10远程教育网 第21章一元二次方程复习题 双基演练 选择题 1.下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0:②3(x-9)2-(x+1)2=1:③x+3 ④(a2+a+1)x2-a=0;④√x+1=x-1.一元二次方程的个数是() A.1 2.要使方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程,则() B.a≠3 C.a≠1且b≠-1 D.a≠3且b≠-1且c≠0 3.若(x+y)(1-xy)+6=0,则x+y的值是() A.2B.3C.-2或3D.2或-3 4.若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根,则() Ak>0 B ke D.k≤0 5.下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是( A.恒大于0B.恒小于0C.不小于0D.可能为0 6.下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题:(1)若x2=a2,则x (2)方程2x(x-1)=x-1的根是x=0:(3)若直角三角形的两边长为3和4,则第三 边的长为5.其中答案完全正确的题目个数为() C.2D.3 7.某种商品因换季准备打折出售,如果按原定价的七五折出售,将赔25元,而按原定价 的九折出售,将赚20元,则这种商品的原价是() A.500元B.400元C.300元D.200元 8.利华机械厂四月份生产零件50万个,若五、六月份平均每月的增长率是20%,则第二 季度共生产零件() A.100万个B.160万个C.180万个D.182万个 填空题 9.若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是 10.已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1,则k= 11.若x=2 则 12.若(m+1)xm(m+2)1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是 13.若a+b+c=0,且a≠0,则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根,它是 14.若矩形的长是6cm,宽为3cm,一个正方形的面积等于该矩形的面积,则正方形的边长 是 15.若两个连续偶数的积是224,则这两个数的和是 三、计算题(每题9分,共18分) 16.按要求解方程 (1)4x2-3x-1=0(用配方法) (2)5x2-√5x-6=0(精确到0.1)
1 Www.chinaedu.com 第 21 章一元二次方程 复习题 ⚫ 双基演练 一、选择题 1．下面关于 x 的方程中①ax 2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3= 1 x ； ④（a 2+a+1）x 2-a=0；④ x +1 =x-1．一元二次方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1 且 b≠-1 D．a≠3 且 b≠-1 且 c≠0 3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则 x+y 的值是（ ） A．2 B．3 C．-2 或 3 D．2 或-3 4．若关于 x 的一元二次方程 3x 2+k=0 有实数根，则（ ） A．k>0 B．k0 的解集是________． 10．已知关于 x 的方程 x 2+3x+k2=0 的一个根是-1，则 k=_______． 11．若 x=2- 10 ，则 x 2-4x+8=________． 12．若（m+1） m m( 2) 1 x + − +2mx-1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是________． 13．若 a+b+c=0，且 a≠0，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 必有一个定根，它是_______． 14．若矩形的长是 6cm，宽为 3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长 是_______． 15．若两个连续偶数的积是 224，则这两个数的和是__________． 三、计算题（每题 9 分，共 18 分） 16．按要求解方程： （1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2- 5 x-6=0（精确到 0．1）
