10远程教育网 263实际问题与二次函数(3) 教学内容 本节课主要利用二次函数解决有关拱桥等问题 教学目标 知识技能 生活实际问题转化为数学问题,体验二次函数在生活中的应用。 数学思考 在问题转化、建模过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想 解决问题 1.通过实际问题,体验数学在生活实际的广泛应用性,发展数学思维 2.在转化、建模中,学会合作、交流 情感态度 1.通过对拱桥图片的欣赏,感受数学在生活中的应用,激发学习热情 2.在转化、建模中,体验解决问题的方法,培养学生的合作交流意识和探索精神. 重难点、关键 重点:利用二次函数解决有关拱桥问题 难点:建立二次函数数学模型 关键:在问题转化、建模过程中,体会二次函数的应用及数形结合的思想 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 复习引入 欣赏一组石拱桥的图片,观察桥拱的形状 问:你见过石拱桥吗?你观察过桥拱的形状吗? 【活动方略】 教师出示图片 学生观察图片发表见解, 【设计意图】 在生活实际中提出桥拱问题,为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境,激发学 生学习热情,同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料 、探索新知 问题1一抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米水面下降1 米,水面宽度增加多少? 1.分析问题
1 Www.chinaedu.com 26.3 实际问题与二次函数（3） 教学内容 本节课主要利用二次函数解决有关拱桥等问题。 教学目标 知识技能 生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。 数学思考 在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想． 解决问题 1．通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维． 2．在转化、建模中，学会合作、交流． 情感态度 1．通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情． 2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神． 重难点、关键 重点：利用二次函数解决有关拱桥问题． 难点：建立二次函数数学模型． 关键：在问题转化、建模过程中，体会二次函数的应用及数形结合的思想。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 欣赏一组石拱桥的图片，观察桥拱的形状． 问： 你见过石拱桥吗？你观察过桥拱的形状吗？ 【活动方略】 教师出示图片． 学生观察图片发表见解． 【设计意图】 在生活实际中提出桥拱问题，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学 生学习热情，同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料． 二、探索新知 [问题 1] 一抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米.水面下降 1 米，水面宽度增加多少？ 1．分析问题
10远程教育网 (1)如何设抛物线表示的二次函数? (2)水面下降1米的含义是什么? (3)如何求宽度增加多少? 2.解决问题 解:设抛物线表示的二次函数为y=ax2 图26.3-3 师生共同得到 由题意知抛物线经过点(2,-2) 可得-2=ax2,a=-1 这条抛物线表示的二次函数为y 又知水面下降1米时,水面的纵坐标为y=-3,则对应的横坐标是-√6和√6 所以水面增加的宽度是(2√6-4)米 「问题21 有一座抛物线拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米 (1)如图26-3-12所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式 2)在正常水位的基础上,当水位上升h(米)时,桥下 水面的宽度为d(米),求出将d表示为h的函数解析式 3)设正常水位时桥下的水深为2米,为保证过往船只 顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18米。求水深超过多 正常水位 少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行 【解析】建立适当的平面直角坐标系,以拱桥曲景高点 图26-3-12 为坐标原点,可求出抛物线的解析式及相应的d表示为h的函数解析式等 解:(1)如图26-3-12所示,谩抛物线的解析式为y=ax2 在正常水位时,B点坐标为(10,-4) 4=a102
2 Www.chinaedu.com （1）如何设抛物线表示的二次函数？ （2）水面下降 1 米的含义是什么？ （3）如何求宽度增加多少？ 2．解决问题 解：设抛物线表示的二次函数为 2 y = ax ． y 0 1 x 图 26.3-3 师生共同得到： 由题意知抛物线经过点 (2,−2) ， 可得 2 − 2 = ax ， 2 1 a = − ． 这条抛物线表示的二次函数为 2 2 1 y = − x 又知水面下降 1 米时，水面的纵坐标为 y = −3 ，则对应的横坐标是− 6 和 6 所以水面增加的宽度是 (2 6 − 4) 米． [问题 2] 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米． (1)如图 26-3-12 所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式： (2)在正常水位的基础上，当水位上升 h（米)时，桥下 水面的宽度为 d(米)，求出将 d 表示为 h 的函数解析式； (3)设正常水位时桥下的水深为 2 米，为保证过往船只 顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 米。求水深超过多 少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行． 【解析】建立适当的平面直角坐标系，以拱桥曲景高点 为坐标原点，可求出抛物线的解析式及相应的 d 表示为 h 的函数解析式等． 解：(1)如图 26-3-12 所示，谩抛物线的解析式为 y=ax2 ∵在正常水位时，B 点坐标为(10，-4)。 ∴-4=a10 2。． 1 1 0 - 3 ( - 2 , - 2 ) ( 2 ,- 2 ) x y
