10远程教育网 243正多边形和圆(2) 双基演练 1.一个外角等于它的一个内角的正多边形是 2.一个正多边形的中心角为20°,则它是正形 3.若正多边形的每个内角为144°,则它的中心角是 4.外角大于内角的正多边形是 5.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有()个 ①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤线段;⑥圆;⑦菱形;⑧平行四边形 C.5 6.正五边形绕其中心旋转下列各角度,所得正五边形与原正五边形不重合的是() B.144° C.120° D.72° 7.下列命题正确的是() A.各边相等的多边形是正多边形 B.各内角分别相等的多边形是正多边形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形; D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形 8.已知正多边形的每个内角均为108°,则这个正多边形的边数为( 9.若正三角形的外接圆半径为6cm,则此三角形的内切圆半径为 10.边心距为5cm的正四边形的面积为 11.同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为 12.边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为 13.若正六边形的边长为8cm,则它的边心距为() A. 8cm √3 14.如图所示,木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正 六边形木板,那么这块正六边形木板的边长为() A. 24cm B. 22cm C. 20cm D. 18cm 能力提升 15.已知半径为R的⊙0,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形 16.试比较如图中两个几何图形的异同,分别写出它们的两个相同点和两个不同点 例如:相同点:正方形的对角线相等,正五边形的对角线也相等. 不同点:正方形是中心对称图形,正多边形不是中心对称
1 Www.chinaedu.com 24.3.正多边形和圆(2) ⚫ 双基演练 1．一个外角等于它的一个内角的正多边形是________． 2．一个正多边形的中心角为 20°，则它是正_____形． 3．若正多边形的每个内角为 144°，则它的中心角是_____． 4．外角大于内角的正多边形是________． 5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）个． ①正三角形;②正方形;③正五边形; ④正六边形;⑤线段;⑥圆;⑦菱形;⑧平行四边形 A．3 B．4 C．5 D．6 6．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（ ）． A．226° B．144° C．120° D．72° 7．下列命题正确的是（ ）． A．各边相等的多边形是正多边形; B．各内角分别相等的多边形是正多边形; C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形; D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 8．已知正多边形的每个内角均为 108°，则这个正多边形的边数为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 9．若正三角形的外接圆半径为 6cm，则此三角形的内切圆半径为_____cm． 10．边心距为 5cm 的正四边形的面积为_______． 11．同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为_________． 12．边长为 a 的正 n 边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为_______． 13．若正六边形的边长为 8cm，则它的边心距为（ ）． A．8cm B．6cm C．4 3 cm D．2 3 cm 14．如图所示，木工师傅从一块边长为 60cm 的正三角形木板上锯出一块正 六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为（ ）． A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm ⚫ 能力提升 15．已知半径为 R 的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 16．试比较如图中两个几何图形的异同，分别写出它们的两个相同点和两个不同点． 例如：相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等． 不同点：正方形是中心对称图形，正多边形不是中心对称．
10远程教育网 相同点:(1) (2) 不同点:(1) (2) (正方形)(正五边形) 17.等边△ABC的边长为a,求其内切圆的内接正方形DEFG的面积 18.如图所示,·已知⊙O·的周长等于6丌cm,·求以它的半径为边长的正六边形 ABCDEF 的面积 聚焦中考 19.(2005。北京海淀区)将一块正六边形硬纸片(如图①)做成一个底面仍为正六边形 且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,如图②),需在每一个顶点处剪去一个四边 形,如四边形AGA′H,那么∠GAH的大小是 20.(2008.天津市)如图①,O1,O2,O3,O4为四个等圆的圆心,A,B,C,D为切点 请你在图中画出一条直线,将这四个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的 两个点是 如图②,O1,O2,O3,O4,O3为五个等圆的圆心,A,B, C,D,E为切点,请你在图中画出一条直线,将这五个圆分成面积相等的两部分,并说 明这条直线经过的两个点是 图①
2 Www.chinaedu.com 相同点：（1）__________； （2）____________． 不同点：（1）__________； （2）____________． 17．等边△ABC 的边长为 a，求其内切圆的内接正方形 DEFG 的面积． 18．如图所示，• 已知⊙O• 的周长等于 6 cm，• 求以它的半径为边长的正六边形 ABCDEF 的面积． ⚫ 聚焦中考 19．（2005。北京海淀区）将一块正六边形硬纸片（如图①） 做成一个底面仍为正六边形 且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边 形，如四边形 AGA′H，那么∠GA′H 的大小是_________． 20．（2008．天津市）如图①，O1 ，O2 ，O3 ，O4 为四个等圆的圆心，A，B，C，D 为切点， 请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的 两个点是 ；如图②，O1 ，O2 ，O3 ，O4 ，O5 为五个等圆的圆心，A，B， C，D，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆 ．．．分成面积相等的两部分，并说 明这条直线经过的两个点是 ． 1 o 2 o 3 o 4 o C D B A 图① 图② 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o A B E C D