10远程教育网 17.用适当的方法解方程: (1)(2x-1)2-7=3(x+1) (2)(2x+1)(x-4)=5 (3)(x2-3)2-3(3-x2)+2=0. 能力提升 18.若方程x2-2x+√(2-√)=0的两根是a和b(a>b),方程x-4=0的正根是c,试判 断以a、b、c为边的三角形是否存在.若存在,求出它的面积;若不存在,说明理由 19.已知关于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的两根之和为-1,两根之差为1,其中a, b,c是△ABC的三边长 (1)求方程的根;(2)试判断△ABC的形状 20.某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是500元,销售价为625元,经市场预测 该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为了使两个月后的销售 利润达到原来水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几? 21.李先生乘出租车去某公司办事,下午时,打出的电子收费单为“里程11公里,应收29.10 元”.出租车司机说:“请付29.10元.”该城市的出租车收费标准按下表计算,请求出 起步价N(N<12)是多少元 里程(公里)0x≤8|3<≤6x6 价格(元)
2 Www.chinaedu.com 17．用适当的方法解方程： （1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5； （3）（x 2-3）2-3（3-x 2）+2=0． ⚫ 能力提升 18．若方程 x 2-2x+ 3 （2- 3 ）=0 的两根是 a 和 b（a>b），方程 x-4=0 的正根是 c，试判 断以 a、b、c 为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由． 19．已知关于 x 的方程（a+c）x 2+2bx-（c-a）=0 的两根之和为-1，两根之差为 1， 其中 a， b，c 是△ABC 的三边长． （1）求方程的根；（2）试判断△ABC 的形状． 20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测， 该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售 利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程 11•公里，应收 29.10 元”．出租车司机说：“请付 29.10 元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出 起步价 N（N6 价格（元） N 22 N 25 N
10远程教育网 聚焦中考 22.(2008。广州)方程x(x+2)=0的根是() A x=2 B x=0 Cx1=0,x2=-2Dx1=0,x2=2 23.(2008。襄樊)某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降 价() A.10%B.19%C.9.5% D.20 24.(2008。威海)关于x的一元二次方程x2-mx+(m-2)=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 25.(2008。四川省资阳)已知a、b、c分别是三角形的三边,则方程a+b)x2+2cx+(a+ b)=0的根的情况是() A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 26.(2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田)关于x的一元二次方程x2-mx+2m=0的 一个根为1,则方程的另一根为 27.(2008。江苏省淮安市)小华在解一元二次方程x2-4x=0时.只得出一个根是x=4,则被 他漏掉的一个根是x= 28.(2008年·东莞市)在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形, 使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边 9.(2008年湘潭)阅读材料: 如果x,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,那么有x+、b,= 这是一元二次方程根与系数的关系,我们利用它可以用来解题 设x1,x2是方程x2+6x-3=0的两根,求x2+x2的值 解法可以这样:∵x+x2=-6,xx2=-3,则 x+x2=(x+x2)2-2xx2=(-6)2-2×(-3)=42,.请你根据以上解法解答下题 已知x,x是方程x2-4x+2=0的两根,求: (1)-+-的值:(2)(x-x2)的值
