北京课改初中数学九上word全册打包教案_北京课改初中数学九上《20.3二次函数解析式的确定》word教案 (1).doc_大学文库

免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 20.3 二次函数解析式的确定一．知识要点 1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式 y = ax + bx + c 2 （a≠0）求解析式。 2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式 y = a(x − h) + k 2 ，其中（h，k）为顶点坐标。 3. 若已知二次函数图象与 x 轴的两交点坐标，则应用交点式 y = a(x − x )(x − x ) 1 2 ，其中 x x 1， 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标二. 重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。三. 教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。典型例题例 1. 已知某二次函数的图象经过点 A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。分析：设 y = ax + bx + c 2 ，其图象经过点 C（0，－5），可得 c = −5 ，再由另外两点建立关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组求出 a、b 的值即可。解：设所求二次函数的解析式为 y = ax + bx + c 2 因为图象过点 C（0，－5），∴ c = −5 又因为图象经过点 A（－1，－6），B（2，3），故可得到： a b a b a b a b a b − − = − + − =    − = − + =    = =    5 6 4 2 5 3 1 2 4 1 2 即解得： ∴所求二次函数的解析式为 y = x + x − 2 2 5 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为 y = ax + bx + c 2 ，然后确定 a、b、c 的值即得，本题由 C（0，－5）可先求出 c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。例 2. 已知二次函数 y = ax + bx + c 2 的图象的顶点为（1， − 9 2 ），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。分析：由已知顶点为（1，− 9 2 ），故可设 y = a(x − 1) − 9 2 2 ，再由点（－2，0）确定 a 的值即可解：设y = a(x − 1) − 9 2 2 ，则 ∵图象过点（－2，0）， ∴ 0 2 1 9 2 2 = a(− − ) − ∴ a = y = x − − 1 2 1 2 1 9 2 ，∴ ( ) 2

免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 即： y = x − x − 1 2 4 2 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设 y = a(x − h) + k 2 ，再根据其他条件确定 a 的值。本题虽然已知条件中已设 y = ax + bx + c 2 ，但我们可以不用这种形式而另设 y = a(x − h) + k 2 这种形式。因为在 y = ax + bx + c 2 这种形式中，我们必须求 a、b、c 的值，而在 y = a(x − h) + k 2 这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母 a 的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。例 3. 已知二次函数图象的对称轴是 x = −3 ，且函数有最大值为 2，图象与 x 轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式解：设这个二次函数的解析式为 y = a(x + 3) + 2 2 ∵图象经过（－1，0）， ∴0 1 3 2 2 = a(− + ) + ∴ a = − 1 2 ∴所求这个二次函数的解析式为 y = − x + + 1 2 3 2 2 ( ) 即： y = − x − x − 1 2 3 5 2 2 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。例 4. 已知二次函数 y = ax + bx + c 2 的图象如图 1 所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图 1 分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，－1）三点设解析式为 y = ax + bx + c 2 根据题意得： 0 0 4 2 1 1 2 0 = = + + − = + +      = = − =      c a b c a b c a b c 解得 ∴所求二次函数的解析式为 y = x − x 2 2 方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）设解析式为 y = a(x −1) −1 2 ∵图象过（0，0），∴ 0 0 1 1 2 = a( − ) − ，∴ a = 1

免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴所求二次函数的解析式为 y = (x −1) −1 2 即 y = x − x 2 2 方法三：由图象可知，该二次函数图象与 x 轴交于点（0，0），（2，0）设解析式为 y = a(x − 0)(x − 2) ∵图象过（1，－1） ∴ −1 = a(1− 2) ，∴ a = 1 ∴所求二次函数解析式为： y = x(x − 2) 即： y = x − x 2 2 说明：依题意后两种方法比较简便。例 5. 已知：抛物线在 x 轴上所截线段为 4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与 x 轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴 x = x + x 1 2 1 2 ( ) ，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式解：∵顶点坐标为（2，4） ∴对称轴是直线 x＝2 ∵抛物线与 x 轴两交点之间距离为 4 ∴两交点坐标为（0，0），（4，0）设所求函数的解析式为 y = a(x − 2) + 4 2 ∵图象过（0，0）点 ∴ 0 = 4a + 4 ，∴ a = −1 ∴所求函数的解析式为 y = −x + x 2 4 例 6. 已知二次函数 y = (m−1)x + 2mx + (3m− 2) (m 1) 2 ≠ 的最大值是零，求此函数的解析式。分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有 a = m−1 0 ，且顶点的纵坐标的值为零，则有： 4 1 3 2 2 4 1 0 · 2 ( )( ) ( ) ( ) m m m m − − − − = 。以上两个条件都应满足，可求 m 的值。解：依题意： m m m m m −  − − − − =      1 0 4 1 3 2 2 4 1 0 2 ① ② ( )( ) ( ) ( ) 由①得 m  1 由②得： m1 m2 1 2 = ， = 2 （舍去）所求函数式为 y = ( − )x + x + ( − ) 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 2 × × 即： y = − x + x − 1 2 1 2 2 例 7 . 已知某抛物线是由抛物线 y = 2x 2 经过平移而得到的，且该抛物线经过点 A （1，1），B（2，4），求其函数关系式。分析：设所求抛物线的函数关系式为 y = ax + bx + c 2 ，则由于它是抛物线 y = 2x 2 经过平移而得到的，故 a＝2，再由已知条件列出 b、c 的二元一次方程组可解本题。解：设所求抛物线的函数关系式为 y = ax + bx + c 2 ，则由已知可得 a＝2，又它经

