10远程教育网 28.2解直角三角形(1) 教学内容 本节课主要学习28.2解直角三角形的引入 教学目标 知识技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐 角互余及锐角三角函数解直角三角形。 数学思考 在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化 解决问题 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角 形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯。 重难点、关键 重点:解直角三角形的意义及一般方法 难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 关键:会利用已知边角求未知边 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 、复习引入 1.在三角形中共有哪几个元素? 2.直角Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)边角之间关系 (2)三边之间关系 a2+b2=c2(勾股定理 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90 【活动方略 学生思考问答,教师诱导小结 【设计意图】 复习直角三角形中,各元素之间的关系,引入新课 二、探索新知 问 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角a一般要满足 0°≤a≤75°(课本图28.2-1),现有一个长6m的梯子,问: 1.使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙(精确到0.1m)? http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 1 28.2 解直角三角形（1） 教学内容 本节课主要学习 28.2 解直角三角形的引入 教学目标 知识技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐 角互余及锐角三角函数解直角三角形。 数学思考 在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化。 解决问题 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角 形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 情感态度 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。 重难点、关键 重点：解直角三角形的意义及一般方法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 关键：会利用已知边角求未知边。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 1．在三角形中共有哪几个元素？ 2．直角 Rt△ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA= c a cosA= c b tanA b a (2)三边之间关系 a 2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 【活动方略】 学生思考问答，教师诱导小结． 【设计意图】 复习直角三角形中，各元素之间的关系，引入新课． 二、探索新知 问题： 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 a 一般要满足 50°≤a≤75°（课本图 28．2-1），现有一个长 6m 的梯子，问： 1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到 0.1m）？
10远程教育网 2.当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角 a等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个 梯子? 分析:对于问题1,当梯子与地面所成的角a为75°时, 梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高 度 教师要求学生将上述问题用数学语言表达,学生做完后 (课本图28.2-1) 教师总结并板书:我们可以把问题1归结为:在Rt△ABC中 已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长(如课本图28.2-1) 教师讲解问题1的解法: BO 由 得BC=AB·sinA=6×sin75° 1B 由计算器求得sin75°≈0.97, 所以BC≈6×0.97≈5.8 因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m 分析问题2:当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面所成的角a的问题,可以归 结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角a的度数(如课本图28.2-1) 教师解题:由于cosa AC2.4 ab 6 利用计算器求得a≈66°.因此当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角大 约是66°,由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的。 小结: 1.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其 中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素 2.教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素, 求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形) 【活动方略】 学生思考与研究解决问题的方向与方法,教师诱导讲解。 【设计意图】 由实际问题引入解直角三角形的问题,并引入解直角三角形的概念 例1在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=√2 √6,解这个三角形 BC√6 AC√ ∠A=60° ∠B=90°-∠A=90°-60°=30° http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 2 2．当梯子底端距离墙面 2.4m 时，梯子与地面所成的角 a 等于多少（精确到 1°）？这时人是否能够安全使用这个 梯子？ 分析：对于问题 1，当梯子与地面所成的角 a 为 75°时， 梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高 度． 教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后 教师总结并板书：我们可以把问题 1 归结为：在 Rt△ABC 中， 已知∠A=75°，斜边 AB=6，求∠A 的对边 BC 的长（如课本图 28．2-1）． 教师讲解问题 1 的解法： 由 sinA= BC AB 得 BC=AB·sinA=6×sin75°． 由计算器求得 sin75°≈0.97， 所以 BC≈6×0.97≈5.8． 因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是 5.8m． 分析问题 2：当梯子底端距离墙面 2.4m 时，求梯子与地面所成的角 a 的问题， 可以归 结为：在 Rt△ABC 中，已知 AC=2.4，斜边 AB=6，求锐角 a 的度数（如课本图 28．2-1）． 教师解题：由于 cosa= AC AB = 2.4 6 =0.4， 利用计算器求得 a≈66°．因此当梯子底端距离墙面 2.4m 时， 梯子与地面所成的角大 约是 66°，由 50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的。 小结： 1．我们已掌握 Rt△ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其 中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 2．教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素， 求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 【活动方略】 学生思考与研究解决问题的方向与方法，教师诱导讲解。 【设计意图】 由实际问题引入解直角三角形的问题，并引入解直角三角形的概念。 例 1 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，且 b= 2 a= 6 ，解这个三角形． 解：∵tanA= 6 2 BC AC = = 3 ， ∴∠A=60°． ∠B=90°-∠A=90°-60°=30°． （课本图 28．2-1） 6 2 www.czsx.com.cn C B A
10远程教育网 AB=2AC=2 例2在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=20,∠B=350 解这个三角形(精确到0.1) 解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55° ,a=- tanb tan35°0.70 sinb sin35°0.57 现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题 先看1972年的情形:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过B 点向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如课本图28.2-5),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m, AB=54.5m BC5.2 SIn- 0.0954 AB545 所以∠A≈5°08′ 教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线 的夹角 小结“已知一边一角,如何解直角三角形?” 先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边.计 算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原 图28.2-5 始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致 一错到底 【活动方略】 学生思考解答,教师诱导讲解,最后小结 【设计意图】 引导学生采用不同方法解直角三角形,使学生熟悉直角三角形中的各种关系 、反馈练习 课本第91页练习1、2题. 补充练习: http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 3 AB=2AC=2 2 ． 例 2 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，且 b= 20, B =35 0 ， 解这个三角形（精确到 0.1）． 解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°． ∵tanB= b a ． ∴a= 20 20 tan tan 35 0.70 b B = ≈28.6． ∵sinB= b c ， ∴c= 20 20 sin sin 35 0.57 b B = ≈35.1． 现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题． 先看 1972 年的情形：设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为 A， 过 B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如课本图 28．2-5），在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2m， AB=54.5m． sin= 5.2 54.5 BC AB = ≈0.0954． 所以∠A≈5°08′． 教师要求学生求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线 的夹角． 小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计 算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原 始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致 一错到底． 【活动方略】 学生思考解答，教师诱导讲解，最后小结。 【设计意图】 引导学生采用不同方法解直角三角形，使学生熟悉直角三角形中的各种关系。 三、反馈练习 课本第 91 页练习 1、2 题． 补充练习： c b=20 a 35 B C A 图 28．2-5
10远程教育网 1.Rt△ABC中,若sinA B=10,那么BC= 2.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA的值是() 【活动方略】 学生独立思考、独立解题. 教师巡视、指导,并选取3名学生上台书写答案。 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例2.在△ABC中,∠C为直角,AC=6,∠BAC的平分线AD=4√3,解此直角三角形。 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答 【设计意图】 巩固加深对知识的理解,提高学生数学素养 五、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发 本节课应掌握 利用三角函数解应用题时,首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的 边和角,然后再运用三角函数知识解题 2.作业:课本第96页习题28.2第1、2题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 4 1．Rt△ABC 中，若 sinA= 4 5 ，AB=10，那么 BC=_____，tanB=______． 2．在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么 sinA=________． 3．在△ABC 中，∠C=90°，sinA= 3 5 ，则 cosA 的值是（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 9 16 . 25 25 D 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取 3 名学生上台书写答案。 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例 2．在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC 的平分线 AD=4 3 ，解此直角三角形。 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 巩固加深对知识的理解，提高学生数学素养． 五、小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ 本节课应掌握： 利用三角函数解应用题时， 首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的 边和角，然后再运用三角函数知识解题． 2．作业：课本第 96 页习题 28．2 第 1、2 题． 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识