-1的极限. 分析 back next☐ext
定 理 1.1 0 lim ( ) x x f x A → = 成立的充分必要 条件是 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → → + − = = . 例 4 设 1 0 ( ) 1 0 x x f x x x − = + ，讨论当x →0 时 f x( )的极限是否存在. 例 5 讨论当x →1时， f x x ( ) 1 = − 的极限. 分析 分析