10远程教育网 答案: 正方形 2.十八提示:正多边形的中心角等于外角,外角和为360°,360÷20=18 3.36°提示:可求出外角的度数 4.正三角形 5.C提示:其中正确的有②④⑤⑥⑦ 6.C 7.D提示:按正多边形的定义 8.C 9.3提示:利用直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半 10.100cm 1l.√6:2提示:设此圆的半径为R,则它的内接正方形的边长为√互R,它的外切 正六边形的边长为 R,内接正方形和外切正六边形的边长比为√2R 2 龟x2提示:如右图所示,AB为正n边形的一边,正n边形的中心为0,AB与小 切于点C,连接OA,OC,则OC⊥AB,AC==AB=a, 所以AC2=a2=OA2-0C2,S画=S大-S小=丌OA2-OC2=x(OA2-0C2)=a2 13.C14.C (2)连接AB,BC,CA,则△AC为圆内接正三角形120 15.方法一:(1)用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠E 方法二:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120° (2)在⊙0上用圆规截取AC=AB (3)连接AC,BC,AB,则△ABC为圆内接正三角形 方法三:(1)作直径AD (2)以0为圆心,以OA长为半径画弧,交⊙0于B,C (3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形 方法四:(1)作直径AE (2)分别以A,E为圆心,OA长为半径画弧与⊙0分别交于点D,F,B,C (3)连接AB,BC,CA(或连接EF,ED,DF) 则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形 (方法一) (方法二) (方法三) (方法四)
3 Www.chinaedu.com 答案: 1．正方形 2．十八 提示：正多边形的中心角等于外角，外角和为 360°，360÷20=18． 3．36° 提示：可求出外角的度数． 4．正三角形 5．C 提示：其中正确的有②④⑤⑥⑦． 6．C 7．D 提示：按正多边形的定义． 8．C 9．3 提示：利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半． 10．100cm2． 11． 6 ：2 提示：设此圆的半径为 R，则它的内接正方形的边长为 2 R，它的外切 正六边形的边长为 2 3 3 R，内接正方形和外切正六边形的边长比为 2 R： 2 3 3 R= 6 ：2． 12． 4 a 2 提示：如右图所示，AB 为正 n 边形的一边，正 n 边形的中心为 O，AB•与小 圆切于点 C，连接 OA，OC，则 OC⊥AB， 1 2 AC= 1 2 AB=a， 所以 AC 2= 1 4 a 2=OA2 -OC 2，S 圆环=S 大圆-S 小圆= OA2-OC2= （OA2-OC 2）= 4 a 2． 13．C 14．C 15．方法一：（1）用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°； （2）连接 AB，BC，CA，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法二：（1）用量角器画圆心角∠BOC=120°； （2）在⊙O 上用圆规截取 AC AB = ； （3）连接 AC，BC，AB，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法三：（1）作直径 AD； （2）以 O 为圆心，以 OA 长为半径画弧，交⊙O 于 B，C； （3）连接 AB，BC，CA，则△ABC 为圆内接正三角形． 方法四：（1）作直径 AE； （2）分别以 A，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点 D，F，B，C； （3）连接 AB，BC，CA（或连接 EF，ED，DF）， 则△ABC（或△EFD）为圆内接正三角形．
10远程教育网 16.解:相同点:都有相等的边;都有相等的角,都有外接圆和内切圆等. 不同点:边数不同;内角的度数不同:内角和不同;对角线条数不同等 17.设BC与⊙O切于M,连结OM、OB 则OM⊥BC于MO 连o,作oE于N、,则oEoM5a.∠poM4s",oE= 6 EN=-a, EF=2EN a,∴.S正方形=-a2 18.设正六边形边长为a,则圆O半径为a, 由题意得:2xa=6丌,∴a=3 如右图,设AB为正六边形的一边,O为它的中心, 过O作OD⊥AB,垂足为D, D B 则OD=6,·则∠DOA180° 630°,AD==AB=二 在Rt△ABC中,OD=6==cm 133 ∴S=6 ar6=-×3 19.60 20.O1,O3,如图①(提示:答案不惟一,过OO3与O2O4交点O的任意直线都能 将四个圆分成面积相等的两部分);O5,O,如图②(提示:答案不惟一,如AO4,DO3, EO2,CO1等均可) 图①
4 Www.chinaedu.com 16．解：相同点：都有相等的边；都有相等的角，都有外接圆和内切圆等． 不同点：边数不同；内角的度数不同；内角和不同；对角线条数不同等． 17．设 BC 与⊙O 切于 M，连结 OM、OB， 则 OM⊥BC 于 M，OM= 3 6 a， 连 OE，作 OE⊥EF 于 N，则 OE=OM= 3 6 a，∠EOM=45°，OE= 3 6 a， ∵EN= 6 12 a，EF=2EN= 6 6 a，∴S 正方形= 1 6 a 2． 18．设正六边形边长为 a，则圆 O 半径为 a， 由题意得：2 a=6 ，∴a=3． 如右图，设 AB 为正六边形的一边，O 为它的中心， 过 O 作 OD⊥AB，垂足为 D， 则 OD=r6，• 则∠DOA= 180 6 =30°，AD= 1 2 AB= 3 2 ， 在 Rt△ABC 中，OD=r6= 3 3 2 cm， ∴S=6· 1 2 ar6= 1 2 ×3× 3 3 2 ×6= 27 2 3 cm2． 19．60° 20．O1 ，O3 ，如图① （提示：答案不惟一，过 O1O3 与 O2O4 交点 O 的任意直线都能 将四个圆分成面积相等的两部分）； O5 ，O ，如图② （提示：答案不惟一，如 AO4 ，DO3 ， EO2 ， CO1 等均可）． _D _B _A _O 1 o 2 o 3 o 4 o C D B A 图① o 图② 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o A B E C D o 4 o 5 o A