免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 19.7相似三角形的应用 目的:利用相似三角形的性质解决实际问题 中考基础知识 通过证明三角形相似 线段成比例方程(含有未知数的等式) 函数(求最值等问题) 备考例题指导 例1.如图,P是△ABC的BC边上的一个动点,且四边形ADPE是平行四边形 (1)求证:△DBP∽△EPC (2)当P点在什么位置时,S口AM=S△ABC,说明理由 分析 (1)证明两个三角形相似,常用方法是证明两个角对应相等,题目中有口ADPE→ 平行线→角相等,命题得证 BP CP (2)设 口ADPE→DP∥AC,EP∥AB, △BDP∽△BAC△CPE∽△CBA CP BP AABC ∴S口APE=S△AB,即 x2+(1-x)-2 (转化为含x的方程) BP 1 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 19.7 相似三角形的应用 目的：利用相似三角形的性质解决实际问题． 中考基础知识 通过证明三角形相似 线段成比例 ( ) ( ) 方程 含有未知数的等式 函数 求最值等问题 备考例题指导 例 1．如图，P 是△ABC 的 BC 边上的一个动点，且四边形 ADPE 是平行四边形． （1）求证：△DBP∽△EPC； （2）当 P 点在什么位置时，S ADPE= 1 2 S△ABC，说明理由． 分析： （1） 证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有 ADPE 平行线 角相等，命题得证． （2）设 BP BC =x，则 CP BC =1-x， ADPE DP∥AC， EP∥AB， △BDP∽△BAC △CPE∽△CBA ∴ FPC ABC S S =（ CP CB ）2 =（1-x）2， BDP BAC S S =（ BP BC ）2 =x 2 ∴ BDP CPE ABC S S S + =x 2 +（1-x）2． ∵S ADPE= 1 2 S△ABC，即 ADPE ABC S S = 1 2 ． ∴x 2 +（1-x）2 = 1 2 （转化为含 x 的方程） x= 1 2 ， ∴ BP BC = 1 2 ． E A P D B C
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 即P应为BC之中点 例2.已知△ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB于D,且AD=m,BD=n,AC:BC2=2: 1,又关于x的方程-x2-2(n-1)x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192,求m,n为 整数时,一次函数y=mx+n的解析式 分析:这是一个几何、代数综合题,由条件发现,建立关于m,n的方程或不等式, 求出m,n再写出一次函数 抓条件:AC2:BC2=2:1做文章(转化到m,n上) 双直角图形→有相似形→比例式(方程) ∠ACB=90°,CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BAC BC2=BD·BA,同理有AC2=AD·AB, BC- BD BA AC2AD·AB 抓条件:x1+x2=8(n-1),xx2=4(m-12) 由(x1-x2)2192配方(x1+x2)2-4x1x2<192 64(n-1)2-16(m2-12)<192, 4n2-m2-8n+4<0.② ①代入②→n 又由△≥0得4(n-1)2-4×(m2-12)≥0, ①代入上式得n≤2.③ 由n〉一,n≤2得<n≤2 ∴n为整数,∴n=1,2. ∴m2,4 y=2x+1,或y=4x+2 遇根与系数关系题目则用韦达定理,但必须考虑△≥0 备考巩固练习 1.如图,在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.关于x的一元二次方程x2-2b 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 即 P 应为 BC 之中点． 例 2．已知△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，且 AD=m，BD=n，AC 2：BC2 =2： 1，又关于 x 的方程 1 4 x 2 -2（n-1）x+m2 -12=0 的两个实数根的差的平方小于 192，求 m，n 为 整数时， 一次函数 y=mx+n 的解析式． 分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于 m，n 的方程或不等式， 求出 m，n 再写出一次函数． 抓条件：AC 2：BC2 =2：1 做文章（转化到 m，n 上）． 双直角图形 有相似形 比例式（方程） ∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BAC BC 2 =BD·BA，同理有 AC 2 =AD·AB， ∴ 2 2 BC AC = BD BA AD AB =m=2n ① 抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m 2 -12）． 由（x1-x2） 2 1 2 ． 又由△≥0 得 4（n-1）2 -4× 1 4 （m 2 -12）≥0， ①代入上式得 n≤2． ③ 由 n> 1 2 ，n≤2 得 1 2 <n≤2． ∵n 为整数，∴n=1，2． ∴m=2，4 ∴y=2x+1，或 y=4x+2． 遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0． 