10远程教育网 27.2相似三角形(5) 教学内容 本节课主要学习27.2.2相似三角形应用举例2 教学目标 知识技能 利用相似三角形的性质解决实际问题 数学思考 通过利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题,让学生体 会数学转化的思想,并体会如何用已学习的数学知识解决实际问题 解决问题 利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题 情感态度 让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐 重难点、关键 重点:运用两个三角形相似解决实际问题 难点:在实际问题中建立数学模型 关键:利用工具构造相似三角形的模型 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 复习引入 复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义 2.回顾相似三角形的概念及判定方法 3.利用三角形的相似,如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题 【活动方略】 教师提出问题;学生思考,回答问题 【设计意图】 通过复习有关知识,引入新课的学习 二、探索新知 例1:已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树根部的距离 BD=5m.一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当他与 左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C? 本例事实上是利用标杆测量物体高度的变式题。如图(1),设观察者眼睛的位置(视点) 为点F,画出观察者的水平视线FG,它交AB、CD于点H,K,视线FA,FG的夹角∠AFH 是观察点A时的仰角,类似地,∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡,区域I和Ⅱ
1 Www.chinaedu.com 27.2 相似三角形（5） 教学内容 本节课主要学习 27.2.2 相似三角形应用举例 2 教学目标 知识技能 利用相似三角形的性质解决实际问题． 数学思考 通过利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体 会数学转化的思想，并体会如何用已学习的数学知识解决实际问题． 解决问题 利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题。 情感态度 让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐． 重难点、关键 重点：运用两个三角形相似解决实际问题 难点：在实际问题中建立数学模型 关键：利用工具构造相似三角形的模型 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 1． 复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义 2． 回顾相似三角形的概念及判定方法 3． 利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题 【活动方略】 教师提出问题；学生思考，回答问题． 【设计意图】 通过复习有关知识，引入新课的学习． 二、探索新知 例 1：已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树根部的距离 BD = 5 m．一个身高 1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当他与 左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点 C？ 本例事实上是利用标杆测量物体高度的变式题。如图（1），设观察者眼睛的位置（视点） 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB、CD 于点 H，K，视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 时的仰角，类似地，∠ CFK 是观察点 C 时的仰角．由于树的遮挡，区域 I 和Ⅱ
10远程教育网 都在观察者看不到的区域(盲区)之内 对于本例先考虑极端情形,即观察者的眼睛的位置点F与两棵树的顶点A,C恰在一条 直线上如图(2).再考虑题中要求的情况 AB⊥LCD⊥→AB∥CD,△AFH∽△CFK FKCK’即、FH FH AH 8-1.664 解得FH=8。 FH+512-1.6104 【活动方略】 教师出示问题;学生小组讨论;学生运用相似三角形的性质,正确解答 【设计意图】 引导学生认真体会这一生活实际中常见的场景,借助图形把这一实际中常见的场景,抽 象成数学图形,先让学生经历这一抽象的过程,再利用相似的性质解决这一实际问题 例2:马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米 (1)若吊环高度为2米,支点 A为跷跷板PQ的中点,狮子能否 将公鸡送到吊环上?为什么? (2)若吊环高度为3.6米, 在不改变其他条件的前提 下移动支柱,当支点A移 到跷跷板PQ的什么位置时, 狮子刚好能将公鸡送到吊环上? 【解析】(1)将问题转化(a),由A点是PQ的中点,易求出QH的长度,再与吊环的高 度进行比较.(2)方法同(a) B (b) 解:(1)狮子能将公鸡送到吊环上 当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ. AB PA 由APa=PQ,A为的中点,=29 ∴QH=2AB,∵AB=1.2∴QH=2.4>2。 ∴狮子能将公鸡送到吊环上 (2)支点A移到跷跷板PQ的三分之一处(PA=-PQ),狮子刚好能将公鸡送到吊环上.如
