10远程教育网 28.1锐角三角函数(1) 教学内容 本节课主要学习28.1正弦函数 教学目标 知识技能 了解正弦函数的概念,能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比;记忆30 45°、60°的正弦函数值,并会由一个特殊角的正弦函数值说出这个角 数学思考 通过正弦函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养 学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。 解决问题 引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。 情感态度 在探索过程中,培养学生与他人交流、合作的意识和品质,提高学生对几何图形 美的认识 难点、关键 重点:正弦函数概念及其应用 难点:使学生知道当锐角固定时,它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实.用含有 几个字母的符号组sinA表示正弦。 关键:引导学生比较、分析在直角三角形中,当锐角固定时,它的对边与斜边的比值也 是固定的这一事实 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 情境引入 杂志上有过这样的一篇报道:始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾 斜.1972年比萨发生地震,这座高545m的斜塔大幅度摇摆2分之分,仍巍然屹立.可 是,塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的21m增加至52m,·而且还以每 年倾斜lcm·的速度继续增加,·随时都有倒塌的危险.·为此,·意大利当局从199 年起对斜塔进行维修纠偏,2001年竣工,使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前 减少了43.8cm 根据上面的这段报道中,“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的21m 增加至5.2m,”这句话你是怎样理解的,它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗? 这个问题涉及到锐角三角函数的知识.学过本章之后,你就可以轻松地解答这个问 题了 【活动方略】 教师出示图片,学生观察,教师讲解 【设计意图】 通过问题情境,激发学生学习兴趣,引出锐角三角函数的学习 探索新知 【问题】 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 1 28.1 锐角三角函数（1） 教学内容 本节课主要学习 28.1 正弦函数 教学目标 知识技能 了解正弦函数的概念，能够正确应用 sinA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、 45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的正弦函数值说出这个角。 数学思考 通过正弦函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养 学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。 解决问题 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。 情感态度 在探索过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质，提高学生对几何图形 美的认识。 重难点、关键 重点：正弦函数概念及其应用． 难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有 几个字母的符号组 sinA 表示正弦。 关键：引导学生比较、分析在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也 是固定的这一事实。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、情境引入 杂志上有过这样的一篇报道：始建于 1350 年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾 斜．1972 年比萨发生地震，这座高 54.5m 的斜塔大幅度摇摆 22 分之分，仍巍然屹立．可 是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的 2.1m 增加至 5.2m，• 而且还以每 年倾斜 1cm• 的速度继续增加，• 随时都有倒塌的危险．• 为此，• 意大利当局从 1990 年起对斜塔进行维修纠偏，2001 年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前 减少了 43.8cm． 根据上面的这段报道中，•“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的 2.1m 增加至 5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ 这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问 题了! 【活动方略】 教师出示图片，学生观察，教师讲解． 【设计意图】 通过问题情境，激发学生学习兴趣，引出锐角三角函数的学习． 二、探索新知 【问题】
10远程教育网 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,·在山坡上修建 一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出 水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管? 提出问题:怎样将上述实际问题用数学语言表达,要求学生写在纸上,·互相讨论,看 谁写得最合理,然后由教师总结 教师总结:这个问题可以归纳为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m 求AB(课本图28.1-1) 根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,即 ∠的对边BC_1 斜边 AB 2 可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管. 教师更换问题的条件后提出新问题:·在上面的问题中,·如果使出水口的高度为50m, 那么需要准备多长的水管?·要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点 教师引导学生得出这样的结论:在上面求AB(所需水管的长度)的过程中,虽然问题 条件改变了,但我们所用的定理是一样的:在一个直角三角形中,·如果一个锐角等于30 ,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于一.也是说,只要山 坡的坡度是30°这个条件不变,那么斜边与对边的比值不变 教师提出第2个问题:既然直角三角形中,30°角的斜边与对边的比值不变,那么其他 角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢?·我们再换一个解试一试.·如课本图28.1-2, 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗?·如果是, 是多少? 教师要求学生自己计算,得出结论,然后再由教师总结:在Rt△ABC中,∠C=90°由 于∠A=45°,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2 AB=√2BC http://schoolchinaedu.com 2
