10远程教育网 27.2相似三角形(5) 双基演练 1.如图1,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距离1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m, 则梯子的长为 A D 2.要做甲、乙两个形状相似的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm,60cm, 80cm,三角形框架乙的一边长为20cm.那么,符合条件的三角形框架乙共有种 这种框架乙的其余两边分别为 3.在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,现将它折叠,使点B与点C重合,则折痕长是 4.如图2,矩形ABCD,AD=a,AB=b,要使BC边上至少存在一点P,使△ABP,△DPA PCD两两相似,则a,b间的关系一定满足() A.a≥一bB.a≥bC.a≥一bD.a≥2b 5.如图3,已知三角形铁皮ABC的边BC=acm,BC边上的高A=hcm要剪出一个正方形铁片 DEG,使D、E在BC上,G、F分别在AB、AC上,则正方形DEFG的边长= 6.如图4,铁道口的栏杄短臂长l皿,长臂长16皿.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升 局 (杆的宽度忽略不计) (5) 7.如图5,设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB,AB经小孔0形成的像A′B 恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上,则像A′B′的长是 8.如图6所示,一张矩形纸片ABCD,AD=9,AB=12,将纸片折叠,使A、C两点重合,折 线MN= 9.如图7所示,ABCD为正方形,A、E、F、G在同一条直线上,并且AE=5cm,EF=3cm,那 D (7) 如图8,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,D为Rt△CD的斜边BC上的高,若BE=6, 4,则AD=
1 Www.chinaedu.com 27.2 相似三角形（5） ⚫ 双基演练 1．如图 1，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距离 1.6m，梯上点 D 距墙 1.4m，•BD•长 0.55m， 则梯子的长为_______m． （1） （2） （3） 2． 要做甲、 乙两个形状相似的三角形框架， 已知三角形框架甲的三边分别为 50cm，60cm， 80cm，三角形框架乙的一边长为 20cm．那么， 符合条件的三角形框架乙共有_____种， 这种框架乙的其余两边分别为________． 3．在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5， 现将它折叠， 使点 B•与点 C•重合， 则折痕长是______． 4．如图 2，矩形 ABCD，AD=a，AB=b，要使 BC 边上至少存在一点 P，使△ABP， △DPA， △ PCD 两两相似，则 a，b 间的关系一定满足（ ） A．a≥ 1 2 b B．a≥b C．a≥ 3 2 b D．a≥2b 5．如图 3，已知三角形铁皮 ABC 的边 BC=acm，BC 边上的高 AM=hcm•要剪出一个正方形铁片 DEFG，使 D、E 在 BC 上，G、F 分别在 AB、AC 上，则正方形 DEFG 的边长=_______． 6．如图 4，铁道口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m．当短臂端点下降 0.5m 时， 长臂端点升 高______m（杆的宽度忽略不计）． （4） （5） （6） 7．如图 5，设在小孔口前 24cm 处有一枝长 21cm 的蜡烛 AB，AB 经小孔 O 形成的像 A•′B′ 恰好浇在距小孔后面 16cm 处的屏幕上，则像 A′B′的长是______cm． 8．如图 6 所示，一张矩形纸片 ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使 A、C 两点重合， 折 线 MN=________． 9．如图 7 所示，ABCD 为正方形，A、E、F、G 在同一条直线上，并且 AE=5cm，EF=3cm， 那 么 FG=_______cm． （7） （8） 10．如图 8，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，DE 为 Rt△CDB 的斜边 BC 上的高，若 BE=6， CE=4，则 AD=_______．
