10远程教育网 第26章二次函数单元检测题 精心选一选(本大题共10小题,每小题3分,共30分海每小题给出的四个选项中只有一 个是符合题意的,请将所选选项的字母代号写在题后的括号内。 1.在同一直角坐标系内,二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为() 2.在同一直角坐标系内,函数y=x2+bx与ybC D (b≠0)的图象大致为 3.给出下列四个函数:y=-2x, (x>0),y=-x2+3(x>0),其中y随x的增大 而减小的函数有() A.3个B.2个C.1个D.0个 4.当m取任何实数时,抛物线y=2(x-m)2-m的顶点所在的直线为() A.x轴B.y轴 C. y=x 5.当m取任何实数时,抛物线y=2(x+m)2-m2的顶点所在的曲线为() B C.y=x2(x>0) D.y=-x2(x>0) 6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称,则a、b、c的值分 别是() 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称,则函数y=ax2+bx+c 的解析式为() A.y=x2+4x+ B.y=x2-4x-3C.y=x2+4x-3 D.y=-x2-4x+3 8.从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E,过这点剪下两个半圆,它们的直径分别 是AE、DE,要使剪下的两个半圆的面积和最小,点E应选在() A.边AD的中点外B.边AD的处C.边AD的一处 边AD的一处 9.对某条路线的长度进行n次测量,得到n个结果x1,x2,…,xn,如果用x作为这条路 线长度的近似值,当x=p时,(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x-xn)2最小,则p的值为() A 1 (x1-x2-…-xn) n +u0 D.n(x+x2+…+x) n+1 10.已知函数y=-(x-1)2-(x-3)2-(x-5)2-(x-7)2,当x时,函数y取得最大值 则p的值为() 二、细心填一填(本大融共10小题,每小题3分,共30分)请把答案直接写在题中横线上。 11.二次函数的图象经过三个定点(2,0),(3,0),(0,-1),则它的解析式为
1 Www.chinaedu.com 第 26 章二次函数单元检测题 一、精心选一选(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)每小题给出的四个选项中只有一 个是符合题意的，请将所选选项的字母代号写在题后的括号内。 1．在同一直角坐标系内，二次函数 y1=ax2+bx+c 与 y2=cx2+bx+a 的图象大致为（ ） 2．在同一直角坐标系内，函数 y=ax2+bx 与 y= b x （b≠0）的图象大致为（ ） 3．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y= 3 x （x>0），y=-x 2+3（x>0），其中 y 随 x•的增大 而减小的函数有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 4．当 m 取任何实数时，抛物线 y=-2（x-m）2-m 的顶点所在的直线为（ ） A．x 轴 B．y 轴 C．y=x D．y=-x 5．当 m 取任何实数时，抛物线 y=-2（x+m）2-m2 的顶点所在的曲线为（ ） A．y=x2 B．y=-x 2 C．y=x2（x>0） D．y=-x 2（x>0） 6．已知抛物线 y=ax 2 +bx+c（a≠0）与抛物线 y=x 2 -4x+3 关于 x 轴对称，则 a、b、c•的值分 别是（ ） A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，3 7．已知抛物线 y=ax 2+bx+c（a≠0）与抛物线 y=x 2 -4x+3 关于 y 轴对称，则函数 y=ax2+bx+c 的解析式为（ ） A．y=x 2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x 2-4x+3 8．从一张矩形纸片 ABCD 的较短边 AD 上找一点 E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别 是 AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点 E 应选在（ ） A．边 AD 的中点外 B．边 AD 的 1 3 处 C．边 AD 的 1 4 处 D．边 AD 的 1 5 处 9．