10远程教育网 27.3位似(2) 双基演练 1.在平面直角坐标系中,有两点A(3,6),B(6,6),以原点0为位似中心,相似比为 把线段AB缩小,位似变换后,求A、B的对应点的坐标 2.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,1),B(4,4),C(6,3),以点0为位似中 心,相似比为2,将△ABC放大,位似变换后,求A、B、C的对应点的坐标 241681012xl 3.如图,正方形ABCD的顶点坐标分别为A(8,8),B(4,0),C(12,-4),D(16,4), 画出它以原点0为位似中心、相似比为的位似图形,并确定其对应点的坐标 2:8=4 4.把图中的Rt△ABC以点D为位似中心,相似比为一,得到Rt△AB′C′.请画出△A 并写出△ABC和△A′B′C′的顶点坐标
1 Www.chinaedu.com 27.3 位似（2） ⚫ 双基演练 1．在平面直角坐标系中，有两点 A（3，6），B（6，6），以原点 O 为位似中心，相似比为 1 3 ，把线段 AB 缩小，位似变换后，求 A、B 的对应点的坐标． 2．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，1），B（4，4），C（6，3），以点 O 为位似中 心， 相似比为 2，将△ABC 放大，位似变换后，求 A、B、C 的对应点的坐标． 3．如图，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（8，8），B（4，0），C（12，-4），D（16，4）， 画出它以原点 O 为位似中心、相似比为 1 2 的位似图形，并确定其对应点的坐标． 4．把图中的 Rt△ABC 以点 D 为位似中心，相似比为 1 2 ，得到 Rt△A′B′C′．请画出△A ′B′C′，并写出△ABC 和△A′B′C′的顶点坐标．
10远程教育网 2-04dx 5.如图,图中的一条白鱼和一条黑鱼是用位似方法建立的相似图形,请找出位似中心,并 确定位似中心的坐标和相似比以及白鱼、黑鱼眼睛所在的点的坐标 能力提升 6.如图,在线段AB上取一点D,使△DB0与等腰Rt△ABC相似,求点D的坐标及△DBO 与△ABC的相似比 田中日 7.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,-2),B(3,-1),C(2,1),将△ABC 作下列变换.画出相应的图形,并指出三个对应顶点的坐标 (1)沿y轴正方向平移4个单位 (2)关于x轴对称 (3)以点B为位似中心,放大为原来的2倍 聚焦中考 8.(2008宁波)如图,在边长均为1的小正方形网格纸中,△OAB的顶点O、A、B均在 格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上
2 Www.chinaedu.com 5．如图，图中的一条白鱼和一条黑鱼是用位似方法建立的相似图形，请找出位似中心，并 确定位似中心的坐标和相似比以及白鱼、黑鱼眼睛所在的点的坐标． ⚫ 能力提升 6．如图，在线段 AB 上取一点 D，使△DBO 与等腰 Rt△ABC•相似， 求点 D•的坐标及△DBO 与△ABC 的相似比． 7．如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（0，-2），B（3，-1），C（2，1），将△ABC 作下列变换．画出相应的图形，并指出三个对应顶点的坐标． （1）沿 y 轴正方向平移 4 个单位； （2）关于 x 轴对称； （3）以点 B 为位似中心，放大为原来的 2 倍． ⚫ 聚焦中考 8．(2008 宁波) 如图，在边长均为 1 的小正方形网格纸中，△ OAB 的顶点 O 、 A 、 B 均在 格点上，且 O 是直角坐标系的原点，点 A 在 x 轴上．
10远程教育网 (1)以O为位似中心,将△OAB放大,使得放大后的 △OA1B1与△OAB对应线段的比为2:1,画出 △O4B1·(所画△OA1B1与4OAB在原点两侧) (2)求出线段AB所在直线的函数关系式 9.(2008年芜湖) 如图,已知A(-4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相 似比为94,将OB向右侧放大,B点的对应点为C. (1)求C点坐标及直线BC的解析式 (2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数 图象; (3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB 距离为3√2的点P 解: B 第24题图 谷案 1.A、B的对应点的坐标分别为A(1,2),B′(2,2) 和A"(-1,-2),B"(-2,-2) 2.A、B、C的对应点的坐标分别为A′(4,2),B′(8,8),C′(12,6) 和A″(-4,-2),B"(-8,-8),C"(-12,-6) B、C、D的对应点的坐标分别为A′(4,4),B′(2,0),C′(6,-2) D′(8,2)和A″(-4,-4),B"(-2,0)
