10远程教育网 第27章相似单元检测题 精心选一选(本大题共8小题,每小题3分,共24分)每小题给出的四个选项中只有一 个是符合题意的,请将所选选项的字母代号写在题后的括号内。 1.下列判断中正确的是 A.全等三角形不一定是相似三角形;B.不全等的三角形一定不是相似三角形 C.不相似的三角形一定不全等 D.相似三角形一定不是全等三角形 2.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为k(k≠1),则k的值为() B.A′B′:ABC.∠B′:∠BD.AC:A′C 3.如图1,要使△ABC和△ACD相似,必须的条件是() A. AC: CD=AB: BC B. CD: AD=BC: AC: C. CD=AD DB D.AC=AD·AB (2) 4.在△ABC和△DEF中,①∠A=35°,∠B=100°,∠D=35°,∠F=45°:②AB=3cm,BC=5cm, ∠B=50°,DE=6cm,DF=10cm,∠D=50° 其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件() A.只有① B.只有② C.①和②分别都是D.①和②都不是 5.已知△ABC∽△AB'C,若△ABC的三边分别为√2、√10,△AB'C’的两边长分 别为1和√5,则△AB′C′的第三边的长为( √2 6.已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4:3,△A2B2C2与△A3B:C3的相似比为4:5,则 △A1B1C1与△A3B3C3的相似比为() A.16:15 C.3:5 D.16:15或15:16 7.如图2,在正方形ABCD中,E是CD的中点,P是BC边上的点,下列条件中不能推出△ ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是() A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90° C.P是BC的中点D.BP:BC=2:3 8.如图3,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=6,在AB上取一点E,使A、D、 E三点组成的三角形与△ABC相似,则AE的长为() 9 9 B C.8或 或9 二、细心填一填(本大飇共10小题,每小题3分,共30分请把答案直接写在题中横线上 9、□ABCD的对角线AC与BD交于点0,E为0A的中点,则AE:AC= 10、如果两个三角形相似,其中一个三角形两个内角分别是40°、60°,那么另一个三角 形的最大角为 11、如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点(D不平行于BC), △ADE与△ABC相似
1 Www.chinaedu.com 第 27 章相似单元检测题 一、精心选一选(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)每小题给出的四个选项中只有一 个是符合题意的，请将所选选项的字母代号写在题后的括号内。 1．下列判断中正确的是（ ） A．全等三角形不一定是相似三角形; B．不全等的三角形一定不是相似三角形 C．不相似的三角形一定不全等; D．相似三角形一定不是全等三角形 2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k（k≠1），则 k 的值为（ ） A．∠B：∠B′ B．A′B′：AB C．∠B′：∠B D．AC：A′C′ 3．如图 1，要使△ABC 和△ACD 相似，必须的条件是（ ） A．AC：CD=AB：BC B．CD：AD=BC：AC; C．CD=AD DB D．AC=AD AB (1) (2) (3) 4．在△ABC 和△DEF 中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=•3cm，BC=5cm， ∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50° 其中能使△ABC 与以 D、E、F 为顶点的三角形相似的条件（ ） A．只有① B．只有②; C．①和②分别都是 D．①和②都不是 5．已知△ABC∽△A′B′C′，若△ABC 的三边分别为 2 、 10 ，△A′B′C′的两边长分 别为 1 和 5 ，则△A′B′C′的第三边的长为（ ） A． 2 2 B．2 C． 2 D．2 2 6．已知△A1B1C1 与△A2B2C2 的相似比为 4：3，△A2B2C2 与△A3B3C3 的相似比为 4：5，则 △A1B1C1 与△A3B3C3 的相似比为（ ） A．16：15 B．15：16 C．