10远程教育网 22.2降次—解一元二次方程(3) 教学内容 本节课主要学习用公式法解一元二次方程 教学目标 知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程. 数学思考 通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性 解决问题 培养学生准确快速的计算能力 情感态度 通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识;通过求根公式的推 导,渗透分类的思想 重难点、关键 重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程 难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解. 关键:掌握一元二次方程的求根公式,并应用求根公式法解简单的一元二次方程 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 复习引入 【问题】(学生总结,老师点评) 1.用配方法解下列方程 (1)6x2-7x+1=0(2)4x2-3x=52 2.总结用配方法解一元二次方程的步骤 (1)移项 (2)化二次项系数为1 (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方 (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式 (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元 二次方程无解 【活动方略 教师演示课件,给出题目 学生根据所学知识解答问题 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程,为继续学习公式法引入作好铺垫. 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题 【问题】
1 Www.chinaedu.com 22.2 降次——解一元二次方程（3） 教学内容 本节课主要学习用公式法解一元二次方程。 教学目标 知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程． 数学思考 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性． 解决问题 培养学生准确快速的计算能力． 情感态度 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推 导，渗透分类的思想． 重难点、关键 重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程． 难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解． 关键：掌握一元二次方程的求根公式， 并应用求根公式法解简单的一元二次方程． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 【问题】（学生总结，老师点评） 1.用配方法解下列方程 （1）6x 2 -7x+1=0 （2）4x 2 -3x=52 2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。 （1）移项； （2）化二次项系数为 1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元 二次方程无解． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫． 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】
10远程教育网 已知a02+bx+c=0(a≠0)且b2400,试推导它的两个根为x=~b+b2-&o八 分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字, 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解:移项,得:ax2+bx=c 二次项系数化为1,得x+2x=c 配方,得:x2+2x+(2)2=C+()2 b ∴b2-4ac≥0且4a2>0 4a 直接开平方,得:x+一=± 即 ±√b2-4ac 2 b+√b2-4ac b2-4ac 2 【说明】 这里xx-b±Vb2-4ac (b2-4ac≥0)是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究,完成探索后,教师让学生总结归纳,由形式是一元二次 方程的一般形式,得出一元二次方程的求根公式 【设计意图】 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容,导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程,从中你能发现什么? 3x+2=0 (2)x2-2√2x=-2 【活动方略】 在教师的引导下,学生回答,教师板书 引导学生总结步骤:确定a,bc的值、算出b2-4ac的值、代入求根公式求解 在学生归纳的基础上,老师完善以下几点: (1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数ab,c确定
2 Www.chinaedu.com 已知 ax2+bx+c=0（a≠0）且 b 2 -4ac≥0，试推导它的两个根为 x1= 2 4 2 b b ac a − + − ， x2= 2 4 2 b b ac a − − − 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c• 也当成一个具体数字， 根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为 1，得 x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+ b a x+（ 2 b a ）2=- c a +（ 2 b a ）2 即（x+ 2 b a ）2= 2 2 4 4 b ac a − ∵b 2 -4ac≥0 且 4a2>0 ∴ 2 2 4 4 b ac a − ≥0 直接开平方，得：x+ 2 b a =± 2 4 2 b ac a − 即 x= 2 4 2 b b ac a − − ∴x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − 【说明】 这里 a b b ac x 2 4 2 − − = （ 4 0 2 b − ac ）是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次 方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式． 【设计意图】 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？ （1） 2 x x − + = 3 2 0; （2） 2 2 2 2 x − x = − （3） 2 4 3 2 0 x x − + = 【活动方略】 在教师的引导下，学生回答，教师板书 引导学生总结步骤：确定 a,b, c 的值、算出 b 4ac 2 − 的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点： （1）一元二次方程 0( 0) 2 ax + bx + c = a 的根是由一元二次方程的系数 a,b, c 确定