3 Www.chinaedu.com （1）以 O 为位似中心，将△ OAB 放大，使得放大后的 △ OA1B1 与 △ OAB 对应线段的比为 2∶1 ，画出 △ OA1B1 ．（所画△ OA1B1 与△ OAB 在原点两侧）． （2）求出线段 A1B1 所在直线的函数关系式． 9．（2008 年芜湖） 如图，已知 A( 4,0) − ， B(0, 4) ，现以 A 点为位似中心，相 似比为 9:4，将 OB 向右侧放大，B 点的对应点为 C． (1) 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式; (2) 一抛物线经过 B、C 两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数 图象; (3) 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 AB 距离为 3 2 的点 P． 解: 答案: 1．A、B 的对应点的坐标分别为 A′（1，2），B′（2，2） 和 A″（-1，-2），B″（-2，-2）． 2．A、B、C 的对应点的坐标分别为 A′（4，2），B′（8，8），C′（12，6） 和 A″（-4，-2），B″（-8，-8），C″（-12，-6）． 3．A、B、C、D 的对应点的坐标分别为 A′（4，4），B′（2，0），C′（6，-2）， D′（8，2）和 A″（-4，-4），B″（-2，0），C″（-6，2），D″（-8，-2）．
10远程教育网 4.A(1,3),B(1,0),C(5,0),A′(0,1.5),B′(0,0),C′(2,0),A (-2,-1.5),B″(-2,0),C″(-4,0) DOBB 2 3 4 C 5.位似中心的坐标为0(0,0),白鱼和黑鱼的相似比一.白鱼眼睛的坐标为(4,3), 黑鱼眼睛的坐标为(8,6 过0作OD∥CA交AB于点D,则D为所求之点,其坐标为(-2,6) △0与△ABC的相似比为2 7.(1)将△ABC沿y轴正方向平移4个单位后得△ A1B1C1,A1(0,2),B1(3,3) A1(2)2 (2)将△ABC关于x轴对称后得△A2B2C2,A2 2),B2(3,1),C2(2,-1) (3)将△ABC以点B为位似中心,放大到原来的2 (B) 倍后得到△AB3C3和△A4B3C4 A3(-3,-3),B3(3,-1),C3(1,3),A4 (9,1),B3(3,-1),C4(5,-5) 8.解:(1)如图,△OA1B就是△OAB放大后的图象 2分 (2)由题意得:A1(4,0),B1(2,-4) 设线段A1B所在直线的函数关系式为y=kx+b(k≠0) 解得 2k+b=-4 b=-8 ∴函数关系式为y=2x-8 9.解:(1) 过C点向x轴作垂线,垂足为D,由位似图形性质可知 A0 BO 4 △ABO∽△ACD,∴ AD Cd 9 y=x+10 由已知A(-4,0),B(0,4)可知:AO=4,BO=4. AD=CD=9.∴C点坐标为(5,9) 4x-0 直线BC的解析是为 9-45-0 化简得:y=x+4 3分 (2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a>0),由题意得: 第24题答案图
4 Www.chinaedu.com 4．A（1，3），B（1，0），C（5，0），A′（0，1．5），B′（0，0），C′（2，0），A ″（-2，-1．5），B″（-2，0），C″（-4，0）． 5．位似中心的坐标为 O（0，0），白鱼和黑鱼的相似比 1 2 ．白鱼眼睛的坐标为（4，3）， 黑鱼眼睛的坐标为（8，6）． 6．过 O 作 OD∥CA 交 AB 于点 D，则 D 为所求之点，其坐标为（-2，6）， △DBO 与△ABC 的相似比为 1 2 ． 7．（1）将△ABC 沿 y 轴正方向平移 4 个单位后得△ A1B1C1，A1（0，2），B1（3，3）， C1（2，5） （2） 将△ABC 关于 x 轴对称后得△A2B2C2，A2（0， 2），B2（3，1），C2（2，-1） （3）将△ABC 以点 B 为位似中心，放大到原来的 2 倍后得到△A3B3C3 和△A4B3C4， A3（-3，-3），B3（3，-1），C3（1，3），A4 （9，1），B3（3，-1），C4（5，-5）． 8．解：（1）如图，△ OA1B1 就是△ OAB 放大后的图象 ······································2 分 （2）由题意得： A1 （4，0）， B1 （2， -4） 设线段 A1B1 所在直线的函数关系式为 y = kx + b(k 0) 则 4 0 2 4 x b k b + = + = − ， 解得 2 8 k b = = − ， ∴函数关系式为 y = 2x − 8 ·····································································6 分 9．