10远程教育网 能力提升 1.如图,现有两个边长比为1:2的正方形ABCD与A′B 已知点B、C、B′、C′ 在同一直线上,且点C与B′重合,请你利用这两个正方形,通过截割、平移、旋转等方 法,拼出两个相似比为1:3的三角形,要求: (1)借助原图拼图:(2)简要说明方法;(3)注明相似的两个三角形 12.如图,运河边上移栽了两棵老树AB、CD,它们相距20m,分别自两树上高出地面3m、 4m的A、C处,向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧,以固定老树,那么绳索 AD与BC的交点P离地面的高度为多少米? 13.小R、小D、小H在一起研究相似三角形,分别得到三个命题 (1)两个相似三角形,如果它们的周长相等,那么这两个三角形全等 (2)两个相似三角形,如果有两组边长相等,那么这两个三角形全等 (3)不等边△ABC的边长为a、b、c,那么以√、√、C为边长的△AB′C 一定不能与△ABC相似 请你判定一下,这三个命题中,哪些是真命题?说说你的理由 聚焦中考 14、(2008湖北荆州)如图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯 形内一点,且∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连 EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:MC的值为()
2 Www.chinaedu.com ⚫ 能力提升 11．如图，现有两个边长比为 1：2 的正方形 ABCD 与 A′B′C′D′，已知点 B、C、B′、C ′ 在同一直线上，且点 C 与 B′重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转等方 法，拼出两个相似比为 1：3 的三角形，要求： （1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）注明相似的两个三角形． 12．如图，运河边上移栽了两棵老树 AB、CD，它们相距 20m，分别自两树上高出地面 3m、 4m 的 A、C 处，向两侧地面上的点 E 和 D、B 和 F 处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为多少米？ 13．小 R、小 D、小 H 在一起研究相似三角形，分别得到三个命题： （1）两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等； （2）两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等； （3）不等边△ABC 的边长为 a、b、c，那么以 a 、 b 、 c 为边长的△A′B•′C• 一定不能与△ABC 相似． 请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题？说说你的理由． ⚫ 聚焦中考 14、 （2008 湖北荆州）如图，直角梯形 ABCD 中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E 为梯 形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC 绕 C 点旋转 90°使 BC 与 DC 重合，得到△DCF，连 EF 交 CD 于 M．已知 BC＝5，CF＝3，则 DM:MC 的值为 （ ）
10远程教育网 A.5:3 B.3:5 4:3 D.3:4 (第2题图) 15、(2008湖南益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG 使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上 I.证明:△BOG2△CEF: 图(1 Ⅱ.探究:怎样在铁片上准确地画出正方形 小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择,个你喜欢的 问题解答:如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分 Ⅱla.小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE 的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了 设△ABC的边长为2,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表 ,不要求分母有理化) 图(2) ⅡIb.小明想:不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是: ①在AB边上任取一点G′,如图作正方形G’D'E'F ②连结BF’并延长交AC于F ③作FE∥F'E'交BC于E,FGM∥FG交AB于G,GD∥G′D’交BC于D