3 Www.chinaedu.com ⚫ 聚焦中考 22.（2008。广州）方程 x x( 2) 0 + = 的根是（ ） A x = 2 B x = 0 C 1 2 x x = = − 0, 2 D 1 2 x x = = 0, 2 23.（2008。襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 81％ ，则平均每次降 价（ ） A．10％ B．19％ C．9.5％ D．20％ 24.（2008。威海）关于 x 的一元二次方程 ( ) 2 x mx m − + − = 2 0 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 25．（2008。四川省资阳）已知 a、b、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b)x 2 + 2cx + (a + b)＝0 的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 26．（2008 年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于 x 的一元二次方程 2 0 2 x − mx + m = 的 一个根为 1，则方程的另一根为 . 27.（2008。江苏省淮安市）小华在解一元二次方程 x 2-4x=0 时．只得出一个根是 x=4,则被 他漏掉的一个根是 x=_____． 28．(2008 年·东莞市)在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形， 使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80％，求所截去小正方形的边 长。 29．(2008 年湘潭)阅读材料： 如果 x1，x2 是一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 的两根，那么有 1 2 1 2 , b c x x x x a a + = − = . 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题: 设 x x 1 2 , 是方程 2 x x + − = 6 3 0 的两根，求 2 2 x x 1 2 + 的值. 解法可以这样： x x 1 2 + = −6 , x x1 2 = −3, 则 2 2 2 2 x x x x x x 1 2 1 1 2 + = + − = ( ) 2 2 ( 6) 2 ( 3) 42 − − − = . 请你根据以上解法解答下题： 已知 x x 1 2 , 是方程 2 x x − + = 4 2 0 的两根，求： （1） 1 2 1 1 x x + 的值；（2） 2 ( ) x x 1 2 − 的值
10远程教育网 答案: 方程;方程③是分式方程:方程④的二次项系数经过配方后可化为(a-)3 1.B点拨:方程①与a的取值有关;方程②经过整理后,二次项系数为2,是 次 不论 取何值,都不为0,所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程.也可排除,故 一元二次方程仅有2个 2.B点拨:由a-3≠0,得a≠3 3.C点拨:用换元法求值,可设x+y=a,原式可化为a(1-a)+6=0,解得a1=3,a=-2 4.D0点拨:把原方程移项,变形为:×3由于实数的平方均为非负数,故3≥0 则k≤0 5.B点拨:-x2+4x-5=-(x2-4x+5)=-(x2-4x+4+1)=-(x-2)2=-1. 由于不论x取何值,-(x-2)2≤0,所以-x2+4x-5-2且a≠0点拨:不可忘记a≠0 10.±√2点拨:把1代入方程:(-1)2+3×(-1)+k2=0,则k2=2,所以k=±√2 11.14点拨:由x=2-√10,得x-2=-√10.两边同时平方,得(x-2)2=10,即x2-4x+4=10 所以x2-4x+8=14.注意整体代入思想的运用 2.-3或1点拨:由 的{m(m+2)-1=2 解得m-3或m=1 m+1≠0 13.1点拨:由a+b+c=0,得b=-(a+c),原方程可化为ax-(a+c)x+c=0, 解得x1=1,x=C 14.3√互cm点拨:设正方形的边长为xcm,则x2=6×3,解之得x=±3√2,由于边长不 能为负,故x=3√2舍去,故正方形的边长为3√2cm 15.30或-30点拨:设其中的一个偶数为x,则x(x+2)=224.解得x1=14,x=-16,则 另一个偶数为16,-14.这两数的和是30或-30. 16.解:(1)4x2-3x-1=0,称,得4x2-3x=1, 二次项系数化为1,得x331 配方,得x2--x+()213 8 48
4 Www.chinaedu.com 答案: 一、 1．B 点拨：方程①与 a 的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为 2， 是一元二次 方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+ 1 2 ）2+ 3 4 ．不论 a 取何值，都不为 0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除， 故 一元二次方程仅有 2 个． 2．B 点拨：由 a-3≠0，得 a≠3． 3．C 点拨：用换元法求值，可设 x+y=a，原式可化为 a（1-a）+6=0，解得 a1=3，a2=-2． 4．D 点拨：把原方程移项，变形为：x 2=- 3 k ．