3：5 D．16：15 或 15：16 7．如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的点，下列条件中不能推出△ ABP 与以点 E、C、P 为顶点的三角形相似的是（ ） A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P 是 BC 的中点 D．BP：BC=2：3 8．如图 3，在△ABC 中，AB=24，AC=18，D 是 AC 上一点，AD=6，在 AB 上取一点 E，使 A、D、 E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则 AE 的长为（ ） A．8 B． 9 2 C．8 或 9 2 D．8 或 9 二、细心填一填(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)请把答案直接写在题中横线上。 9、□ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，E 为 OA 的中点，则 AE:AC= 。 10、如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是 40°、60°，那么另一个三角 形的最大角为 。 11、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点（DE 不平行于 BC），当 时， △ADE 与△ABC 相似。 E D B C A D C B A x y B A 4 2 0
10远程教育网 (第11题图) (第12题图) (第13题图) 2、如图,BC平分∠ABD,AB=12,BD=15,如果∠ACB=∠D,那么BC边的长为 13、如图,在直角坐标系中,有两个点A(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(点C与 点A不重合),当点C坐标为 时,使得由B、0、C三点组成的三角形和△AOB相似 14、如图,在平行四边形ABC中,找出一对是位似图形的三角形 15、两个相似多边形最长边分别为10cm和25cm,它们的周长之差为60cm,则这两个多边形 的周长分别是 如图, 若∠B=∠C,则图中的相似三角形有 AB是斜靠在墙脚的长梯,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,BD长55c皿, 则梯子长为 D A E C B (第15题图) (第16题图) (第17题图) (第18题图) 18、如图,E、P、F分别是AB、AC、AD的中点,则四边形AEPE与四边形ABCD (填“是”或“不是”)位似图形。 三、专心解一解(本大颶共8小题,满分66分)请认真读题,冷静思考。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 19.(6分)如图,等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F,且∠E+∠F=45°,AE=3, 设AB=x,BF=y,求y关于x的函数解析式 20.(8分)如图,圆中两弦AB、CD相交于M,且AC=CM=MD,MB=一AM=1,求此圆的直径的 21.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,F为BC的中点,P是BF上的一点,过点P 作BC的垂线交AB于D,交CA的延长线于E.若设BP=x,那么图中有些量(线段,面积 等)可以看作x的函数,如PC=6-x,BF=3-x等,除以上两例外,请你写出一个关于x 的函数解析式,并加以证明.(不要添加辅助线和其他字母)
2 Www.chinaedu.com O D E C B A P F E D C A B D B A （第 11 题图） （第 12 题图） （第 13 题图） 12、如图，BC 平分∠ABD，AB=12，BD=15，如果∠ACB=∠D，那么 BC 边的长为 。 13、如图，在直角坐标系中，有两个点 A（4，0）、B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（点 C 与 点 A 不重合），当点 C 坐标为 时，使得由 B、O、C 三点组成的三角形和△AOB 相似。 14、如图，在平行四边形 ABCD 中，找出一对是位似图形的三角形： 。 15、两个相似多边形最长边分别为 10cm 和 25cm，它们的周长之差为 60cm，则这两个多边形 的周长分别是 。 16、如图，若∠B=∠C，则图中的相似三角形有 。 17、如图，AB 是斜靠在墙脚的长梯，梯脚 B 距墙 80cm，梯上点 D 距墙 70cm，BD 长 55cm， 则梯子长为 。 （第 15 题图） （第 16 题图） （第 17 题图） （第 18 题图） 18、如图，E、P、F 分别是 AB、AC、AD 的中点，则四边形 AEPE 与四边形 ABCD （填“是”或“不是” ）位似图形。 三、专心解一解(本大题共 8 小题，满分 66 分)请认真读题，冷静思考。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 19．（6 分）如图，等腰直角△ABC 的斜边 AB 所在的直线上有点 E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3， 设 AB=x，BF=y，求 y 关于 x 的函数解析式． 20．（8 分）如图，圆中两弦 AB、CD 相交于 M，且 AC=CM=MD，MB= 1 2 AM=1，求此圆的直径的 长． 21．（8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，F 为 BC 的中点，P 是 BF 上的一点，过点 P 作 BC•的垂线交 AB 于 D，交 CA 的延长线于 E．若设 BP=x，那么图中有些量（线段，面积 等）可以看作 x 的函数，如 PC=6-x，BF=3-x 等，除以上两例外，请你写出一个关于 x 的函数解析式， 并加以证明．（不要添加辅助线和其他字母） O D C A B
10远程教育网 22.(8分)已知BE是△ABC的外接圆0的直径,CD是△ABC的高 (1)求证:AC·BC=BE·CD; (2)若CD=6,AD=3,BD=8,求⊙0的直径BE的长 23.(8分)如图,⊙0与⊙0′相交于A、B两点,点0在⊙0′上,⊙0′的弦0C交AB于点 (1)求证:OA2=0C·OD (2)如果AC+BC=√30,⊙0的半径为r,求证:AB=3r. 24.(8分)如图,二次函数y=2x2-2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)与 y轴交于点C,直线x=m(m>1)与x轴交于点D (1)求A、B、C三点的坐标 (2)在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在第一象限)使得以P、D、B为顶点的三角 形与以B、C、0为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示) D
3 Www.chinaedu.com 22．（8 分）已知 BE 是△ABC 的外接圆 O 的直径，CD 是△ABC 的高． （1）求证：AC·BC=BE·CD； （2）若 CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径 BE 的长． 23．（8 分）如图，⊙O 与⊙O′相交于 A、B 两点，点 O 在⊙O′上，⊙O′的弦 OC 交 AB 于点 D． （1）求证：OA2=OC·OD； （2）如果 AC+BC= 3 OC，⊙O 的半径为 r，求证：AB= 3 r． 24．（8 分）如图，二次函数 y=2x 2-2 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边）与 y•轴交于点 C，直线 x=m（m>1）与 x 轴交于点 D． （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）在直线 x=m（m>1）上有一点 P（点 P 在第一象限）使得以 P、D、B 为顶点的三角 形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）．
10远程教育网 25.(10分)如图①,在正方形ABD中,AB=1,AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的 段弧.点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作AC所在圆的切线,交 边DC于点F,G为切点 (1)当∠DEF=45°时,求证点G为线段EF的中点 (2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围 (3)将△DEF沿直线EF翻折后得到△DEF,如图②所示,当E=5时,讨论△ADD 与△EDF是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写 出理由 26.(10分)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题: (1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边0A、OB交于点C、D. ①在图(a)中,证明:PC=PD ②在图(b)中,点G是CD与OP的交点,且PG=PD,求△POD与△PDG的面积之比 (2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动.一直角边与边0B交于点D,OD=1,另 直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E,使以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似, 在图(c)中作出图形,试求OP的长