3 Www.chinaedu.com A D B C E F M (第 2 题图) A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 15、(2008 湖南 益阳)△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形 DEFG， 使正方形的一条边 DE 落在 BC 上，顶点 F、G 分别落在 AC、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF； Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱ ．．．．a．和Ⅱ．．b．的两个问题中选择一个你喜欢的 ．．．．．．．．．．．．．． 问题解答 ．．．．. ．如果两题都解，只以Ⅱ ．．．．．．．．．．a．的解答记分 ．．．．．. Ⅱa. 小聪想：要画出正方形 DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出 BD 和 CE 的长，从而确定 D 点和 E 点，再画正方形 DEFG 就容易了. 设△ABC 的边长为 2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表 示，不要求分母有理化) . Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在 AB 边上任取一点 G’，如图作正方形 G’D’E’F’； ②连结 BF’并延长交 AC 于 F； ③作 FE∥F’E’交 BC 于 E，FG∥F′G′交 AB 于 G，GD∥G’D’交 BC 于 D， A B C D E G F 图 (1) A G F G′ F′ A B C D E G F 图 (2)
10远程教育网 则四边形DEFG即为所求 你认为小明的作法正确吗?说明理由 谷案 1.4.4 2.3若20与50对应,则另两边分别为24cm、32cm:若20与60对应,则另两边分别为 cm,cm:若20与80对应,则另两边分别为cm、15cm 3.因△ABC为Rt△,B与C重合,折痕DE为BC的中垂线交BC于D、AC于E、 Rt△CDE∽Rt△CAB,DECD AB CA 4.△ABP、△DPA、△PCD两两相似,即∠APD=90° 即以AD为直径的圆与BC至少有一个交点P,所以a≥2b,选 5.设正方形DEFG的边长为x,由FG∥BC, AN GF h-x 所以△AGF∽△ABC,设AM交GF于N ,解得 h (cm AM BC 6.8m7.14 8.设M与AC交于点0,N垂直平分AC,AD=9,AB=12,AC=√AB+AC2=15 NO AD 45 △CON∽△CDA, NO=-×二,MN=20N= OC DC 9.设FG=xcm,由△AFD∽△GAB和△AED∽△GEB, 8 AD AE =,解得FG= 16 得 8+x bg eg 3+x BE BC 10.由DE∥AC,△BDE∽△BAC ,CE=4,BE=6,DE为Rt△CDB斜边BC上的高 BD AB △DB2△CED,DE=E,B=2,BD2+6.275,AM=5 11.连结BD并延长交A′D′于点E,交C′D′的延长线于点F 将△DA′E绕点E旋转至△FD′E位置,则△BAD∽△FC′B, 且相似比为1:3. 12.过P作PH⊥BD于H,由于AB⊥BD,CD⊥BD, 所以AB∥CD,PH∥CD,△ABP∽△DCP,BP:PC=AB:CD=3:4 PH BP 3 BP:BC=3:7,又△BPH∽△BCD
4 Www.chinaedu.com 则四边形 DEFG 即为所求. 你认为小明的作法正确吗？说明理由. 答案: 1．4.4 2．3 若 20 与 50 对应，则另两边分别为 24cm、32cm；若 20 与 60 对应，则另两边分别为 50 80 , 3 3 cm cm；若 20 与 80 对应，则另两边分别为 25 2 cm、15cm． 3．因△ABC 为 Rt△，B 与 C 重合，折痕 DE 为 BC 的中垂线交 BC 于 D、AC 于 E、 Rt△CDE∽Rt△CAB， 5 3 15 2 , 4 8 DE CD DE AB CA = = = ． 4．△ABP、△DPA、△PCD 两两相似，即∠APD=90°， 即以 AD 为直径的圆与 BC•至少有一个交点 P，所以 a≥2b，选 D． 5．设正方形 DEFG 的边长为 x，由 FG∥BC， 所以△AGF∽△ABC，设 AM 交 GF 于 N， , , AN GF h x x ah x AM BC h a a h − = = = + 即 解得 （cm）． 6．8m 7．14 8．设 MN 与 AC 交于点 O，MN 垂直平分 AC，AD=9，AB=12，AC= 2 2 AB AC + =15， △CON∽△CDA， 9 15 45 , , 2 12 2 4 NO AD NO MN ON OC DC = = = = ． 9．设 FG=xcm，由△AFD∽△GAB 和△AED∽△GEB， 得 8 5 16 , 8 3 3 AD AE x BG EG x = = = = + + 解得FG ． 10．由 DE∥AC，△BDE∽△BAC， BE BC BD AB = ，CE=4，BE=6，DE 为 Rt△CDB 斜边 BC 上的高， △DEB∽△CED，DE2=CE·BE=24，BD2=24+36=60，BD=2 15 ，AD= 4 15 3 ． 11．连结 BD 并延长交 A′D′于点 E，交 C′D′的延长线于点 F， 将△DA′E 绕点 E 旋转至△FD′E 位置，则△BAD∽△FC′B， 且相似比为 1：3． 12．过 P 作 PH⊥BD 于 H，由于 AB⊥BD，CD⊥BD， 所以 AB∥CD，PH∥CD，△ABP∽△DCP，BP：PC=AB：CD=3：4， BP：BC=3：7，又△BPH∽△BCD， PH BP CD BC = = 3 7