由于实数的平方均为非负数，故- 3 k ≥0， 则 k≤0． 5．B 点拨：-x 2+4x-5=-（x 2-4x+5）=-（x 2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1． 由于不论 x 取何值，-（x-2）2≤0，所以-x 2+4x-5-2 且 a≠0 点拨：不可忘记 a≠0． 10．± 2 点拨：把-1 代入方程：（-1）2+3×（-1）+k 2=0，则 k 2=2，所以 k=± 2 ． 11．14 点拨：由 x=2- 10 ，得 x-2=- 10 ．两边同时平方，得（x-2）2=10，即 x 2-4x+4=10， 所以 x 2-4x+8=14．注意整体代入思想的运用． 12．-3 或 1 点拨：由 ( 2) 1 2, 1 0. m m m + − = + 解得 m=-3 或 m=1． 13．1 点拨：由 a+b+c=0，得 b=-（a+c），原方程可化为 ax-（a+c）x+c=0， 解得 x1=1，x2= c a ． 14．3 2 cm 点拨：设正方形的边长为 xcm，则 x 2 =6×3，解之得 x=±3 2 ，由于边长不 能为负，故 x=-3 2 舍去，故正方形的边长为 3 2 cm． 15．30 或-30 点拨：设其中的一个偶数为 x，则 x（x+2）=224．解得 x1=14，x2=-16， 则 另一个偶数为 16，-14．这两数的和是 30 或-30． 三、 16．解：（1）4x 2-3x-1=0，称 ，得 4x 2-3x=1， 二次项系数化为 1，得 x 2- 3 4 x= 1 4 ， 配方，得 x 2- 3 4 x+（ 3 8 ）2= 1 4 +（ 3 8 ）2， （x- 3 8 ）2= 25 64 ，x- 3 8 =± 5 8 ，x= 3 8 ± 5 8
10远程教育网 所以x1=35 351 原方程可化为(√x+2)(√5x-3)=0, √+2=0或√5-3=0, 所以x=2 √ ≈1.3. 点拨:不要急于下手,一定要审清题,按要求解题. 17.解:(1)(2x-1)2-7=3(x+1) 整理,得4x2-7x-9=0,因为a=4,b=-7,c=-9. 所以x=+()-7)2-4x4x()=7√93 即x=7+93 7-√193 2)(2x+1)(x-4)=5,整理,得2x2-7x-9=0, (x+1)(2x-9)=0,即x+1=0或2x-9=0 所以x1=1,x2= (3)设x2-3=y,则原方程可化为y2+3y+2=0 解这个方程,得y1=-1,y2=-2 当y=1时,x23=-1.x2=2,x1=√2,x2=√2 当y2=2时,x2-3=-2,x2=1,x2=1,x=-1 点拨:在解方程时,一定要认真分析,选择恰当的方法,若遇到比较复杂的方程,审 题就显得更重要了.方程(3)采用了换元法,使解题变得简单. 18.解:解方程x2-2x+√3(2-√3)=0,得x1=√3,x2=2-3 方程x2-4=0的两根是x1=2,x2=2 所以a、b、c的值分别是√3,2-√3,2 因为√5+2-√3=2,所以以a、b、c为边的三角形不存在 点拨:先解这两个方程,求出方程的根,再用两边的和与第三边相比较等来判断 19.解:(1)设方程的两根为x1,x2(x1>x2),则x1+x1=-1,x1-x2=1,解得x1=0,x2=-1 (2)当x=0时,(a+c)×02+2b×0-(c-a)=0 所以c=a.当x=-1时,(a+c)×(-1)2+2b×(-1)-(c-a)=0.ac-2b-c+a=0, 所以a=b.即a=b=c,△ABC为等边三角形 点拨:先根据题意,列出关于x,x的二元一次方程组,可以求出方程的两个根0和-1.进 而把这两个根代入原方程,判断a、b、c的关系,确定三角形的形状. 20.解:设该产品的成本价平均每月应降低x 625(1-20%)(1+6%)-500(1-x)2=625-500 整理,得500(1-x)2=405,(1-x)2=0.81 1-x=±0.9,x=1±0.9 x1=1.9(舍去),x2=0.1=10% 答:该产品的成本价平均每月应降低10% 点拨:题目中该产品的成本价在不断变化,销售价也在不断变化,要求变化后的销售 利润不变,即利润仍要达到125元,关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价
5 Www.chinaedu.com 所以 x1= 3 8 + 5 8 =1，x2= 3 8 - 5 8 = 1 4 ． （2）5x 2- 5 x-6=0 原方程可化为（ 5 x+2）（ 5 x-3）=0， 5 +2=0 或 5 -3=0， 所以 x1= 2 5 5 − ≈=0.9，x2= 3 5 5 ≈1.3． 点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题． 17．解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1） 整理，得 4x 2-7x-9=0，因为 a=4，b=-7，c=-9． 所以 x= 2 ( 7) ( 7) 4 4 ( 9) 7 193 2 4 8 − − − − − = ． 