10远程教育网 22.2降次—解一元二次方程(1 教学内容 本节课主要学习运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”, 转化为两个一元一次方程 教学目标 知识技能 运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程 数学思考 通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,知识迁移到解形如(mxn)2=p(p≥0) 的方程 解决问题 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程, 然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程 情感态度 体会由未知向已知转化的思想方法 重难点、关键 重点:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程 难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,知识迁移到形如(x+m)2=n(n≥0) 的方程 关键:理解一元二次方程“降次”—转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 复习引入 【问题】 求出下列各式中x的值,并说说你的理由 (2)x2=5 (3)x2=a(a>0) 【活动方略】 教师演示课件,给出题目 学生根据所学知识解答问题 【设计意图】 复习平方根的意义,解形如x2=n的方程,为继续学习引入作好铺垫. 、探索新知 【问题情境】 桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的 盒子的全部外表,你能算出盒子的棱长吗? 【活动方略】 学生活动:学生独立分析题意,发现若设正方体的棱长为xdm,则一个正方体的表面 积为6x2dm2,根据一桶油漆可以刷的面积,列出方程.在学生列出方程后,让学生讨论方
1 Www.chinaedu.com 22.2 降次——解一元二次方程（1） 教学内容 本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”， 转化为两个一元一次方程．． 教学目标 知识技能 运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程． 数学思考 通过根据平方根的意义解形如 x 2=n 的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）2=p（p≥0） 的方程． 解决问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程， 然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0 型的一元二次方程． 情感态度 体会由未知向已知转化的思想方法． 重难点、关键 重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程． 难点：通过根据平方根的意义解形如 x 2=n 的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0） 的方程． 关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 【问题】 求出下列各式中 x 的值，并说说你的理由． （1）x 2=9 （2）x 2=5 （3）x 2=a（a>0）． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习平方根的意义，解形如 x 2=n 的方程，为继续学习引入作好铺垫． 二、探索新知 【问题情境】 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的 盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？ 【活动方略】 学生活动：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面 积为 6x 2 dm2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程．在学生列出方程后，让学生讨论方
10远程教育网 程的解法,由于所列出的方程形式比较简单,可以运用平方根的定义(即开平方法)来求出 方程的解.让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程 老师活动:概括可用直接开平方法求解的一元二次方程的结构形式及其操作过程 【设计意图】 创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容. 【思考】 对照上述解方程的过程,你能解下列方程吗?从中你能得到什么结论? (1)(2x-1)=5 (2)x2+6x+9=2 【活动方略】 学生活动: 学生独立分析问题,在必要的时候进行讨论.经过分析发现(1)和问题1中的方程形 式类似,可以利用平方根的定义,直接开平方得到2x-1=±√5,于是得到 1+√5 2 对于(2),发现方程左边是一个完全平方式,可以化为(1)的形式,然后利用(1) 的方法解决 教师活动 鼓励学生独立解决问题,在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降 次”一—把二次降为一次,进而解一元一次方程即可 引导学生归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程 即,如果方程能化成x2=p或(mx+m)2=p(p≥0)的形式,那么直接开平方可得 x=±√p或mx+n=土 √ 【设计意图】 主体探究、归纳直接开平方法一般过程 三、反馈练习 教材P6练习 补充习题: 解下列方程 1.x2-3=0 2.4x2-9=03.4x2+4x+1=14.x2-6x+9=0 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图】 检査学生对基础知识的掌握情况 四、应用拓展 例:市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到144m,求每年人均住房面
2 Www.chinaedu.com 程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出 方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程． 老师活动：概括可用直接开平方法求解的一元二次方程的结构形式及其操作过程． 【设计意图】 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容． 【思考】 对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？ （1） 2 (2 1) 5 x − = ； （2） 2 x x + + = 6 9 2 【活动方略】 学生活动： 学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题 1 中的方程形 式 类 似 ， 可 以 利 用 平 方 根 的 定 义 ， 直 接 开 平 方 得 到 2 1 5 x − = ，于是得到 2 1 5 , 2 1 5 1 2 − = + x = x 。 对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1） 的方法解决． 教师活动： 鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降 次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可． 引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 即，如果方程能化成 2 x p = 或 2 ( ) ( 0) mx n p p + = 的形式，那么直接开平方可得 x p = 或 mx n p + = ． 【设计意图】 主体探究、归纳直接开平方法一般过程． 三、反馈练习 教材 P36 练习． 补充习题： 解下列方程． 1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=0 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对基础知识的掌握情况. 四、应用拓展 例：市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2 提高到 14.4m，求每年人均住房面
10远程教育网 积增长率 分析:设每年人均住房面积增长率为x.·一年后人均住房面积就应该是10+·10x=10 (1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解:设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x)2=144 (1+x)2=144 直接开平方,得1+x=±12 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=2.2应舍去 所以,每年人均住房面积增长率应为20% 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 使学生应用一元二次方程解有关实际问题,进一步掌握直接开门平方法。 五、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发 由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±√P转化为应用直接开平方法解 形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+m=√,达到降次转化之目的 2.作业:课本P45习题22.2第1、2题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结. 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识
3 Www.chinaedu.com 积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为 x．• 一年后人均住房面积就应该是 10+• 10x=10 （1+x）；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得 1+x=±1.2 即 1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%． 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握直接开门平方法。 五、小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ 由应用直接开平方法解形如 x 2=p（p≥0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法解 形如（mx+n）2=p（p≥0），那么 mx+n=± p ，达到降次转化之目的． 2．作业：课本 P45 习题 22．2 第 1、2 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识