10远程教育网 ∴a=-,∴该抛物线的解析式为y=-x2 (2)当水住上升h米时,D点的纵坐标为-(4-h).设D点的横坐标为x,则有 -(4+h)=-x,∴x=5√4-h:d210√4-h 81 3)当桥下水面宽为18米时,得18=10√4-h.∴h=4-21=0.76 又2+0.76=2.76(米), 即桥下水深超过2.76米时,就会影响过往船只在桥下顺利航行 【点评】①求抛物线的解析式y=ax2,关键是求a的值,抛物线经过点B(10,-4).代人y=ax2 中可求a的值 ②抛物线又经过点D(x,-4+h),代人y=ax2中可求出x值.从而求出d表示为h的函 数解析式 【活动方略】 教师展示图片并提出问题; 学生观察图片,自主分析,得出结论。 【设计意图】 通过实际问题的解决,并对解决方法进行反思,获得解决问题的经验,感受数学的价值 反馈练习 有一抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面的宽度是4√6米,水位上升4米就达到 警戒线CD,这时水面宽是43米.若洪水到来时,水位以每小时05米速度上升,求水过 警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况 四、应用拓展 例1:某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏 需按间距0.4m加设不锈钢管如图做成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计 人员测得如图所示的数据 (1)求该抛物线的解析式:
3 Www.chinaedu.com ∴a=- 25 1 ,∴该抛物线的解析式为 y=- 25 1 x 2 (2)当水住上升 h 米时，D 点的纵坐标为 -(4-h)．设 D 点的横坐标为 x，则有 -(4-h)= - 25 1 x 2，∴x= 5 4 − h ∴d=2 x =10 4 − h (3)当桥下水面宽为 18 米时，得 18=10 4 − h ．∴h=4- 25 81 =0.76． 又 2+0.76=2.76(米)， 即桥下水深超过 2.76 米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行． 【点评】①求抛物线的解析式 y=ax2，关键是求 a 的值，抛物线经过点 B(10，-4)．代人 y=ax 2 中可求 a 的值． ②抛物线又经过点 D(x，-4+h)，代人 y=ax 2 中可求出 x 值．从而求出 d 表示为 h 的函 数解析式． 【活动方略】 教师展示图片并提出问题； 学生观察图片，自主分析，得出结论。 【设计意图】 通过实际问题的解决，并对解决方法进行反思，获得解决问题的经验，感受数学的价值． 三、反馈练习 有一抛物线拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面的宽度是 4 6 米，水位上升 4 米就达到 警戒线 CD，这时水面宽是 4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时 0.5 米速度上升，求水过 警戒线后几小时淹到拱桥顶端 M 处． y M C D A 0 B x 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、应用拓展 例 1：某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏 需按间距 0.4 m 加设不锈钢管如图做成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计 人员测得如图所示的数据． (1)求该抛物线的解析式：
10远程教育网 (2)计算所需不锈钢管的总长度 【点拨】本题的关键是建立一个平面直角坐标系 解:(1)以点0为原点,直践0A为横轴,以射线QA的方向为 x轴正方向。过点0与0A垂直的直线为y轴建立平面直角坐0 标系(如26-3一i3所示) 设此抛物线解析式为y=a(x-2)(a≠0) 由题意可得,抛物线顶点坐标为(1,0.5) ∴0.5=a×1×(1-2) 解得a= ∴该抛物线的解析式为y=-x(x-2) (2)当x=0.4时,y=--×0.4×(0.4-2)=0.32(m 当x=0.8时,y=--×0.8×(0.8-2)=0.48(m) 当x=1.2时,y=--×1.2×(1.2-2)=0.48(m) 当x=1.6时,y=-×1.6×(1.6-2)=0.32(m 所需不镑钢管的总长度为50×2(0.32+0.48)=80(m) 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值,掌握实际问题的解决方法 五、小结作业 用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意什么? (1)建立恰当的平面直角坐标系 (2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标,求出解析式 2.作业:课本P29习题26.3第7题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】 加深学生对知识的理解,促进学生对所学知识的反思、巩固、提高,使每个学生都有 不同的发展和提高
4 Www.chinaedu.com (2)计算所需不锈钢管的总长度． 【点拨】本题的关键是建立一个平面直角坐标系． 解：(1)以点 0 为原点，直践 0A 为横轴，以射线 0A 的方向为 x 轴正方向。过点 O 与 0A 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐 标系(如 26—3 一 i3 所示)． 设此抛物线解析式为 y= ax(x − 2) (a≠0)． 由题意可得，抛物线顶点坐标为(1，0.5)。 ∴0.5=a×1×(1-2)． 解得 a=- 2 1 ∴该抛物线的解析式为 y=- ( 2) 2 1 x x − ． (2)当 x=0.4 时，y=- 2 1 ×0.4×(0.4-2)=0.32(m)． 当 x=0.8 时，y=- 2 1 ×0.8×(0.8-2)=0.48(m)． 当 x=1.2 时，y=- 2 1 ×1.2×(1.2-2)=0.48(m). 当 x=1．6 时，y=- 2 1 ×1.6×(1.6-2)=0．32(m)． ∴所需不镑钢管的总长度为 50×2(0.32+0.48)=80(m)． 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法． 五、小结作业 用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意什么? (1)建立恰当的平面直角坐标系． (2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式_ 2．作业：课本 P29 习题 26．3 第 7 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】 加深学生对知识的理解，促进学生对所学知识的反思、巩固、提高，使每个学生都有 不同的发展和提高．