10远程教育网 的 (2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下, 把a,bc的值代入x-b±√b2-4ac (b2-4ac≥0)中,可求得方程的两个根; (3)我们把公式x=~b±Vb2-4ac (b2-4ac≥0)称为一元二次方程的求根公 式,用此公式解一元二次方程的方法叫公式法; (4)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 【设计意图】 主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法,进一步理解求根公式 三、反馈练习 教材P12练习第1、2题 补充习题: 用公式法解下列方程. (1)x2-5x-6=0(2)7x2+2x-1=0(3)3x2-5x+2=0 (4)5x2+2x-6=0(5)4x2-7x+2=0(6)2x 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图 检查学生对知识的掌握情况. 四、应用拓展 例:某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm+2+(m2)x1=0提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程. (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出 你能解决这个问题吗? 分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠ (2)要使它为一元一次方程,必须满足 l=0 +1=0 或② (m+1)+(m-2)≠0 解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2 当m=1时,m+1=1+=2≠0 当m=1时,m+1=1+1=0(不合题意,舍去) 当m=1时,方程为2x2-1-x=0 b2-4ac=(-1)24×2×(-1)=1+8=9 -(-1)±√ 2×2
3 Www.chinaedu.com 的； （2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 4 0 2 b − ac 的前提下， 把 a,b, c 的值代入 a b b ac x 2 4 2 − − = （ 4 0 2 b − ac ）中，可求得方程的两个根； （3）我们把公式 a b b ac x 2 4 2 − − = （ 4 0 2 b − ac ）称为一元二次方程的求根公 式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根． 【设计意图】 主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式． 三、反馈练习 教材 P42 练习第 1、2 题． 补充习题： 用公式法解下列方程． （1）x 2 -5x-6=0 （2）7x2 +2x-1=0 （3）3x2 -5x+2=0 （4）5x2 +2x-6=0 （5）4x2 -7x+2=0 （6）2x2 - 1 2 x- 3 2 =0 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对知识的掌握情况. 四、应用拓展 例：某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2 m 2 x + +（m-2）x-1=0 提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠ 0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ① 2 1 1 ( 1) ( 2) 0 m m m + = + + − 或② 2 1 0 2 0 m m + = − 或③ 1 0 2 0 m m + = − 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 当 m=1 时，m+1=1+1=2≠0 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当 m=1 时，方程为 2x 2 -1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2 -4ac=（-1）2 -4×2×（-1）=1+8=9 x= ( 1) 9 1 3 2 2 4 − − =
10远程教育网 X1=1,x2= 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2 (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m 因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=1≠0 所以m=0满足题意. ②当m2+1=0,m不存在 ③当m+1=0,即m=1时,m-2=3≠0 所以m=1也满足题意 当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0, 解得 当m=1时,一元一次方程是3x-1=0 解得 因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=1: 当m=·1时,其一元一次方程的根为x= 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答 【设计意图】 使学生应用方程有关的有关舦知识解题,进一步掌握公式法 五、小结作业 1.问题: 本节你遇到了什么问题?在解决问题的过程中你采取了什么方法? 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程 (2)公式法的概念 (3)应用公式法解一元二次方程; 2.作业:课本P45习题22.2第4、6题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程. 学生独立完成作业,教师批改、总结. 【设计意图】通过归纳总结,培养学生的归纳总结能力。同时通过课外作业,使学生进 步理解知识,内化知识
4 Www.chinaedu.com x1=1，x2=- 1 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=- 1 2 ． （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以 m=0 满足题意． ②当 m2+1=0，m 不存在． ③当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-3≠0 所以 m=-1 也满足题意． 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0， 解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=- 1 3 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1； 当 m=-• 1 时，其一元一次方程的根为 x=- 1 3 ． 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 使学生应用方程有关的有关舦知识解题，进一步掌握公式法。 五、小结作业 1．问题： 本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？ 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； 2．作业：课本 P45 习题 22．2 第 4、6 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力。同时通过课外作业，使学生进 一步理解知识，内化知识