备考巩固练习 1．如图，在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c．关于 x•的一元二次方程 x 2 -2b A m D n C B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ )x+(a+b)2=0的两根之和与两根之积相等,D为AB上一点,DE∥AC交BC于E EF⊥AB,垂足是F (1)求证:△ABC是直角三角形 (2)若BF=6,FD=4,CE==CD,求CE的长 2.某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m,20m的梯形空地 上,种植花木如图1 (1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/m2,当△AMD地带种满花 后,共花了160元,请计算种满△BMC地带所需的费用 (2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2和10 元/m2,应选择种哪种花木,刚好用完后筹集的资金? (3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图2),请你设计一个花坛图案,即在梯形 内找到一点P,使得△APD≌△BPC且S△A0=S△B,并说出你的理由 (2) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （a+ 2 2 c b ）x+（a+b） 2 =0 的两根之和与两根之积相等，D 为 AB 上一点，DE∥AC•交 BC•于 E， EF⊥AB，垂足是 F． （1）求证：△ABC 是直角三角形； （2）若 BF=6，FD=4，CE= 2 3 CD，求 CE 的长． E A F D C B 2．某生活小区的居民筹集资金 1600 元，计划在一块上、下底分别为 10m，20m 的梯形空地 上,种植花木如图 1 （1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为 8 元/m2，当△AMD•地带种满花 后，共花了 160 元，请计算种满△BMC 地带所需的费用． （2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为 12 元/m2和 10 元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？ （3）若梯形 ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图 2），请你设计一个花坛图案， 即在梯形 内找到一点 P，使得△APD≌△BPC 且 S△APD=S△BPC，并说出你的理由． A D B C (1) M (2) A D B C
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.(1)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF∥AB, 且EF交于点F,某学生在研究这一问题时,发现如下事实: DE a+b DE 2②当E=2时,有E a+26 ③当=3时,有 AE a DE .当=k时,参照上述研究结论,:请你猜想用k表示DE的一般结论,并 AE 给出证明 (2)现有一块直角梯形田地ABCD(如图2所示),其中AB∥CD,AD⊥AB,AB=310m DC=120cm,AD=70m,若要将这块分割成两块,由两位农户来承包,要求这两块地均为 直角梯形,且它们的面积相等,请你给出具体分割方案 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3．（1）如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E 为 AD 边上的任意一点，EF∥AB， 且 EF 交于点 F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实： ①当 DE AE =1 时，有 EF= 2 a b + ；②当 DE AE =2 时，有 EF= 2 3 a b + ；③当 DE AE =3 时，有 EF= 3 4 a b + ．当 DE AE =k 时，参照上述研究结论， 请你猜想用 k 表示 DE 的一般结论，并 给出证明； （2）现有一块直角梯形田地 ABCD（如图 2 所示），其中 AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m， • DC=1 20cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为 直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案． E A F D C B A D C B (1) (2)