2 Www.chinaedu.com 都在观察者看不到的区域（盲区）之内． 对于本例先考虑极端情形，即观察者的眼睛的位置点 F 与两棵树的顶点 A，C 恰在一条 直线上如图（2）．再考虑题中要求的情况． AB l CD l ⊥ ⊥ , AB∥CD，∆AFH∽∆CFK。 FH AH FK CK = ，即 8 1.6 6.4 5 12 1.6 10.4 FH FH − = = + − ，解得 FH=8。 【活动方略】 教师出示问题；学生小组讨论；学生运用相似三角形的性质，正确解答． 【设计意图】 引导学生认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的场景，抽 象成数学图形，先让学生经历这一抽象的过程，再利用相似的性质解决这一实际问题． 例 2：马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱 AB 的高度为 1．2 米． （1）若吊环高度为 2 米，支点 A 为跷跷板 PQ 的中点，狮子能否 将公鸡送到吊环上?为什么? （2）若吊环高度为 3．6 米， 在不改变其他条件的前提 下移动支柱，当支点 A 移 到跷跷板 PQ 的什么位置时， 狮子刚好能将公鸡送到吊环上? 【解析】（1）将问题转化（a），由 A 点是 PQ 的中点，易求出 QH 的长度，再与吊环的高 度进行比较．（2）方法同（a）． 解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上． 当狮子将跷跷板 P 端按到底时可得到 Rt△PHQ． 由△PAB∽△PQH 得 PQ PA QH AB = ，又∵A 为 PQ 的中点，∴PA＝ 2 1 PQ ∴QH＝2AB，∵AB＝1.2 ∴QH＝2.4＞2。 ∴狮子能将公鸡送到吊环上． （2）支点 A 移到跷跷板 PQ 的三分之一处（PA＝ 3 1 PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上．如 A B P Q H （a） A B P Q H （b）
10远程教育网 图27-2-31(b),△PAB∽△PQH AB PA 1 =-∴QH=3AB=3.6(米). OH PO 3 【设计意图】 将数学问题置之于游戏的情景之中,增加了数学的趣味性激发学生学习数学的兴趣和热 三、反馈练习 1.如图所示的一个零件,需计算出它的厚度x和内孔直径d的长(不能直接量出x和 d的长),工人师傅用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB: OD=3,且量得CD=3cm,零件外径a-=11cm,你能帮助工人师傅计算出内径d和厚度ⅹ吗? 说明理由 2.为防水患,在漓江上游修筑了防洪堤,其截面为一梯形如图所示).堤的上底宽AD和 堤高DF都是6m,其中∠B=∠CDF (1)求证:△ABE∽△CDF AE (2)如果 2,求堤的下底BC的长 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写答案。 【设计意图】 辨析思考,巩固知识,同时检査学生对所学知识的掌握情况. 四、应用拓展 例3:查视力时,规定人与视力表之间的距离应为5米.如图(1),现因房间两面墙的 距离为3米,因此借助于平面镜来解决房间小的问题。若使墙面镜子能呈现出完整的视力表, 如图(2)
3 Www.chinaedu.com 图 27—2－3l（b），△PAB∽△PQH， 3 1 = = PQ PA QH AB ∴QH=3AB=3．6(米)． 【设计意图】 将数学问题置之于游戏的情景之中，增加了数学的趣味性激发学生学习数学的兴趣和热 情。 三、反馈练习 1．如图所示的一个零件，需计算出它的厚度 x 和内孔直径 d 的长（不能直接量出 x 和 d 的长），工人师傅用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等）去量，若 OA：OC=OB： OD=3，且量得 CD=3 cm，零件外径 a=11 cm，你能帮助工人师傅计算出内径 d 和厚度 x 吗? 说明理由． 2． 为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其截面为一梯形(如图所示)．堤的上底宽 AD 和 堤高 DF 都是 6m，其中∠B=∠CDF． （1）求证：△ABE∽△CDF （2）如果 BE AE ＝2，求堤的下底 BC 的长． 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写答案。 【设计意图】 辨析思考，巩固知识，同时检查学生对所学知识的掌握情况. 四、应用拓展 例 3: 查视力时，规定人与视力表之间的距离应为 5 米．如图（1），现因房间两面墙的 距离为 3 米，因此借助于平面镜来解决房间小的问题。若使墙面镜子能呈现出完整的视力表， 如图（2）．