对某条路线的长度进行 n 次测量，得到 n 个结果 x1，x2，…，xn，如果用 x 作为这条路 线长度的近似值，当 x=p 时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2 最小，则 p 的值为（ ） A． 1 n （x1+x2+…+xn） B． 1 n （x1-x2-…-xn） C． n 1 n + （x1+x2+…+xn） D． 1 n n + （x1+x2+…+xn） 10．已知函数 y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当 x=p 时，函数 y 取得最大值， 则 p•的值为（ ） A．4 B．8 C．10 D．16 二、细心填一填(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)请把答案直接写在题中横线上。 11．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________
10远程教育网 该图象的顶点坐标为 时,直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2 13.已知二次函数y=x2-2(k+1)x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且(x1+1) (x2+1)=8,则k的值为 14.如果y与x2成正比例,并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0 的两根,那么这个函数的解析式为 15.抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线 ,顶点坐标为 16.如果抛物线y2y2 3(m+2)x+2m的对称轴为直线x3 则m的值为 17.把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位,向上平移3个单位,所得图象的函数 解析式为y=5x2+30x+44,则 8.二次函数y=ax2+bx+c中的a、b、c满足条件 时,它的 图象经过坐标系中的四个象限 19.开口向下的抛物线y=a(x+1)(x-4)与x轴交于A、B两点,与 y轴交于点C.若∠ACB=90°,则a的值为 20.如图,二次函数y=x2+5的图象交x轴于点A和B,交y轴0 于点C,当线段AB的长度最短时,点C的坐标为 、专心解一解(本大题共6小题,满分60分)请认真读题,冷静思考。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 21.(8分)如图,△OAB是边长为2的等边三角形,直线x=t截这个三角形所得位于直线 左方的图形面积为y (1)写出以自变量为t的函数y的解析式:(2)画出(1)中函数y的图象 22.(8分)如图,AB是半径为R的圆的直径,C为直径AB上的一点,过点C剪下两个正 方形ADCE和BFCG,它们的对角线分别是AC、CB.要使剪下的两个正方形的面积和最小, 点C应选在何处?
2 Www.chinaedu.com 该图象的顶点坐标为__________． 12．当 k=________时，直线 x+2y+k+1=0 和 2x+y+2k=0 的交点在抛物线 y=-x 2 上． 13．已知二次函数 y=x 2-2（k+1）x+k 2+2 的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，且（x1+1） （x2+1）=8，则 k 的值为__________． 14．如果y与x 2 成正比例，并且它的图象上一点 P的横坐标 a和纵坐标 b分别是方程x 2-x-6=0 的两根，那么这个函数的解析式为_________． 15．抛物线 y=x 2-4x+11 的对称轴是直线________，顶点坐标为________． 16．如果抛物线 y=- 2 3 x 2+（m+2）x+ 2 7 m 的对称轴为直线 x= 3 2 ，则 m 的值为_________． 17．把函数 y=5x 2+10mx+n 的图象向左平移 2 个单位，向上平移 3 个单位， 所得图象的函数 解析式为 y=5x 2+30x+44，则 m=_______，n=_______． 18．二次函数 y=ax 2+bx+c 中的 a、b、c 满足条件________时， 它的 图象经过坐标系中的四个象限． 19．开口向下的抛物线 y=a（x+1）（x-4）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y•轴交于点 C． 若∠ACB=90°，则 a 的值为________． 20．如图，二次函数 y=x2-ax+a-5 的图象交 x 轴于点 A 和 B，交 y 轴 于点 C，当线段 AB•的长度最短时，点 C 的坐标为________． 三、专心解一解(本大题共 6 小题，满分 60 分)请认真读题，冷静思考。