4 Www.chinaedu.com 25．（10 分）如图①，在正方形 ABCD 中，AB=1，AC 是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一 段弧．点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作 AC 所在圆的切线，交 边 DC 于点 F，G 为切点． （1）当∠DEF=45°时，求证点 G 为线段 EF 的中点； （2）设 AE=x，FC=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）将△DEF 沿直线 EF 翻折后得到△D1EF，如图②所示，当 EF= 5 6 时， 讨论△AD1D• 与△ED1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写 出理由． 26．（10 分）已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题： （1）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与边 OA、OB 交于点 C、D． ①在图（a）中，证明：PC=PD； ②在图（b）中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且 PG= 3 2 PD，求△POD 与△PDG 的面积之比． （2）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动．一直角边与边 OB 交于点 D，OD=1，另一 直角边与直线 OA、直线 OB 分别交于点 C、E，使以 P、D、E 为顶点的三角形与△OCD•相似， 在图（c）中作出图形，试求 OP 的长．
10远程教育网 D B 答案 1.C2.D3.D4.C5.C6.A7.C8.C 410、80°11、不唯一,如∠ADE=∠C 12、6 √5 13、不唯一,如(1,0)或(-1,0)或(-4,0) 14、不唯一,如△AOB与△COD或△AOD与△COB 15、40cm、100cm16、△ABE∽△ACD,△BOD∽△COE 17、4.4m 18、是 19.△ABC为等腰Rt△,∠CAB=∠CBA=45°,∠E+∠F=45° ∠E+∠ECA=∠CAB=45°,∠F+∠BCF=∠CBA=45° 所以∠ECA=∠F,∠E=∠BCF, 所以△ECA∽△CFB,EACB 3y=CA2=x2,即y=x2 CA BF 20.连结BD,由∠CAM=∠BDM,∠AMC=∠DMB,△ACM∽△DBM,AMCM DM BM 又DMCM,CM=AMBM=2,CMDM=,AC=√2 又AC2+CM=AM,所以∠ACD=90° 所以圆的直径为A、AC+CD=√)+(2) 21.如图,有些线段和图形的面积可看作x的函数,例如,DP=x,AD=5--x,△BPD的 面积3x2,四边形PCAD的面积=12-3x等 证明:在△ABC中,AB=AC,BF=FC,BF=3,AF⊥BC,DP∥AF,AF=√52-32= 在Rt△DBP和Rt△ABF中,∠B=∠B,∠DPB=∠AFB, DP BP △DBP∽△ABF, DPAF→BP AF BF BF 22.(1)连结CE,因为B是⊙0的直径,∠ECB=∠90°,CD⊥AB ∠ADC=90° ECB=∠ADC, 又∠A=∠BEC,所以△ADC∽△ECB,AC_DC EBCB,所以AC·BC=BE·CD (2)在Rt△ACD和Rt△BCD中,因为CD=6,AD=3,BD=8, BC=√BD+CD2=10,AC=√AD2+CD2=3√5, 又AC·BC=BE·CD,3√5×10=BE×6 所以⊙0的直径BE的长为5√5 23.(1)连结OB,由OA=OB,∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OBA,∠OAB=∠OCA 又∠AOC=∠DOA,△A0C∽△DOA.OAOC OD OA
