10远程教育网 263实际问题与二次函数(2) 教学内容 本节课主要学习二次函数在几何问题中的应用。 教学目标 知识技能 生活实际问题转化为数学问题,体验二次函数在生活中的应用。 数学思考 在问题转化、建模过程中,体会二次函数在几何中的应用及数形结合的思想. 解决问题 通过实际问题,体验数学在生活实际中的广泛应用性,提高数学思维能力 情感态度 通过对图形的分析,感受二次函数在几何中的应用,在转化、建模中,体验解决问 题的方法,培养学生的合作交流意识和探索精神 重难点、关键 重点:利用二次函数解决几何问题 难点:建立二次函数数学模型,求几何问题中的最值 关键:在问题转化、建模过程中,体会二次函数最值的应用及数形结合的思想。 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 、复习引入 1.已知圆锥的高为xcm,底面半径是高的一半,底面积为Scm2,侧面积为S2cm2,表 面积为S3cm2,体积为Vcm3,则S1与x的函数关系式为 S2与x的函数关系 式为 ,S2与x的函数关系式为 ,V与x的函数关系式为 2.已知:用长为12cm的铁丝围成一个矩形,一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的 面积最大? 【活动方略】 教师出示问题,学生独立解答 【设计意图】 复习二次函数的有关知识,几何图形知识,为学生能够积极主动地投入到探索活动创设 情境,激发学生学习热情 二、探索新知 「探究1计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁性物质的圆盘,磁盘上有一些同心 圆轨道,叫做磁道,如图,现有一张半径为45mm的磁盘 (1)磁盘最内磁道的半径为rmm,其上每0.015mm的弧长为1个存储单元,这条磁 道有多少个存储单元? (2)磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁盘的外圆周不是磁道,这张磁盘 最多有多少条磁道?
1 Www.chinaedu.com 26.3 实际问题与二次函数（2） 教学内容 本节课主要学习二次函数在几何问题中的应用。 教学目标 知识技能 生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。 数学思考 在问题转化、建模过程中，体会二次函数在几何中的应用及数形结合的思想． 解决问题 通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力． 情感态度 通过对图形的分析，感受二次函数在几何中的应用，在转化、建模中，体验解决问 题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神． 重难点、关键 重点：利用二次函数解决几何问题． 难点：建立二次函数数学模型，求几何问题中的最值． 关键：在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 1．已知圆锥的高为 xcm，底面半径是高的一半，底面积为 S1cm2，侧面积为 S2cm2，表 面积为 S3cm2，体积为 Vcm3， 则 S1 与 x 的函数关系式为_________，S2 与 x 的函数关系 式为________，S2 与 x 的函数关系式为_________，V 与 x 的函数关系式为__________． 2．已知：用长为 12cm 的铁丝围成一个矩形，一边长为 xcm.,面积为 ycm 2 ,问何时矩形的 面积最大？ 【活动方略】 教师出示问题，学生独立解答． 【设计意图】 复习二次函数的有关知识，几何图形知识，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设 情境，激发学生学习热情． 二、探索新知 [探究 1] 计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心 圆轨道，叫做磁道，如图，现有一张半径为 45mm 的磁盘． （1）磁盘最内磁道的半径为 r mm，其上每 0.015mm 的弧长为 1 个存储单元，这条磁 道有多少个存储单元？ （2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于 0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘 最多有多少条磁道？
10远程教育网 (3)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同.最内磁道的半径r是多少时,磁盘 的存储量最大? 分析 (1)最内磁道的周长为2Irmm,它上面的存储单元的个数不超过m 0.015 (2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁盘的外圆不是磁道,各磁道 分布在磁盘上内径为r外径为45的圆环区域,所以这张磁盘最多矛45一「条磁道 0.3 (3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时,磁盘每面存储量=每条磁道的存储 单元数×磁道数,设磁盘每面存储量为y,则 2m45 0.0150.3 y 45y-r2)0 <r<4 0.0045 0.0045 45-r2)0<r<45) 根据上面这个函数式,你能得出当r为何值时磁盘的存储量最大吗? 探究2 汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距 离为“刹车距离”,刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40km/h以内的弯 道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但是还是相碰了,事后现场测 得甲车的刹车距离为12m,乙车的刹车距离超过10m,但小于12m.查有关资料知,甲种 车的刹车距离为s甲(m)与车速x(km/h)之间有下列关系:s甲=0.1x+0.01x2,乙种车的 刹车距离sz(m)与车速x(km/h)的关系如图所示,请就两车的速度方面分析相碰的原 因 15 1020304050607080x(kmh) 分析 于甲车:甲车的刹车距离为12m,12=0.1x+0.01x2,解得x=30或x=-40(舍去 即甲车速度为30km/h,不超过限速 对于乙车:由图象知s与x的关系是正比例函数 设此函数为sz=kx由函数图象过点(60,15) 所以15=60%,k,即5 又10<sz<12,即10x12,40<x<48, 乙车超过限速40km/h的规定.就速度方面分析,两车相碰的原因在乙车超速行驶 【活动方略】 教师展示并提出问题,诱导学生自主分析,通过计算,得出结论