10远程教育网 由平面镜成像原理,作出了光路图,其中视力表AB的上下边沿A:B发出的光线经平面 镜M’的上下边沿反射后射人人眼C处.如果视力表的全长为0.8米,请计算出镜长至少 应为多少米? 解:∵AB∥M∥AB′,CD⊥MM′∴CE⊥A′B′,△CMM"∽△CAB′ MM CD D=5-3=2,CE=5,AB=AB=0.8 A'B CE M 2 =二,MM′=0.32(米 0.8′ 镜长至少庄为0.32米 例4:如图,在一个长40m,宽30m的长方形小操场上,王刚从A点出发。沿着A→B→C 的路线以3m/s的速度跑向C地,当他跑出4s后,张华有东西需要交给他,就从A地 出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地2-m的D处时,他和王刚在阳光下的影 子恰好重叠在同一条直线上,此时,A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线 AC上 (1)求他们的影子重叠时,两人相距多少米DE的长)? (2)求张华追赶王刚的速度是多少(精确到0.1m/s)? 解:(1)由阳光与影子的性质可知DE∥AC。 ∴∠BDE=∠BAG,∠BED=∠BCA △BDE∽△BAC DE AC AC=√302+402=50(m) BD AB (m) (m),AB=40(m) DE=-(m) 3 (2)BE=√DE2+BD2=2 王刚到达E点所用时间为 40+2 14(秒),张华到达D点 所用时间为14-4=10(s),张华追赶王刚的速度为 8 (40-)÷10≈3.7(m/s) 【点评】张华和王刚影子重叠时,就是他们所处的位置的连线应与对角线平行.明确这一点 很重要
4 Www.chinaedu.com 由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表 AB 的上下边沿 A；B 发出的光线经平面 镜 MM’的上下边沿反射后射人人眼 C 处．如果视力表的全长为 0. 8 米，请计算出镜长至少 应为多少米? 解：∵AB∥MM＇∥A'B＇，CD⊥MM＇∴CE⊥A＇B＇， △ CMM'∽△CAB＇ ∴ CE CD A B MM = ' ' ' 。又∵CD＝5－3＝2，CE＝5，A’B’＝AB＝0.8 ∴ 5 2 0.8' ' = MM ，MM＇＝0.32（米） ∴镜长至少庄为 0．32 米． 例 4:如图，在一个长 40 m，宽 30m 的长方形小操场上，王刚从 A 点出发。沿着 A→B→C 的路线以 3 m／s 的速度跑向 C 地，当他跑出 4 s 后，张华有东西需要交给他，就从 A 地 出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距 B 地 3 2 2 m 的 D 处时，他和王刚在阳光下的影 子恰好重叠在同一条直线上，此时，A 处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线 AC 上 （1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米(DE 的长)? （2）求张华追赶王刚的速度是多少(精确到 0．1 m／s)? 解：（1）由阳光与影子的性质可知 DE∥AC。 ∴∠BDE=∠BAG，∠BED=∠BCA。 ∴△BDE∽△BAC， ∴ AB AC BD DE = AC= 2 2 30 + 40 ＝50（m） BD＝ 3 2 2 （m）＝ 3 8 （m），AB＝40（m）， ∴DE= 3 10 （m） （2）BE＝ 2 2 DE + BD ＝2， 王刚到达 E 点所用时间为 3 40 + 2 ＝14（秒），张华到达 D 点 所用时间为 14—4=10（s），张华追赶王刚的速度为 （40－ 3 8 )÷10≈3．7(m／s)． 【点评】张华和王刚影子重叠时，就是他们所处的位置的连线应与对角线平行．明确这一点 很重要
10远程教育网 活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 在富有故事性或现实性的数学情景问题中,探究解决问题的方法,培养学生的数学学习 兴趣,锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力 五、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发? 本节课应掌握 利用三角形的相似,解决实际问题,建立数学模型的过程:“审题→画示意图→明 确数量关系→解决问题” 2.作业:教材P56习题27.2第9、11、16题. 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结. 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识
5 Www.chinaedu.com 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，培养学生的数学学习 兴趣，锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力 五、小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ 本节课应掌握： 利用三角形的相似，解决实际问题，建立数学模型的过程： “审题 画示意图 明 确数量关系 解决问题”。 2．作业：教材 P56 习题 27.2 第 9、11、16 题． 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识