5 Www.chinaedu.com 答案: 1．C 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．C 8．C 9、 4 1 10、80° 11、不唯一，如∠ADE=∠C 12、6 5 13、不唯一，如（1，0）或（-1，0）或（-4，0） 14、不唯一，如△AOB 与△COD 或△AOD 与△COB 15、40cm、100cm 16、△ABE∽△ACD，△BOD∽△COE 17、4.4m 18、是 19．△ABC 为等腰 Rt△，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°， ∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°， 所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF， 所以△ECA∽△CFB， EA CB CA BF = ，3y=CA2= 1 2 x 2，即 y= 1 6 x 2． 20．连结 BD，由∠CAM=∠BDM，∠AMC=∠DMB，△ACM∽△DBM， AM CM DM BM = ， 又 DM=CM，CM2=AM·BM=2，CM=DM= 2 ，AC= 2 ． 又 AC2+CM2=AM2，所以∠ACD=90°， 所以圆的直径为 AD= 2 2 2 2 AC CD + = + ( 2) (2 2) = 10 ． 21．如图，有些线段和图形的面积可看作 x 的函数，例如，DP= 4 3 x，AD=5- 5 3 x，△BPD•的 面积= 2 3 x 2，四边形 PCAD 的面积=12- 2 3 x 2 等． 证明：在△ABC 中，AB=AC，BF=FC，BF=3，AF⊥BC，DP∥AF，AF= 2 2 5 3 − =4． 在 Rt△DBP 和 Rt△ABF 中，∠B=∠B，∠DPB=∠AFB， △DBP∽△ABF， 4 , 3 DP BP AF BP DP AF BF BF = = = x． 22．（1）连结 CE，因为 BE 是⊙O 的直径，∠ECB=∠90°，CD⊥AB， ∠ADC=90°，∠ECB=•∠ADC， 又∠A=∠BEC，所以△ADC∽△ECB， AC DC EB CB = ，所以 AC·BC=BE·CD． （2）在 Rt△ACD 和 Rt△BCD 中，因为 CD=6，AD=3，BD=8， BC= 2 2 BD CD + =10，AC= 2 2 AD CD + =3 5 ， 又 AC·BC=BE·CD，3 5 ×10=BE×6， 所以⊙O 的直径 BE 的长为 5 5 ． 23．（1）连结 OB，由 OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OBA，∠OAB=∠OCA． 又∠AOC=•∠DOA，△AOC∽△DOA， OA OC OD OA =
10远程教育网 所以OA2=C·OD (2)由△AOC△DM,AC= nAOC O4 OC AC DA DA O 同理可BCDB OB 所以4C+BC=D4+DB,即AC+BC=4B OCOC OA OB 因为AC+BC=√30,0A=,所以AB=√r 24.(1)令y=0,2x2-2=0,x=±1.点A为(-1,0),点B为(1,0), 令x=0,得y=-2,所以点C为(0,-2) (2)①当△PDB∽△OB时,PDBD PD m-1 因BD=m-1,0C=2,OB=1, ,PD=2(m-1), 所以P(m,2m2). ②当△PDB∽△BOC时,PDBD OB OC 所以PD P(m (m-1)) 2 25.(1)证明:因为∠DEF=45°,得∠DFE=90°-∠DEF=45° 所以∠DEF=∠DFE,DE=DF.又AD=DC.所以AE=FC 又AB是⊙B的半径,AD⊥AB.所以AD切圆B于点A, 同理CD切圆B于点C,又EF为⊙B的切线.切点为G, 所以AE=EG,FC=FG,所以EG=FG,即点C为线段EF的中点 2)EG=AE=X, FG=CF=y, ED=1-x, FD=l-y 在Rt△DEF中,由ED+FD=EF,得(1x)2+(1-y)2=(x+y)2, 所以 (<x<1 ). 1+x (3)当EF=一时,由(2)得,EF=EG+FG=AE+FC=x+ 得x1=或 ①当AE=时,△ADAD∽△EDF.证明如下 设直线EF交线段D1于点H,如第3题图所示△EDF≌△EDF,EF⊥DD1且DH=D1H 由AE=,AD=1,得AE=ED,EH∥AD1,∠DAD=∠FED=∠FED,∠ADD=∠EHD=90° 又∠EDF=∠EDF=90°,所以∠ED1F=∠ADD,所以△ADAD∽△EDF. ②当AE=时,△ADD与△EDF不相似 D, 26.(1)①过点P作PE⊥OB于E,PF⊥0A于F