即 x1= 7 193 8 + ，x2= 7 193 8 − ． （2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得 2x 2-7x-9=0， （x+1）（2x-9）=0，即 x+1=0 或 2x-9=0， 所以 x1=-1，x2= 9 2 ． （3）设 x 2-3=y，则原方程可化为 y 2+3y+2=0． 解这个方程，得 y1=-1，y2=-2． 当 y1=-1 时，x 2-3=-1．x 2=2，x1= 2 ，x2=- 2 ． 当 y2=-2 时，x 2-3=-2，x 2=1，x3=1，x4=-1． 点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程， 审 题就显得更重要了．方程（3）采用了换元法，使解题变得简单． 18．解：解方程 x 2-2x+ 3 （2- 3 ）=0，得 x1= 3 ，x2=2- 3 ． 方程 x 2-4=0 的两根是 x1=2，x2=-2． 所以 a、b、c 的值分别是 3 ，2- 3 ，2． 因为 3 +2- 3 =2，所以以 a、b、c 为边的三角形不存在． 点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断． 19．解：（1）设方程的两根为 x1，x2（x1>x2），则 x1+x1=-1，x1-x2=1，解得 x1=0，x2=-1． （2）当 x=0 时，（a+c）×0 2+2b×0-（c-a）=0． 所以 c=a．当 x=-1 时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0．a+c-2b-c+a=0， 所以 a=b．即 a=b=c，△ABC 为等边三角形． 点拨：先根据题意，列出关于 x，x 的二元一次方程组，可以求出方程的两个根 0 和-1．进 而把这两个根代入原方程，判断 a、b、c 的关系，确定三角形的形状． 20．解：设该产品的成本价平均每月应降低 x． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得 500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%． 答：该产品的成本价平均每月应降低 10%． 点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化， 要求变化后的销售 利润不变，即利润仍要达到 125 元， 关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
10远程教育网 21.解:依题意,N(6-3)x32+(1l-6)29.10 整理,得N-29.1N+191=0,解得N1=19.1,N2=10, 由于N12,所以N1=19.1舍去,所以N=10 答:起步价是10元 点拨:读懂表格是正确列出方程的基础,表格中的含义是:当行车里程不超过3公里时, 价格是10元,当行车里程超过了3公里而不超过6公里时,除付10元外,超过的部分每公 里再二付元;若行车里程超过6公里,除了需付以上两项费用外,超过6公里的部分,每 公里再付 2.C23。A 4。B25。A 解:设小正方形的边长为xCm 由题意得,10×8-4x2=80%×10×8 解得,x1=2,x2=-2 经检验,x=2符合题意,x2=-2不符合题意舍去 ∴x=2 答:截去的小正方形的边长为2cm 29.解:∵x1+x2=4,xx2 (1)+ X, R x, xx2 (2)(x1-x2)=(x1+x2)-4xx2=42-4×2=8
6 Www.chinaedu.com 21．解：依题意，N+（6-3）× 22 N +（11-6）× 25 N =29.10， 整理，得 N 2-29.1N+191=0，解得 N1=19.1，N2=10， 由于 N<12，所以 N1=19.1 舍去，所以 N=10． 答：起步价是 10 元． 点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过 3 公里时， 价格是 10 元，当行车里程超过了 3 公里而不超过 6 公里时，除付 10 元外，超过的部分每公 里再 22 N 付元；若行车里程超过 6 公里，除了需付以上两项费用外，超过 6•公里的部分，每 公里再付 25 N 元． 22．C 23。 A 24。B 25。A 26。-2 27。0 28．.解：设小正方形的边长为 xcm. 由题意得， 2 10 8 4 80% 10 8 − = x . 解得， 1 2 x x = = − 2, 2 . 经检验， 1 x = 2 符合题意， 2 x = −2 不符合题意舍去. ∴ x = 2. 答：截去的小正方形的边长为 2cm. 29．解： 1 2 1 2 x x x x + = = 4, 2 （1） 1 2 1 2 1 2 1 1 4 2 2 x x x x x x + + = = = （2） 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 4 4 2 8 x x x x x x − = + − = − =