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 谷案 1.(1)由x1+x2=x1x2 得2b( a zabtc=a +b +2ab △ABC是直角三角形 (2)易证△EFD∽△EDB ∴EF2=DF·DB=40. 设CE=x,则 ∴DE=(2x)2-x=10→x=√2 2.(1)∵四边形ABCD是梯形(见图) ∴AD∥BC, ∠MAD=∠MCB,∠MDA=∠MBC ∴△AMD∽△CMB,∴ AdM 种植△AMD地带花带160元 160 △BMC地带的花费为80×8=640(元) (2)设△AMD的高为h,△BMC的高为h2,梯形ABCD的高为h S△m=×10h2=20∴h=4 h2=8 h22 (AD+BC)·h=-×30×12=180 S△ANB+S△C=180-20-80=80(m2) 160+160+80×12=1760(元) 又:160+640+80×10=1600(元) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 答案: 1．（1）由 x1+x2=x1x2 得 2b（a+ 2 2 c b ）=（a+b）2 2ab+c2 =a 2 +b2 +2ab ∴△ABC 是直角三角形． ∴c 2 =a 2 +b2 （2）易证△EFD∽△EDB， ∴EF 2 =DF·DB=40． 设 CE=x，则 CD= 3 2 x， ∴DE=（ 3 2 x） 2 -x 2 =40 x=4 2 ． 2．（1）∵四边形 ABCD 是梯形（见图）． ∴AD∥BC， ∴∠MAD=∠MCB， ∠MDA=∠MBC， ∴△AMD∽△CMB，∴ AMD BMC S S =（ AD BC ） 2 = 1 4 ． ∵种植△AMD 地带花带 160 元． ∴ 160 80 =2（m 2） ∴S△OMB=80（m 2） ∴△BMC 地带的花费为 80×8=640（元） （2）设△AMD 的高为 h1 ，△BMC 的高为 h2，梯形 ABCD 的高为 h ∵S△ AMD= 1 2 ×10h2=20 ∴h1=4 ∵ 1 2 h h = 1 2 ∴h2=8 ∴S 梯形 ABCD= 1 2 （AD+BC）·h= 1 2 ×30×12=180 ∴S△AMB + S△DMC =180-20-80=80（m 2） ∴160+160+80×12=1760（元） 又：160+640+80×10=160 0（元） A D B C M E A F D C B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金. (3)点P在AD、BC的中垂线上(如图), 此时,PA=PD,PB=PC.∵AB=DC ∴△APB≌△DPC. 设△APD的高为x,则△BPC高为(12-x), ∴S△APD=-×10x=5x S ×20(12-x)=10(12-x) 当S△AD=S△Bc即5x=10(12-x)=8 当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时,S△AD=S△B 1)猜想得:=1+k a+kb 3.解:(1 证明:过点E作BC的平行线交AB于G,交CD的延长线于H AB∥CD △AGE∽△DHE, DH DE Ag AE 又EF∥AB∥CD ∵CH=EF=GB,∴DH=EF-a,AG=b-EF a+ kb 可得EF b-EF 1+k (2)在AD上取一点EF∥AB交BC于点F, k,则170+310km=70k DE 1+k 1+k 若S形CFB=S形ABFE,则S梯形ABD=2S形D ∵梯形ABCD、DCEF为直角梯形 ,170+210 70=2×-(170+ 170+310k70k ) 1+k 1+k 化简得12k2-7k-12=0,解得k=一,k=--(舍去) 70k =40,所以只需在AD上取点E,使DE=40m,作EF∥AB(或EF⊥DA),即可将 梯形分成两个直角梯形,且它们的面积相等 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金． （3）点 P 在 AD、BC 的中垂线上（如图）， 此时，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC ∴△APB≌△DPC． 设△APD 的高为 x，则△BPC 高为（12-x）， ∴S△APD = 1 2 ×10x=5x， S△BPC = 1 2 ×20（12-x）=10（12-x）． 当 S△APD =S△BPC 即 5x=10（12-x）=8． ∴当点 P 在 AD、BC 的中垂线上且与AD 的距离为 8cm 时，S△APD =S△BPC． 3．解：（1）猜想得：EF= 1 a kb k + + 证明：过点 E 作 BC 的平行线交 AB 于 G，交 CD 的延长线于 H． ∵AB∥CD， ∴△AGE∽△DHE， ∴ DH DE AG AE = ． 又 EF∥AB∥CD， ∴CH=EF=GB，∴DH=EF-a，AG=b-EF， ∴ EF a b EF − − =k，可得 EF= 1 a kb k + + ． （2）在 AD 上取一点 EF∥AB 交 BC 于点 F， 设 DE AB =k，则 EF= 170 310 1 k k + + ，DE= 70 1 k + k ， 若 S 梯形 DCFE =S 梯形 ABFE，则 S 梯形 ABCD=2S 梯形 DCFE ∵梯形 ABCD、DCEF 为直角梯形 ∴ 170 210 2 + ×70=2× 1 2 （170+ 170 310 1 k k + + ）× 70 1 k + k ， 化简得 12k2 -7k-12=0，解得 k1= 4 3 ，k2=- 3 4 （舍去） ∴DP= 70 1 k + k =40，所以只需在 AD 上取点 E，使 DE=40m，作 EF∥AB（或 EF⊥DA），即可将 梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等． E A F D C B H G A D B C P
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