6 Www.chinaedu.com 所以 OA2 =OC·OD． （2）由△AOC∽△DOA， , AC OC AC DA DA OA OC OA = = ， 同理可得 BC DB OC OB = ， 所以 AC BC DA DB OC OC OA OB + = + ，即 AC BC AB OC OA + = ， 因为 AC+BC= 3 OC，OA=r，所以 AB= 3 r． 24．（1）令 y=0，2x2 -2=0，x=±1．点 A 为（-1，0），点 B 为（1，0）， 令 x=0，得 y=-2， 所以点 C 为（0，-2）． （2）①当△PDB∽△COB 时， PD BD OC OB = ， 因 BD=m-1，OC=2，OB=1， 1 2 1 PD m − = ，PD=2（m-1）， 所以 P（•m，2m-2）． ②当△PDB∽△BOC 时， PD BD OB OC = ，OB=1，BD=m-1，OC=2， 所以 1 1 2 PD m − = ，P（m， 1 2 （m-1））． 25．（1）证明：因为∠DEF=45°，得∠DFE=90°-∠DEF=45°， 所以∠DEF=∠DFE，DE=DF．又 AD=DC．所以 AE=FC． 又 AB 是⊙B 的半径，AD⊥AB．所以 AD 切圆 B 于点 A， 同理 CD 切圆 B 于点 C，又 EF 为⊙B 的切线．切点为 G， 所以 AE=EG，FC=FG，所以 EG=FG，即点 C 为线段 EF 的中点． （2）EG=AE=x，FG=CF=y，ED=1-x，FD=1-y， 在 Rt△DEF 中，由 ED2 +FD2 =EF2，得（1-x）2 +（1-y）2 =（x+y）2， 所以 y= 1 1 x x − + （<x<1）． （3）当 EF= 5 6 时，由（2）得，EF=EG+FG=AE+FC=x+ 1 1 x x − + = 5 6 ， 得 x1= 1 3 或 x2= 1 2 ，即 AE= 1 3 或 AE= 1 2 ． ① 当 AE= 1 2 时，△AD1D∽△ED1F．证明如下: 设直线 EF 交线段 DD1 于点 H，如第 3 题图所示△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1 且 DH=D1H． 由 AE= 1 2 ，AD=1，得 AE=ED，EH∥AD1，∠D1AD=∠FED=∠FED1，∠AD1D=∠EHD=90° 又∠ED1F=∠EDF=90°，所以∠ED1F=∠AD1D，所以△AD1D•∽△ED1F． ②当 AE= 1 3 时，△AD1D 与△ED1F 不相似． 26．（1）①过点 P 作 PE⊥OB 于 E，PF⊥OA 于 F
10远程教育网 因为OM平分∠AOB,所以PE=PF. 又∠EPF=∠CPD=90°,∠FPC=∠EPD.Rt△CPF≌Rt△DPE,PC=PD ②由①PC=PD,∠PCD=∠PDC=45°,∠COP=45°,∠COP=∠GCP,∠CPG=∠CPG 所以△2△oE,Pe=m=yE,PG=CP= 22 PC OP 2 PO 4 PG=-PC (-OP)=-OP APDG PG (2)若△PED∽△OCD,∠E=∠CDO,CE=CD,OE=OD=1,又∠DPE=90°,OP==DE=1 如图①,若△PED∽△OCD,过P作PG⊥OA于G,作PF⊥OB于F,如图c(2),由 OM平分∠AOB,PG=PF,又可证∠PCG=∠PDF,所以△PCG≌△PDF,DF=CG 设PF=PG=0G=x,则DF=OD-EF=1-x=CG,0C=1-2x,△PED∽△FPD OC PF 2± 所以△OCD∽△FPD,一一 即1-2x= 得2x2-4x+1=0, 2 1,所以
7 Www.chinaedu.com 因为 OM 平分∠AOB，所以 PE=PF． 又∠EPF=∠CPD=90°，∠FPC=∠EPD．Rt△CPF≌Rt△DPE，PC=PD． ② 由①PC=PD，∠PCD=•∠PDC=45°，∠COP=45°，∠COP=∠GCP，∠CPG=∠CPG， 所以△CPG∽△OPC，PG= 3 2 PD= 3 2 PC， PG CP PC OP = = 3 2 ， PG= 3 2 PC= 3 2 （ 3 2 OP）= 3 4 OP， POD PDG S PO S PG = = 4 3 ． （2）若△PED∽△OCD，∠E=∠CDO，CE=CD，OE=OD=1，又∠DPE=90°，OP= 1 2 DE=1． 如图①，若△PED∽△OCD，过 P 作 PG⊥OA 于 G，作 PF⊥OB 于 F，如图 c（2），由 OM 平分∠AOB，PG=PF，又可证∠PCG=∠PDF，所以△PCG≌△PDF，DF=CG， 设 PF=PG=OG=x， 则 DF=OD-EF=1-x=CG，OC=1-2x，△PED∽△FPD， 所以△OCD∽△FPD， OC PF OD DF = ，即 1-2x= 1 x − x ，得 2x2 -4x+1=0，x= 2 2 2 ，又 x<1，所以 x= 2 2 2 − ，OP= 2 x= 2 -1．