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 21．（8 分）如图，△OAB 是边长为 2 的等边三角形，直线 x=t•截这个三角形所得位于直线 左方的图形面积为 y． （1）写出以自变量为 t 的函数 y 的解析式；（2）画出（1）中函数 y 的图象． 22．（8 分）如图，AB 是半径为 R 的圆的直径，C 为直径 AB 上的一点， 过点 C•剪下两个正 方形 ADCE 和 BFCG，它们的对角线分别是 AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小， 点 C 应选在何处？
10远程教育网 23.(8分)已知一个二次函数的图象过点A(-1,10),B(1,4),C(2,7),点D和B关 于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线?如果存在,求出 符合条件的直线:如不存在,请说明理由 24.(12分)如图,在直角坐标系x0y中,A、B是x轴上的两点,以AB为直径的圆交y轴 于C,设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n,方程x2-mx+n=0的两根倒数和 为-2 (1)求n的值; (2)求此抛物线的解析式 (3)设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点,问是否存在此线段EF为直径的圆 恰好与ⅹ轴相切,若存在,求出此圆的半径;若不存在,说明理由. 25.(12分)某电厂规定,该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度,那么 这个月这户居民只交10元用电费.如果超过x度,这个月除了要交10元用电费外,超过 部分按每度元交费. (1)该厂某户居民1月份用电90度,超过了x度的规定,试用x的代数式表示超过部 分应交的电费(元) (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况,请根据表中的数据,求出电 厂规定的这个标准x度 月份用电量(度)交电费总数(元) 2月 3 10
3 Www.chinaedu.com 23．（8 分）已知一个二次函数的图象过点 A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点 D 和 B•关 于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点 D 的直线？如果存在，求出 符合条件的直线；如不存在，请说明理由． 24．（12 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，A、B 是 x 轴上的两点，以 AB 为直径的圆交 y 轴 于 C，设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=x 2-mx+n，方程 x 2-mx+n=0 的两根倒数和 为-2． （1）求 n 的值； （2）求此抛物线的解析式； （3）设平行于 x 轴的直线交此抛物线于 E、F 两点，问是否存在此线段 EF•为直径的圆 恰好与 x 轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由． 25．（12 分）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 x 度， 那么 这个月这户居民只交 10 元用电费．如果超过 x 度，这个月除了要交 10 元用电费外，超过 部分按每度元交费． （1）该厂某户居民 1 月份用电 90 度，超过了 x 度的规定，试用 x 的代数式表示超过部 分应交的电费（元）； （2）下表是这户居民 2 月、3 月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据， 求出电 厂规定的这个标准 x 度． 月份 用电量（度） 交电费总数（元） 2 月 80 25 3 月 45 10
