10远程教育网 第26章小结与复习(2) 教学内容 本节课主要是运用二次函数的知识解决实际问题,提升应用能力 教学目标 知识技能 使学生掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题。 数学思考 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法 解决实际问题的经验,感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值 解决问题 利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思。 情感态度 通过实际问题的求解,培养学生求知欲,养成质疑和独立思考的学习习惯 重难点、关键 重点:将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策 难点:会运用二次函数知识解决有关综合问题。 关键:建立恰当的二次函数模型,建立正确的函数关系式 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:写一份本单元知识结构图 教学过程 、回顾交流 1.用待定系数法确定二次函数解析式 教师点评:二次函数解析式常用的有三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a0) (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a+0) (3)两根式:y=a(x-x1)x-x2)(a+0) 当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两根式y=a(x-x1)(x-x) 2.二次函数与一元二次方程之间的联系 教师归纳点评 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根 △值 象与x轴的位置关系 的情况 有两个公共点 有两个不相等的实数根 只有一个公共点 有两个相等的实数根 △=0 无公共点 无实数根 △<0
1 Www.chinaedu.com 第 26 章 小结与复习（2） 教学内容 本节课主要是运用二次函数的知识解决实际问题，提升应用能力． 教学目标 知识技能 使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。 数学思考 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法 解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。 解决问题 利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。 情感态度 通过实际问题的求解，培养学生求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯． 重难点、关键 重点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。 关键：建立恰当的二次函数模型，建立正确的函数关系式。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：写一份本单元知识结构图． 教学过程 一、回顾交流 1．用待定系数法确定二次函数解析式． 教师点评：二次函数解析式常用的有三种形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠0) (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0) (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0) 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 y＝ax2＋bx＋c 形式。 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 形式。 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 y＝a(x－x1)(x－x2) 2．二次函数与一元二次方程之间的联系 教师归纳点评 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图 象与 x 轴的位置关系 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）根 的情况 △值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 △>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 △=0 无公共点 无实数根 △<0
10远程教育网 二、范例点击 例1:根据下列条件,求出二次函数的解析式。 (1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点 (2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6) (3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3两点,并且以x=1为对称轴 (4已知二次函数y=a+bx+c的图象经过一次函数y=2x+3的图象与x轴、y轴 的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形 例2:已知二次函数y=2x2-(m+1x+m-1 (1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。 (2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围 例3:某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本 单价,又不高于800元/件,经试销调査,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做一 次函数y=kx+b的关系,如图所示。 (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式, (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价 成本总价)为S元,①试用销售单价x表示毛利润S:0 ②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利的如的南而→x 润?最大利润是多少?此时的销售量是多少? 分析:(1)由图象知直线y=kx+b过(600,400)、(700,300两点,代入可求解析式 为 x+1000 (2)由毛利润S=销售总价一成本总价,可得S与x的关系式 S=xy-500y=x(-x+1000-500(-x+100 x2+1500×-500000-(x-7502+62500(500<x<800 所以,当销售定价定为750元时,获最大利润为62500元 此时,y=-x+1000=-750+1000=250,即此时销售量为250件 例4:某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设 矩形的边长为x,面积为S平方米 (1)求出S与x之间的函数关系式; (2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个设计费用 (3)为了使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得 的设计费是多少?(精确到元)(参与资料:①当矩形的长是宽与(长+宽)的比例中项时
2 Www.chinaedu.com 二、范例点击 例 1：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点 P(－1，－8)，且过点 A(0，－6)。 (3)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以 x＝1 为对称轴。 (4)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过一次函数 y＝－ 2 3 x＋3 的图象与 x 轴、y 轴 的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式。 例 2：已知二次函数 y＝2x2－(m＋1)x＋m－1。 (1)求证不论 m 为何值，函数图象与 x 轴总有交点，并指出 m 为何值时，只有一个交点。 (2)当 m 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与 x 轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限，求 m 的取值范围。 例 3：某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本 单价，又不高于 800 元/件，经试销调查，发现销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看做— 次函数 y＝kx＋b 的关系，如图所示。 (1)根据图象，求一次函数 y＝kx＋b 的表达式， (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－ 成本总价)为 S 元，①试用销售单价 x 表示毛利润 S； ②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利 润?最大利润是多少?此时的销售量是多少? 分析：(1)由图象知直线 y＝kx＋b 过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式 为 y＝－x＋1000 (2)由毛利润 S＝销售总价－成本总价，可得 S 与 x 的关系式。 S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100) ＝－x 2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500 (500＜x＜800) 所以，当销售定价定为 750 元时，获最大利润为 62500 元。 此时，y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为 250 件。 例 4：某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元，设 矩形的边长为 x，面积为 S 平方米。 (1)求出 S 与 x 之间的函数关系式； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用； (3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得 的设计费是多少?(精确到元) (参与资料：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时
10远程教育网 这样的矩形叫做黄金矩形,②5≈2,236) 学生活动:让学生根据已有的经验,根据实际几何问题中的数量关系,建立恰当的二次 函数模型,并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。 教师精析: (1)由矩形面积公式易得出S=x·(6-x)=-x2+6x (2)确定所建立的二次函数的最大值,从而可得相应广告费的最大值 由S=-x2+6x=-(x-3)2+9,知当x=3时,即此矩形为边长为3的正方形时,矩形 面积最大,为9m2,因而相应的广告费也最多:为9×1000=9000元。 (3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积,从而得到广告费用的大小 设设计的黄金矩形的长为x米,则宽为(6-x)米 则有x2=6·(6-x) 解得x1=-3-3(不合题意,舍去),x2=-3+35 即设计的矩形的长为(3√5,3)米,宽为(9-35米时,矩形为黄金矩形。 此时广告费用约为:100035-39-35)≈8498(元) 三、随堂巩固 课本P32复习题26第6、9题 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图】 为学生提供实际演练的机会,加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况. 四、小结作业 1.问题:谈一谈本节课自己的收获和感受? 2.作业:课本P32复习题25第5、8题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识
3 Www.chinaedu.com 这样的矩形叫做黄金矩形，② 5≈2.236) 学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次 函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。 教师精析： (1)由矩形面积公式易得出 S＝x·(6－x)＝－x 2＋6x (2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。 由 S＝－x 2＋6x＝－(x－3)2＋9，知当 x＝3 时，即此矩形为边长为 3 的正方形时，矩形 面积最大，为 9m2，因而相应的广告费也最多：为 9×1000＝9000 元。 (3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。 设设计的黄金矩形的长为 x 米，则宽为(6－x)米。 则有 x 2＝6·(6－x) 解得 x1＝－3－3 5 (不合题意，舍去)，x2＝－3＋3 5。 即设计的矩形的长为(3 5，3)米，宽为(9－3 5)米时，矩形为黄金矩形。 此时广告费用约为：1000(3 5－3)(9－3 5)≈8498(元) 三、随堂巩固 课本 P32 复习题 26 第 6、9 题 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况. 四、小结作业 1.问题：谈一谈本节课自己的收获和感受？ 2.作业：课本 P32 复习题 25 第 5、8 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识