M §2.1导数的概念 一、引例 例1求变速直线运动物体的瞬时速度 分析：设s表示一物体从某个时刻开始到时 刻t做直线运动的路程，则s是时间t的函数 s=s(t). eback next exit
§2.1 导数的概念 一、引例例 1 求变速直线运动物体的瞬时速度. 分析：设s表示一物体从某个时刻开始到时 刻t做直线运动的路程，则s是时间t的函数. s s t = ( )
当时间t由，改变到t。+△t时，物体在△t这一 段时间内所经过的距离为△s=s(t。+△t)-s(t) 当物体作匀速直线运动时的瞬时速度 G,)==A=s%+A)-s) △t △t ◆从↓A人小h水小人小oaom
当时间t由 0 t 改变到 0 t t + 时，物体在t这一 段时间内所经过的距离为 0 0 = + − s s t t s t ( ) ( ). 当物体作匀速直线运动时的瞬时速度 0 0 0 ( ) ( ) ( ) s s t t s t v t v t t + − = = =
当物体作变速直线运动时的瞬时速度 v(t)≈= △s_s(t+△t)-s(t) △t △t 显然△越小，近似的程度就越好.而当△t→0 时，如果lim As存在，就称此极限为物体在时刻，的 Ai0△t 瞬时速度， △S 即v(to)=lim=lim s(4+△t)-s(t) △1-→0△t△1-→0 △t back了next exit☑
当物体作变速直线运动时的瞬时速度 0 0 0 ( ) ( ) ( ) s s t t s t v t v t t + − = = . 显然 t 越小，近似的程度就越好.而当 →t 0 时，如果 0 lim t s t → 存在，就称此极限为物体在时刻 0 t 的 瞬时速度. 即 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t v t t t → → + − = =
例2求平面曲线切线的斜率 已知曲线y=f(x),它经过点M(xo,), 取曲线上的另一点M,(x,+△x,。+△y)作割线 MoM1,设割线MM与x轴的夹角为p,则割 线的斜率为tanp=Ay=f,+A)-fx) △x △x 图 back next exit
例 2 求平面曲线切线的斜率. 已知曲线y f x = ( )，它经过点 0 0 0 M x y ( , )， 取曲线上的另一点 1 0 0 M x x y y ( , ) + + 作割线 M M0 1 ，设割线M M0 1 与x轴的夹角为，则割 线的斜率为 0 0 ( ) ( ) tan y f x x f x x x + − = = . 图
A 九M 当△x→0时，动点M,沿曲线y=f(x)趋于 定点Mo,使得割线MM,的位置也随着变动而趋 向于极限位置，即直线MT.称直线MT为曲线 y=f(x)在定点M处的切线 图
当 →x 0时，动点M1 沿曲线 y f x = ( )趋 于 定点M0 ，使得割线M M0 1 的位置也随着变动而趋 向于极限位置，即直线M T0 .称直线M T0 为曲线 y f x = ( )在定点 M0处的切线. 图
当△x→0时，割线MM,的倾斜角p趋向 于切线MT的倾斜角a.所以切线MT的斜率 为： k tana lim tan Ar->0 lim Ay=lim f(%o+Ax)-f(%o) △x→0△x△x→0 △x back next exit
当 →x 0时，割线 M M0 1 的倾斜角趋向 于切线M T0 的倾斜角 .所以切线M T0 的斜率 为： 0 0 0 0 0 tan lim tan ( ) ( ) lim lim x x x k y f x x f x x x → → → = = + − = =
以上两个例题都归结为计算函数改变量 与自变量改变量的比，当自变量改变量趋于零 时的极限.这种特殊的极限叫做函数的导数， eback next exit
以上两个例题都归结为计算函数改变量 与自变量改变量的比，当自变量改变量趋于零 时的极限.这种特殊的极限叫做函数的导数
二、导数的定义 定义2.1设函数y=f(x)在点x,的某个 邻域内有定义，当自变量x在点x处取得改变 量△x（△x≠0)时，相应的有函数改变量 △y=f(x+△x)-f(xo) ◆从↓A人小k水小人Oaom
二、导数的定义 定义 2.1 设函数y f x = ( )在点 0 x 的某个 邻域内有定义，当自变量x在点 0 x 处取得改变 量 x ( x 0 ) 时 ， 相 应 的 有 函 数 改 变 量 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( )
如果lim △ 2=1im fx,+△)-f存 △r→0△x △x→0 △x 在，则称此极限值为函数f(x)在点x,处的导数 (或微商)， 记作fx),y 少 df(x) dx x=01 既有f'(x)= lim Ay=lim f(xo +Ax)-f(xo) △x-→0△X Ax→0 △x
如 果 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 存 在，则称此极限值为函数 f x( )在点 0 x 处的导数 （或微商）， 记 作 0 f x ( ) , 0 x x y = , 0 x x dy dx = , 0 ( ) x x df x dx = . 既有 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x f x → → x x + − = =
此时称函数y=f(x)在x处可导 如果1imAy不存在，就称函数y=fx)在 △-0△X x处不可导 back next oxit☑
此时称函数y f x = ( )在 0 x 处可导. 如果 0 lim x y → x 不存在，就称函数y f x = ( )在 0 x 处不可导