10远程教育网 26.(12分)如图(1),平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,0为坐标原点,A点坐标 为(10,0),C点坐标为(0,6).D是BC边上的动点(与点B、C不重合),现将△COD 沿OD翻折,得到△FOD;再在AB边上选取适当的点E,使△BDE沿D翻折,得到△GDE 并使直线DG,DF重合 (1)如图②,若翻折后点F落在OA边上,求直线DE的函数关系式 (2)设D(a,6),E(10,b),求b关于a的函数关系式,并求b的最小值 (3)一般地,请你猜想直线D与抛物线1x2+6的公共点的个数,在图②的情形 中通过计算验证你的猜想;如果直线DE与抛物线y=-x2+6始终有公共点,请在图①中 作出这样的公共点 B E 答案: 1.D2.D3.A4.D5.B6.A7.A8.A9.A10.A x2+-x-1 13.1 66 14.y=-x2和y=-x215.x=2(2,7)16.017.11 18.a、c异号,b为任何实数19 20.(0,-3)(设A(x1,0),B(x2,0) (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4a+20=(a-2)2+16 当a=2时,线段AB的长度最短为4,此时y=x2-2x-3,点C的坐标为(0,-3) 21.(1)y72(0≤1≤1) (-2)2+√3(≤1≤2)
4 Www.chinaedu.com 26．（12 分）如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，A•点坐标 为（10，0），C 点坐标为（0，6）．D 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合），现将△COD 沿 OD 翻折，得到△FOD；再在 AB 边上选取适当的点 E，使△BDE 沿 DE 翻折，得到△GDE， 并使直线 DG，DF 重合． （1）如图②，若翻折后点 F 落在 OA 边上，求直线 DE 的函数关系式； （2）设 D（a，6），E（10，b），求 b 关于 a 的函数关系式，并求 b 的最小值； （3）一般地，请你猜想直线 DE 与抛物线 y=- 1 24 x 2+6 的公共点的个数， 在图②的情形 中通过计算验证你的猜想；如果直线 DE 与抛物线 y=- 1 24 x 2+6 始终有公共点，请在图①中 作出这样的公共点． 答案: 1．D 2．D 3．A 4．D 5．B 6．A 7．A 8．A 9．A 10．A 11．y=- 1 6 x 2+ 5 6 x-1 （ 5 2 ， 1 24 ） 12． 1 3 ± 6 3 13．1 14．y=- 2 9 x 2 和 y= 3 4 x 2 15．x=2 （2，7） 16．0 17．1 1 18．a、c 异号，b 为任何实数 19．- 20．（0，-3）（设 A（x1，0），B（x2，0）． （x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=a2-4a+20=（a-2）2+16． 当 a=2 时， 线段 AB 的长度最短为 4，此时 y=x 2-2x-3，点 C 的坐标为（0，-3） 21．（1）y= 2 2 3 (0 1) 2 3 ( 2) 3( 2) 2 t t t t − − +
10远程教育网 (2)如第1题图 22.设AC长为x,BC长为2R-x,S正方形ADCE=x2,S正方形BFCG=-(2R-x) 两个正方形面积之和为y=x2+-(2R-x)2=x2-2Rx+2R2=(xR)2+R2, 当x=R时,两个正方形面积之和有最小值R2, 此时点C应选在AB的中点处,即圆心 23.过点A、B、C的抛物线的解析式为y=2x2-3x+5,其对称轴为直线x3 因D和B关于直线x=一对称,所以D点坐标为(-,4) 与抛物线只有一个公共点D的直线有两条:(1)平行于y轴,即直线x=1 (2)不平行于y轴,设直线为y=kx+b,因为过D点,所以4=-k+b 即k=8-2b,(8-2b)x+b=2x2-3x+5 2x2+(2b-11)x+5-b=0.方程有两个相等的实数根,△=(2b-11)2-8(5-b)=0, 解得b=,k=-1.所以y=x+符合条件的直线为y=x+和x1 24.(1)设A(x1,0),B(x2,0),则OA=x1,OB=x2 因为AB是直径,OC⊥AB,所以CO2=OAOB,·即n2=x1x2 又x1x2=n,所以n2=-n,n=-1,n=0(舍去) 11 (2)—+ x, x2 xx2 所求的抛物线的解析式为y=x2-2x-1 (3)由(2)得抛物线的对称轴为x=1.设满足条件的圆的半径为|a 则点F的坐标为(1+|a|,a), 点F在抛物线上,a=(1+|a|)2-2(1+|a|)-1,即a2-a-2=0,a1=2,a2=-1, 所求的圆的半径为1或2, 故存在以EF为直径的圆,恰好与x轴相切 25.(1) (90-x)元 100 (2)表格中的数据告诉我们,这户居民2月份用电超标,3月份用电不超标, 可见45≤x<80,列出方程10+x(80-x)=25,即x2-80x+150=0,解得x=30,x2=50 因45≤x<〈80,所以x=30,电厂规定的标准是30度 26.(1)解:根据题意,可知D(6,6),E(10,2),直线DE的函数关系式为y=x+12 (2)解:根据题意,可知∠CDO=∠ODF,∠BDE=∠GDE ∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°,∠CDO+∠BDE=90°,∠COD+∠CDO=90°
