10远程教育网 22.1一元二次方程 教学内容 本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数:能够从实际问题中抽象出方 程知识 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际 生活的联系 解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯,使学生逐步提高自己的数学素养。 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习 数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 难点、关键 重点:一元二次方程的定义、各项系数的辨别,根的作用. 难点:根的作用的理解, 关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,·再由一元一次方程的概念迁移 到一元二次方程的概念 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 情境引入 【问题情境】 问题1如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm.在它的四个角分别切去一个正 方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的 底面积是3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 问题2要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间 等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应该邀请多少个队参赛? 【活动方略】 教师演示课件,给出题目 学生根据所学知识,通过分析设出合适的未知数,列出方程回答问题 【设计意图】 由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,让学生初步感受一元二次方程,同 时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型
1 Www.chinaedu.com 22.1 一元二次方程 教学内容 本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方 程知识。 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际 生活的联系。 解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习 数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重难点、关键 重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用． 难点：根的作用的理解． 关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，• 再由一元一次方程的概念迁移 到一元二次方程的概念 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、情境引入 【问题情境】 问题 1 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm．在它的四个角分别切去一个正 方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的 底面积是 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间 等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题． 【设计意图】 由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同 时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．
10远程教育网 探索新知 【活动方略】 学生活动:请口答下面问题 (1)上面几个方程整理后含有几个未知数? (2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次? (3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子? 老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)·都有 等号,是方程 归纳:像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高 次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程 般地,任何一个关于x的一元二次方程,·经过整理,·都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式 个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次 项系数:bx是一次项,b是一次项系数:c是常数项 【设计意图】 主体活动,探索一元二次方程的定义及其相关概念 三、范例点击 例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数 解:去括号得 3x2-3x=5x+10, 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10 【活动方略】 学生活动: 学生自主解决问题,通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式,然后指出各项系 数 教师活动: 在学生指出各项系数的环节中,分析可能出现的问题(比如系数的符号问题) 【设计意图】 进一步巩固一元二次方程的基本概念 例2猜测方程x2-x-56=0的解是什么? 【活动方略】 学生活动 学生可以采取多种方法得到方程的解,比如可以用尝试的方法取x=1、2、3、4、5等, 发现x=8时等号成立,于是x=8是方程的一个解,如此等等 教师活动: 教师引导学生自主探索,多种途径寻找方程的解,在此基础上让学生进行总结: 使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解(又叫作根) 【设计意图】 探究一元二次方程根的概念以及作用 四、反偾练习 课本P32练习1,2课本P33练习1、2题
2 Www.chinaedu.com 二、探索新知 【活动方略】 学生活动：请口答下面问题． （1）上面几个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）• 都有 等号，是方程． 归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高 次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，• 经过整理，• 都能化成如下形式 ax2+bx+c=0 （a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成 ax 2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次 项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 【设计意图】 主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念． 三、范例点击 例1 将方程 3 ( 1) 5( 2) x x x − = + 化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 解：去括号得 2 3 3 5 10 x x x − = + ， 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 2 3 8 10 0 x x − − = ． 其中二次项系数是 3，一次项系数是－8，常数项是－10． 【活动方略】 学生活动： 学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系 数． 教师活动： 在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）． 【设计意图】 进一步巩固一元二次方程的基本概念． 例 2 猜测方程 2 x x − − = 56 0 的解是什么？ 【活动方略】 学生活动： 学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取 x＝1、2、3、4、5 等， 发现 x＝8 时等号成立，于是 x＝8 是方程的一个解，如此等等． 教师活动： 教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结： 使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【设计意图】 探究一元二次方程根的概念以及作用． 四、反馈练习 课本 P32 练习 1，2 课本 P33 练习 1、2 题
10远程教育网 补充习题: 将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=·1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的 二次项、二次项系数;一次项、一次项系数:常数项 2.你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗? (1)x2-36=0 (2)4 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图】 检查学生对基础知识的掌握情况 五、应用拓展 例3:求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是 元二次方程. 分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即 证明:m2-8m+17=(m4)2+1 ∴(m-4)2>0 ∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0 ∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程 例4:有人解这样一个方程(x+5x-1)=7 解:x+5=1或x-1=7,所以x1=-4,x2=8,你的看法如何? 由(x+5)x-1)=7得到x+5=1或x-1=7,应该是x+5=1且x-1=7,同时成立才行, 此时得到x-4且x=8,显然矛盾,因此上述解法是错误的 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例3、例4显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 使学生进一步理解一元二次方程的概念,对一元二次方程的根有更深刻的理解. 六、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发? (1)一元二次方程的概念 (2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)·和二次项、二次项系数,一次项、 次项系数,常数项的概念及其它们的运用 (3)一元二次方程根的概念以及作用 2.作业:课本P34习题22.1第1、2题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识
3 Www.chinaedu.com 补充习题： 1．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=• 1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的 二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？ （1） 2 x − = 36 0 ； （2） 2 4 9 0 x − = ． 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对基础知识的掌握情况. 五、应用拓展 例 3：求证：关于 x 的方程（m2 -8m+17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一 元二次方程． 分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2 -8m+17• ≠0 即 可． 证明：m2 -8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程． 例 4：有人解这样一个方程 (x + 5)(x −1) = 7 ． 解：x+5=1 或 x－1 = 7，所以 x1=－4，x2 =8，你的看法如何？ 由 (x + 5)(x −1) = 7 得到 x+5=1 或 x－1=7，应该是 x+5=1 且 x－1=7，同时成立才行， 此时得到 x=－4 且 x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的． 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例 3、例 4 显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 使学生进一步理解一元二次方程的概念，对一元二次方程的根有更深刻的理解. 六、小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ （1）一元二次方程的概念； （2）一元二次方程的一般形式 ax 2+bx+c=0（a≠0）• 和二次项、二次项系数，一次项、 一次项系数，常数项的概念及其它们的运用； （3）一元二次方程根的概念以及作用 2．作业：课本 P34 习题 22．1 第 1、2 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识