免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴ y = x − x − = x − − 1 4 1 2 6 1 4 1 25 4 2 2 ( ) ∴顶点坐标（1， − 25 4 ）解法 2：由抛物线与 x 轴交于 A（－4，0），B（6，0），可设 y = a(x + 4)(x − 6) ，又抛物线过点 P（－2，－4）可求 a 值解法 3：由 A（－4，0），B（6，0）可知抛物线的对称轴为 x = 1 可设 y = a(x −1) + k 2 ，将 A、B 点的坐标代入解析式可求 a，k 的值例 9. 如图 3 所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点 A 和 A1，点 B 和 B1分别关于 y 轴对称，隧道拱部分 BCB1为一段抛物线，最高点 C 离路面 AA1 的距离为 8 米，点 B 离地面 AA1的距离为 6 米，隧道宽 AA1为 16 米图 3 （1）求隧道拱抛物线 BCB1 的函数表达式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为 4 米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为 7 米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。分析：（1）由已知可得顶点 C 的坐标为（0，8），B 点坐标为（－8，6），从而可求其函数关系式。（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到 y 轴的距离是 2，于是求出抛物线上横坐标为 2 的点的坐标，再看它到地面 AA1 的距离是否大于 7 米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。解：（1）如图所示，由已知得 OA＝OA1＝8，OC＝8，故 C 点坐标（0，8），B 点坐标为（－8，6）设隧道拱抛物线 BCB1 的函数表达式为 y = ax + 2 8 ，则 (−8) + 8 = 6 = − 1 32 2 ·a ，得a ∴隧道拱抛物线 BCB1 的函数关系式为 y = − x + 1 32 8 2 （2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为 2，设这个点为 D，过 D 作 DE⊥x 轴于 E 当 x＝2 时， y = − + = − + = 1 32 2 8 1 8 8 7 7 8 × 2

免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴D 点坐标为（2，7 7 8 ），∴DE = 7 7 8 ∵ DE = 7 7 8 ＞7 ∴该运货汽车能安全通过这个隧道。说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为 7 的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于 4。例 10. 有这样一个问题：已知：二次函数 y = ax + bx + c 2 的图象经过 A（0，a），B（1，2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x = 2 ，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。分析：仅由 A、B 两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式解：（1）能 y = −x + x − 2 4 1 ，过程如下由图象经过点 A（0，a），得 c＝a 将图象对称轴为直线 x = 2 看成已知条件，则 ∵抛物线 y = ax + bx + c 2 的对称轴是直线 x b a = − 2 ∴ − = = − b a b a 2 2得 4 ∴ y = ax − ax + a 2 4 ∵抛物线经过点 B（1，2） ∴ a − 4a + a = 2，∴a = −1 ∴所求二次函数的关系式为 y = −x + x − 2 4 1 （2）可补充条件： b = −4a （或 a = −1或b = 4 或其他条件）说明：二次函数 y = ax + bx + c 2 配方后可变形为 y a x b a ac b a = + + − ( ) 2 4 4 2 2 ，故其图象的对称轴是直线 x b a = − 2 ，顶点坐标是（ − b − a ac b 2 a 4 4 2 ，）第（2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为 y = −x + x − 2 4 1 即可。例 11. 已知四点 A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。分析：先求出经过 A、B、C 的抛物线的关系式，再验证点 D 是否在所求抛物线上