5 Www.chinaedu.com （2）如第 1 题图. 22．设 AC 长为 x，BC 长为 2R-x，S 正方形 ADCE= 1 2 x 2，S 正方形 BFCG= 1 2 （2R-x）2． 两个正方形面积之和为 y= 1 2 x 2+ 1 2 （2R-x）2=x2-2Rx+2R 2=（x-R）2+R2， 当 x=R 时，两个正方形面积之和有最小值 R 2， 此时点 C 应选在 AB•的中点处，即圆心． 23．过点 A、B、C 的抛物线的解析式为 y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线 x= 3 4 ． 因 D 和 B 关于直线 x= 3 4 对称，所以 D 点坐标为（ 1 2 ，4）． 与抛物线只有一个公共点 D 的直线有两条：（1）平行于 y 轴，即直线 x= 1 2 ． （2）不平行于 y 轴，设直线为 y=kx+b，因为过 D 点，所以 4= 1 2 k+b． 即 k=8-2b，（8-2b）x+b=2x2-3x+5． 2x2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b）=0， 解得 b= 9 2 ，k=-1．所以 y=-x+ 9 2 ．符合条件的直线为 y=-x+ 9 2 和 x= 1 2 ． 24．（1）设 A（x1，0），B（x2，0），则 OA=-x1，OB=x2． 因为 AB 是直径，OC⊥AB，所以 CO2=OA·OB，• 即 n 2=-x1x2． 又 x1x2=n，所以 n 2=-n，n=-1，n=0（舍去）． （2） 1 1 x + 2 1 x = 1 2 1 2 x x x x + =-2，又 x1+x2=m，x1x2=-1， 1 m − =-2，m=2， 所求的抛物线的解析式为 y=x 2-2x-1． （3）由（2）得抛物线的对称轴为 x=1．设满足条件的圆的半径为│a│， 则点 F•的坐标为（1+│a│，a）， 点 F 在抛物线上，a=（1+│a│）2-2（1+│a│）-1，即 a 2-a-2=0，a1=2，a2=-1， 所求的圆的半径为 1 或 2， 故存在以 EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切． 25．（1） 100 x （90-x）元 （2）表格中的数据告诉我们，这户居民 2 月份用电超标，3•月份用电不超标， 可见 45≤x<80，列出方程 10+ 100 x （80-x）=25，即 x 2-80x+150=0，解得 x1=30，x2=50． 因 45≤x<80，所以 x=30，电厂规定的标准是 30 度． 26．（1）解：根据题意，可知 D（6，6），E（10，2），直线 DE 的函数关系式为 y=-x+12． （2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF，∠BDE=∠GDE． ∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°， ∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°
10远程教育网 DE.又∠COD=∠DBE=90°,△CD≌△BDE. CE CO BE BD 根据题意,可知BE=6+b,BD=10-a,=6,b+1a25 a+6=(a-5)211 当a=5时,b最小位= (3)猜想:直线DE与抛物线y=l x2+6只有1个公共点 证明:由(1)可知,DE所在直线为y=-1x+12 代入抛物线y=x2+6,消去y,得-x2+6=-x+12.化简,得x2-24x+144=0,△=0 直线DE与抛物线y=-x2+6只有1个公共点 24 作法一:延长0F交DE于点H 作法二:在DB上取点M,使DM=CD,过M作MH⊥BC,交DE于点H
6 Www.chinaedu.com ∠COD=∠BDE．又∠COD=∠DBE=90°，△COD≌△BDE． CE CO BE BD = ． 根据题意，可知 BE=6-b，BD=10-a， 6 6 10 a b a = − − ，b+ 1 6 a 2- 5 3 a+6= 1 6 （a-5）2+ 11 6 ． 当 a=5 时，b 最小值= 11 6 ． （3）猜想：直线 DE 与抛物线 y=- 1 24 x 2+6 只有 1 个公共点． 证明:由（1）可知，DE 所在直线为 y=- 1 24 x+12． 代入抛物线 y=-x 2+6，消去 y，得- 1 24 x 2+6=-x+12．化简，得 x 2-24x+144=0，△=0． 直线 DE 与抛物线 y=- 1 24 x 2+6 只有 1 个公共点． 作法一：延长 OF 交 DE 于点 H， 作法二：在 DB 上取点 M，使 DM=CD，过 M 作 MH⊥BC，交 DE 于点 H．