http://school.chinaedu.com 2 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，• 在山坡上修建 一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出 水口的高度为 35m，那么需要准备多长的水管？ 提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，• 互相讨论，看 谁写得最合理，然后由教师总结． 教师总结：这个问题可以归纳为，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m， • 求 AB（课本图 28．1-1）． C B A 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 A BC AB = 的对边 斜边 ＝ 1 2 可得 AB=2BC=70m，也就是说，需要准备 70m 长的水管． 教师更换问题的条件后提出新问题：• 在上面的问题中，• 如果使出水口的高度为 50m， 那么需要准备多长的水管？• 要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点． 教师引导学生得出这样的结论：在上面求 AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题 条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，• 如果一个锐角等于 30 °，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 1 2 ．也是说，只要山 坡的坡度是 30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变． 教师提出第 2 个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他 角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？• 我们再换一个解试一试．• 如课本图 28．1-2， 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？• 如果是， 是多少？ C B A 教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在 Rt△ABC 中，∠C=90°由 于∠A=45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2， AB= 2 BC．
10远程教育网 因此BCBC AB√2BC√2 即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角形的大小如何,·这个 角的对边与斜边的比都等于 教师再将问题提升到更高一个层次:·从上面这两个问题的结论中可知,·在一个Rt △ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于一,是一个固定值 当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于y2,也是一个固定值.这就引发我们产生 这样一个疑问:当∠A取其他一定度数的锐角时,·它的对边与斜边的比是否也是一个固定 值 教师直接告诉学生,这个问题的回答是肯定的,并边板书,·边与学生共同探究证明方 法.这为问题可以转化为以下数学语言: 任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′(课本图28.1-3),使得∠C=∠C′=90°,∠A= B'C ∠A′=a,那么 AB,有什么关系 在课本图28.1-3中,由于∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a,所以Rt△ABC∽Rt△A BC AB BC B'C BCAB AB A B 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,·∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值 在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的.为了引用这个结论时叙述方 便,数学家作出了如下规定: 如课本图28.1-4,在Rt△BC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦,记作sinA,即sinA http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 3 因此 1 2 2 BC BC AB BC = = = 2 2 ， 即在直角三角形中，当一个锐角等于 45°时，不管这个直角三角形的大小如何，• 这个 角的对边与斜边的比都等于 2 2 ． 教师再将问题提升到更高一个层次：• 从上面这两个问题的结论中可知，• 在一个 Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值； • 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 2 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生 这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，• 它的对边与斜边的比是否也是一个固定 值？ 教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，• 边与学生共同探究证明方 法．这为问题可以转化为以下数学语言： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′（课本图 28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A= ∠A′=a，那么 ' ' ' ' BC B C AB A B 与 有什么关系． B' A' C' www.czsx.com.cn C B A 在课本图 28．1-3 中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以 Rt△ABC∽Rt△A ′B′C′， ' ' ' ' BC AB B C A B = ，即 ' ' ' ' BC B C AB A B = ． 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，• ∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方 便，数学家作出了如下规定： 如课本图 28．1-4，在 Rt△BC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作 sinA，即 sinA= = a c ．