10远程教育网 12 所以Px47,即点P离地面的高度为7 (这里AB、CD相距20m为多余条件) 13.真命题为(1)、(3) 理由是(1)若△ABC∽△A′B′C 它们的相似比为k,(k≠0)则 AB BC CA AB CA △ABC的周长为AB+BC+CA,△A′B′C′的周长为A′B+B′C′+C′A 又AB=A′B′k,BC=B′C′k,CA=C′A′k.由周长相等,得k=1, 所以AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C 所以△ABC≌△A′B′C′ (2)是假命题,可举反例若△ABC∽△A′B′C′, 设AB=1,BC=,CA=√,AB′=2,B'C′=,C"A 虽然有两组边长相等,但它们显然不全等 (3)不等边△ABC中,不妨设a>b>c, 若△A’B′C与△ABC相似,则a、b、c的对应边只能为a、Vb、√E x=5=甲4==,中与△是不等边三角形矛, 所以以√、√、VC构成的△A′BC一定不能与△ABC相似 (如果△ABC的三边长分别为a、b、cC a+b>c, 则可让√后、√b、√一定能构成△AB'C由{b+c>a C+a> a+b+2ab>c, a+6>vc 可证{b+c+2√be>a,即Vb+√E>G,) c+a+2V>b√+>b 15、I.证明:∵DEFG为正方形 ∴GDFE,∠ODB∠FEC=90° ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60° △BD≌△CEF(AS Ⅱla.解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH, 求得AH=√3 由△ABP△ABC得:=3-x 解之得:x=23 解法二:设正方形的边长为x,则BI 2-x 解图(2 在Rt△BDG中,tan∠B BD
5 Www.chinaedu.com 所以 PH= 3 7 ×4= 12 7 ，即点 P 离地面的高度为 12 7 m． （这里 AB、CD 相距 20m 为多余条件）． 13．真命题为（1）、（3）． 理由是（1）若△ABC∽△A′B′C′， 它们的相似比为 k，（•k≠0）则 ' ' ' ' ' ' AB BC CA A B B C C A = = =k， △ABC 的周长为 AB+BC+CA，△A′B′C′的周长为 A′B+B′C′+C′A′， 又 AB=A′B′k，BC=B′C′k，CA=C′A′k．由周长相等，得 k=1， 所以 AB=A′B′，BC=B•′C′，CA=C′A′， 所以△ABC≌△A′B′C′． （2）是假命题，可举反例 若△ABC∽△A′B′C′， 设 AB=1，BC=2，CA= 2 ，A′B′= 2 ，B′C′=2 2 ，C′A′=2， 虽然有两组边长相等，但它们显然不全等． （3）不等边△ABC 中，不妨设 a>b>c， 若△A′B′C′与△ABC 相似，则 a、b、c 的对应边只能为 a 、 b 、 c ， 又 abc abc = = ，即 a = b = c ，a=b=c 与△ABC 是不等边三角形矛盾， 所以以 a 、 b 、 c 构成的△A′B′C′一定不能与△ABC 相似． （如果△ABC 的三边长分别为 a、b、c， 则可让 a 、 b 、 c 一定能构成△A′B′C′由 , , . a b c b c a c a b + + + 可证 2 , 2 , 2 . a b ab c b c bc a c a ca b + + + + + + 即 , , . a b c b c a c a b + + + ） 14、C 15、Ⅰ.证明：∵DEFG 为正方形， ∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS) Ⅱa.解法一：设正方形的边长为 x，作△ABC 的高 AH， 求得 AH = 3 由△AGF∽△ABC 得： 3 3 2 x − x = 解之得： 2 3 2 3 + x = (或 x = 4 3 −6 ) 解法二：设正方形的边长为 x，则 2 2 x BD − = 在 Rt△BDG 中，tan∠B= BD GD ， A B C D E G F 解图 (2) H
10远程教育网 解之得 解法三:设正方形的边长为x, 则 GB=2-x 由勾股定理得:(2-x)2=x2+( 解之得:x=43-6 Ⅱb.解:正确 由已知可知,四边形GDEF为矩形 FE∥F'E FE FB FE′FB 同理fC=fB FG′FB FE FG F"E′F D E 又∵F'E'=F’G 解图(3) ∴FEFG 因此,矩形GDEF为正方形
6 Www.chinaedu.com ∴ 3 2 2 = − x x 解之得： 2 3 2 3 + x = (或 x = 4 3 −6 ) 解法三：设正方形的边长为 x， 则 GB x x BD = − − = , 2 2 2 由勾股定理得： 2 2 2 ) 2 2 (2 ) ( x x x − − = + 解之得： x = 4 3 −6 Ⅱb.解： 正确 由已知可知，四边形 GDEF 为矩形 ∵FE∥F’E’ ， ∴ F B FB F E FE = ， 同理 F B FB F G FG = ， ∴ F G FG F E FE = 又∵F’E’=F’G’， ∴FE=FG 因此，矩形 GDEF 为正方形 A B C D E G F 解图 (3) G’ F’ D’ E’