10远程教育网 22.2降次—解一元二次方程(2) 教学内容 本节课主要学习运用配方法,即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标 知识技能 探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤:能够利用配方法解一元二次方程. 数学思考 在探索配方法时,使学生感受前后知识的联系,体会配方的过程以及方法 解决问题 渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法 情感态度 继续体会由未知向已知转化的思想方法 重难点、关键 重点:用配方法解一元二次方程 难点:正确理解把x+ax形的代数式配成完全平方式 关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 复习引入 【问题】 (学生活动)请同学们解下列方程 (1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9 老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得 x=√P或mx+n=±p(p≥0) 如:4x2+16x+16=(2x+4)2 【活动方略】 教师演示课件,给出题目 学生根据所学知识解答问题 【设计意图】 复习直接开门平方法,解形如(mx+n)2=p(p≥0)的形式的方程,为继续学习引入作 好铺垫. 、探索新知 【问题情境】 要使一块矩形场地的长比宽多6cm,并且面积为16cm2,场地的长和宽分别是多少? 【活动方略】 学生活 学生通过思考,自己列出方程,然后讨论解方程的方法 考虑设场地的宽为xm,则长为(x+6)m,根据矩形面积为16cm2,得到方程x(x+
1 Www.chinaedu.com 22.2 降次——解一元二次方程（2） 教学内容 本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。 教学目标 知识技能 探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程． 数学思考 在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。 解决问题 渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法． 情感态度 继续体会由未知向已知转化的思想方法． 重难点、关键 重点：用配方法解一元二次方程． 难点：正确理解把 x + ax 2 形的代数式配成完全平方式. 关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 【问题】 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2 -1=5 （2）4（x-1）2 -9=0 （3）4x2 +16x+16=9 老师点评：上面的方程都能化成 x 2 =p 或（mx+n） 2 =p（p≥0）的形式，那么可得 x=± p 或 mx+n=± p （p≥0）． 如：4x2 +16x+16=（2x+4）2 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2 =p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作 好铺垫． 二、探索新知 【问题情境】 要使一块矩形场地的长比宽多 6 cm，并且面积为 16 cm2，场地的长和宽分别是多少？ 【活动方略】 学生活动： 学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法． 考虑设场地的宽为 x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为 16 cm2，得到方程 x（x＋
10远程教育网 6)=16,整理得到x2+6x-16=0,对于如何解方程x2+6x-16=0可以进行讨论,根据问题 1和问题2以及归纳的经验可以想到,只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式,问 题就解决了,于是想到把方程左边进行配方,对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平 方式(x+3)2,因此方程x2+6x=16可以化为 x2+6x+9=16+9, 即(x+3)2=25,问题解决。 老师活动 在学生讨论方程x+6x=16的解法时,注意引导学生根据降次的思想,利用配方的方法 解决问题,进而体会配方法解方程的一般步骤 归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫作配方法;配方的目的是 为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程 【设计意图】 引导学生根据降次的思想,利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来 解方程 【思考】 利用配方法解下列方程,你能从中得到在配方时具有的规律吗? (1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=3x 3x2-6x+4=0 学生活动: 学生首先独立思考,自主探索,然后交流配方时的规律.经过分析(1)中经过移项可 以化为x2-8x=-1,为了使方程的左边变为完全平方式,可以在方程两边同时加上42,得 到x2-8x+42=-1+42,得到(x-4)2=15 (2)中二次项系数不是1,此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2,然后再 进行配方,即x2-3x=-1,方程两边都加上(3),方程可以化为(x-3y=1 (3)按照(2)的方式进行处理 教师活动: 在学生解决问题的过程中,适时让学生讨论解决遇到的问题(比如遇到二次项系数不是 1的情况该如何处理),然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边 (3)方程两边同时除以二次项系数a; (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方; (5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为 两个一元一次方程来解
2 Www.chinaedu.com 6）＝16，整理得到 x 2+6x－16＝0，对于如何解方程 x 2+6x－16＝0 可以进行讨论，根据问题 1 和问题 2 以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问 题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式 x 2+6x 只需要再加上 9 就是完全平 方式（x＋3）2，因此方程 x 2+6x=16 可以化为 x 2+6x＋9=16＋9， 即（x＋3）2＝25，问题解决。 老师活动： 在学生讨论方程 x 2 +6x=16 的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法 解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤． 归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是 为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。 【设计意图】 引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来 解方程． 【思考】 利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？ （1）x 2－8x + 1 = 0； （2） 2 2 1 3 x x + = ； （3） 2 3 6 4 0 x x − + = ． 【活动方略】 学生活动： 学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中经过移项可 以化为 2 x x − = − 8 1 ，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上 4 2，得 到 2 2 2 x x − + = − + 8 4 1 4 ，得到（x－4）2=15； （2）中二次项系数不是 1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数 2，然后再 进行配方，即 2 3 1 2 2 x x − = − ，方程两边都加上 3 2 ( ) 4 ，方程可以化为 3 1 2 ( ) 4 16 x − = ； （3）按照（2）的方式进行处理． 教师活动： 在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是 1 的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式 2 ax bx c + + = 0 ； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数 a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为 两个一元一次方程来解．
10远程教育网 【设计意图】 主体探究、通过解几个具体的方程,归纳作配方法解题的一般过程 三、反馈练习 教材P39练习第1、2题. 补充习题: 解下列方程 (1)x2+2x-35=0(2)2x2-4x-1=0 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 计意图】 检查学生对基础知识的掌握情况. 四、应用拓展 例:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两 点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,·几秒后△PCQ的 面积为Rt△ACB面积的一半 分析:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.·根 据已知列出等式 解:设x秒后△PCQ的面积为R△ACB面积的一半 根据题意,得:(8-x)(6x)=-××8×6 整理,得:x2-14x+24=0 (x-7)2=25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去 所以2秒后△PCQ的面积为R△ACB面积的一半 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 使学生应用一元二次方程解有关实际问题,进一步掌握配方法 五、小结作业 1.问题 本节你遇到了什么问题?在解决问题的过程中你采取了什么方法? 如果一个一元二次方程不能直接开平方解,可把方程化为左边是含有x的完全平方形式, 右边是非负数,再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法 叫作配方法
3 Www.chinaedu.com 【设计意图】 主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程． 三、反馈练习 教材 P39 练习第 1、2 题． 补充习题： 解下列方程． （1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2 -4x-1=0 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对基础知识的掌握情况. 四、应用拓展 例：如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B• 两 点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，• 几秒后△PCQ• 的 面积为 Rt△ACB 面积的一半． 分析：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．• 根 据已知列出等式． 解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 根据题意，得： 1 2 （8-x）（6-x）= 1 2 × 1 2 ×8×6 整理，得：x 2 -14x+24=0 （x-7）2=25 即 x1=12，x2=2 x1=12，x2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去． 所以 2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握配方法。 五、小结作业 1．问题： 本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？ 如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有 x 的完全平方形式， 右边是非负数，再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法， 叫作配方法． _C _B _A _Q _P
10远程教育网 2.作业:课本P45习题22.2第3题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识
4 Www.chinaedu.com 2．作业：课本 P45 习题 22．2 第 3 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识