解： （1） 过 C 点向 x 轴作垂线，垂足为 D，由位似图形性质可知： △ABO∽△ACD， ∴ 4 9 AO BO AD CD = = ． 由已知 A( 4,0) − ， B(0, 4) 可知： AO BO = = 4, 4 ． ∴ AD CD = = 9．∴C 点坐标为 (5,9)．···············2 分 直线 BC 的解析是为： 4 0 9 4 5 0 y x − − = − − 化简得： y x = + 4 ········································3 分 （2）设抛物线解析式为 2 y ax bx c a = + + ( 0) ，由题意得：
10远程教育网 4 9=25a+5b+c b2-4ac=0 解得:{4=-4{b2= ∴解得抛物线解析式为y=x2-4x+4或y:5m2+4x+ 2+x+4的顶点在x轴负半轴上,不合题意,故舍去 ∴满足条件的抛物线解析式为y=x2-4x+4 (准确画出函数y=x2-4x+4图象) (3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到直线AB的距离为h, 故P点应在与直线AB平行,且相距3√2的上下两条平行直线1和l2上 8分 由平行线的性质可得:两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3√2 如图,设1与y轴交于E点,过E作EF⊥BC于F点 在Rt△BEF中EF=h=32,∠EBF=∠ABO=45, ∴可以求得直线4与y轴交点坐标为(0,10) 10分 同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0,-2) 11分 ∴两直线解析式l:y=x+10;l2:y=x-2 y=x2-4x+4 x2-4x+4 根据题意列出方程组:(1) y=x+10 ∴解得: ∫x=6x2=-1.x=2.Jx=3 y=16(y2=9y2=0y=1 ∴满足条件的点P有四个,它们分别是P(6,16),B2(-1,9),P(2,0)
5 Www.chinaedu.com 2 4 9 25 5 4 0 c a b c b ac = = + + − = ， 解得： 1 1 1 1 4 4 a b c = = − = 2 2 2 1 25 4 5 4 a b c = = = ∴解得抛物线解析式为 2 1 y x x = − + 4 4 或 2 2 1 4 4 25 5 y x x = + + ． 又∵ 2 2 1 4 4 25 5 y x x = + + 的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去． ∴满足条件的抛物线解析式为 2 y x x = − + 4 4 ··················································5 分 （准确画出函数 2 y x x = − + 4 4 图象）···························································7 分 （3） 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P，设 P 到 直线 AB 的距离为 h， 故 P 点应在与直线 AB 平行，且相距 3 2 的上下两条平行直线 1 l 和 2 l 上． ·················8 分 由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 3 2 ． 如图，设 1 l 与 y 轴交于 E 点，过 E 作 EF⊥BC 于 F 点， 在 Rt△BEF 中 EF h = = 3 2 ， = = EBF ABO 45 ， ∴ BE = 6．∴可以求得直线 1 l 与 y 轴交点坐标为 (0,10) ····································10 分 同理可求得直线 2 l 与 y 轴交点坐标为 (0, 2) − ···················································11 分 ∴两直线解析式 1 l y x : 10 = + ； 2 l y x : 2 = − ． 根据题意列出方程组： ⑴ 2 4 4 10 y x x y x = − + = + ；⑵ 2 4 4 2 y x x y x = − + = − ∴解得： 1 1 6 16 x y = = ； 2 2 1 9 x y = − = ； 3 3 2 0 x y = = ； 4 4 3 1 x y = = ∴满足条件的点 P 有四个，它们分别是 1P(6,16)， 2 P ( 1,9) − ， 3P (2,0)