10远程教育网 对边a 在课本图28.1-4中,∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c 例如,当∠A=30°时,我们有sinA=sn30°l 当∠A=45°时,我们有sinA=sin45°= 【活动方略】 引导学生比较、分析在直角三角形中,当锐角固定时,它的对边与斜边的比值也是固定 的这一事实,归纳出正弦函数的概念 【设计意图】 从特殊到一般,引导学生探究,确立一个锐角的正弦的定义 例1如课本图28.1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值 (1) 教师对题目进行分析:求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比;求sinB·就是要确 定∠B的对边与斜边的比.我们己经知道了∠A对边的值,所以解题时应先求斜边的高 解:如课本图28.5-1(1),在Rt△ABC中, AB=√AC2+BC2=√42+32=5 因此sinA=BC3 AC 4 如课本图28.5-1(2),在Rt△ABC中 snA=BC=5,AC=√AB2-BC=√32 AB 13 因此,smB=C_12 AB 13 【活动方略】 教师出示问题:学生观察,小组讨论解答:;教师指导 【设计意图】 在求解中加深对知识的认识,体会知识的方法以及在应用中要注意的问题 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 4 斜边c 对边a b C B A 在课本图 28．1-4 中，∠A 的对边记作 a，∠B 的对边记作 b，∠C 的对边记作 c． 例如，当∠A=30°时，我们有 sinA=sin30°= 1 2 ； 当∠A=45°时，我们有 sinA=sin45°= 2 2 ． 【活动方略】 引导学生比较、分析在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定 的这一事实，归纳出正弦函数的概念。 【设计意图】 从特殊到一般，引导学生探究，确立一个锐角的正弦的定义． 例 1 如课本图 28．1-5，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和 sinB 的值． (1) 3 4 C B A (2) 13 3 5 C B A 教师对题目进行分析：求 sinA 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求 sinB• 就是要确 定∠B 的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A 对边的值，所以解题时应先求斜边的高． 解：如课本图 28．5-1（1），在 Rt△ABC 中， AB= 2 2 2 2 AC BC + = + 4 3 =5． 因此 sinA= BC AB = 3 5 ，sinB= AC AB = 4 5 ． 如课本图 28．5-1（2），在 Rt△ABC 中， sinA= BC AB = 5 13 ，AC= 2 2 2 2 AB BC − = − 13 5 =12． 因此，sinB= AC AB = 12 13 ． 【活动方略】 教师出示问题；学生观察，小组讨论解答；教师指导． 【设计意图】 在求解中加深对知识的认识，体会知识的方法以及在应用中要注意的问题
10远程教育网 三、反馈练习 课本第79页练习 1.如图1,已知点P的坐标是(a,b),则sina等于() a b b √a2 P(a, b) (2) 2.在R△ABC中,∠C=90°,sinA= 则sinB等于() 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA的值是() √15 B 4.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,snB=二,BC的长是( √2IB 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写答案 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例2已知△ABC中,D为AB的中点,DC⊥AC,且∠BCD=30°,求∠CDA的正弦值 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 ttp://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 5 E D C A B 三、反馈练习 课本第 79 页练习 1．如图 1，已知点 P 的坐标是（a，b），则 sinα等于（ ） A． a b B． b a C． 2 2 2 2 . a b D a b a b + + P(a,b) y x www.czsx.com.cn O B C A （1） （2） 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= 5 13 ，则 sinB 等于（ ） A． 12 13 B． 13 12 C． 5 12 D． 5 13 3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=1，c=4，则 sinA 的值是（ ）． A． 15 1 1 15 . . . 15 4 3 4 B C D 4．如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinB= 2 5 ，BC 的长是（ ）． A．2 21 21 .4 . 21 . 50 B C D 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写答案。 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例2已知△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD=30°，求∠CDA的正弦值。 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】
10远程教育网 巩固加深对知识的理解,提高学生数学素养 五、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发? 本节课应掌握: 在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A·的对边与斜 边的比都是一个固定值 在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A·的正弦,·记 作sinA, 2.作业:课本第85页习题28.1复习巩固第1题、第2题.(只做与正弦函数有关的 部分) 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 6 巩固加深对知识的理解，提高学生数学素养． 五、小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ 本节课应掌握： 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A• 的对边与斜 边的比都是一个固定值． 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A• 的正弦，• 记 作 sinA， 2．作业：课本第 85 页习题 28．1 复习巩固第 1 题、第 2 题．（只做与正弦函数有关的 部分） 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识