2 Www.chinaedu.com （3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同．最内磁道的半径 r 是多少时，磁盘 的存储量最大？ 分析： （1） 最内磁道的周长为 2πr mm，它上面的存储单元的个数不超过 （2）由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于 0.3mm，磁盘的外圆不是磁道，各磁道 分布在磁盘上内径为 r 外径为 45 的圆环区域，所以这张磁盘最多有 条磁道． （3）当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面存储量＝每条磁道的存储 单元数×磁道数，设磁盘每面存储量为 y，则 根据上面这个函数式，你能得出当 r 为何值时磁盘的存储量最大吗？ [探究 2] 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住， 我们称这段距 离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速 40km/h 以内的弯 道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但是还是相碰了， 事后现场测 得甲车的刹车距离为 12m，乙车的刹车距离超过 10m，但小于 12m．查有关资料知，甲种 车的刹车距离为 s 甲（m）与车速 x（km/h）之间有下列关系：s 甲=0.1x+0.01x2，乙种车的 刹车距离 s 乙（m）与车速 x（km/h）的关系如图所示，请就两车的速度方面分析相碰的原 因． 分析： 对于甲车：甲车的刹车距离为 12m，12=0.1x+0.01x 2，解得 x=30 或 x=-40（舍去）． 即甲车速度为 30km/h，不超过限速． 对于乙车：由图象知 s 与 x 的关系是正比例函数． 设此函数为 s 乙=kx 由函数图象过点（60，15）， 所以 15=60k，k= 1 4 ．即 s 乙= 1 4 x． 又 10<s 乙<12，即 10< 1 4 x<12，•40<x<48， 乙车超过限速 40km/h 的规定．就速度方面分析，两车相碰的原因在乙车超速行驶． 【活动方略】 教师展示并提出问题，诱导学生自主分析，通过计算，得出结论。 0.015 2r 0.3 45 − r 0.3 45 0.015 2 r r y − = (45 )(0 45) 0.0045 2 2 y = r − r r (45 )(0 45) 0.0045 2 2 y = r − r r
10远程教育网 【设计意图】 通过对实际问题的分析,把问题转化为二次函数求最值问题,让学生体会数学建模思想 反馈练习 如图,在ΔABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移 动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出 发,几秒后△ABC的面积最大?最大面积是多少? 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况 四、应用拓展 例1:如图在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其顶点A和点D分别在两直 角边上BC在斜边上 (1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时y的最大值是多少? 30 A 解:()由勾股定理得MN=50m,PH=24m 设AB=bm,易得b=-x+24 (2)y=xb= 12 x2+24x (x-25) b 4ac-b =25,y最大值 【活动方略】
3 Www.chinaedu.com 【设计意图】 通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想． 三、反馈练习 如图，在ΔABC 中，∠B＝90°，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米／秒的速度移 动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米／秒的速度移动，如果 P,Q 分别从 A,B 同时出 发，几秒后ΔABC 的面积最大？最大面积是多少？ 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、应用拓展 例 1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其顶点 A 和点 D 分别在两直 角边上,BC 在斜边上。 (1)设矩形的一边 BC=xm,那么 AB 边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为 ym2 ,当 x 取何值时,y 的最大值是多少? 【活动方略】 A B C D ┐ M N P A B C P Q 解: 1 . 50 , 24 . ( )由勾股定理得MN m PH m = = 12 , 24. 25 设AB bm b x = = − + 易得 ( ) y x b x x x 24x 25 12 24 25 12 2 . 2 = − + = = − + ( 25) 300. 25 12 2 = − x − + 300. 4 4 25 , 2 2 = − = − = = a ac b y a b 当x 时 最大值 30 m 40m
10远程教育网 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值,掌握实际问题的解决方法 五、小结作业 回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程,你能总结一下解决此类 问题的基本思路吗?与同伴交流. (1)理解问题; (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系 (3)用数学的方式表示出它们之间的关系; 4)做数学求解 (5)检验结果的合理性拓展等 2.作业:课本P28习题26.3第3、4、5题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结. 【设计意图】 加深学生对知识的理解,促进学生对所学知识的反思、巩固、提高,使每个学生都有 不同的发展和提高
4 Www.chinaedu.com 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法． 五、小结作业 回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类 问题的基本思路吗？与同伴交流. （1）理解问题; （2）分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; （3）用数学的方式表示出它们之间的关系; （4）做数学求解; （5）检验结果的合理性,拓展等. 2．作业：课本 P28 习题 26．3 第 3、4、5 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】 加深学生对知识的理解，促进学生对所学知识的反思、巩固、提高，使每个学生都有 不同的发展和提高．