10远程教育网 263实际问题与二次函数(1) 教学内容 本节课主要学习二次函数最值的应用 教学目标 知识技能 生活实际问题转化为数学问题,体验二次函数在生活中的应用。 数学思考 在问题转化、建模过程中,体会二次函数最值的应用及数形结合的思想 解决问题 通过实际问题,体验数学在生活实际中的广泛应用性,提高数学思维能力 情感态度 1.通过对商品涨价与降价问题的分析,感受数学在生活中的应用,激发学习热情 2.在转化、建模中,体验解决问题的方法,培养学生的合作交流意识和探索精神. 重难点、关键 重点:利用二次函数解决商品利润问题 难点:建立二次函数数学模型,求函数的最值 关键:在问题转化、建模过程中,体会二次函数最值的应用及数形结合的思想 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 1.求下列函数的最大值或最小值 (1)y=2x2-3x-5 (2)y=-x2-3x+4 2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元, 那么一周的利润是多少? 【活动方略】 教师出示问题,学生独立解答 计意图】 复习巩固函数的最值知识,商品的利润知识,并通过第三问引出本节课的内容,为学生 能够积极主动地投入到探索活动创设情境,激发学生学习热情. 探索新知 「探究某商品现在的售价为每件6元,每星期可卖出300件,市场调査反映:如果调 整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件;已知商 品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 1.分析问题 (1)计算利润应分几种情况? (2)涨价时销售额为多少? (3)进货额为多少? (4)利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么? (5)变量x的范围如何确定?
1 Www.chinaedu.com 26.3 实际问题与二次函数（1） 教学内容 本节课主要学习二次函数最值的应用。 教学目标 知识技能 生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。 数学思考 在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想． 解决问题 通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力． 情感态度 1．通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情． 2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神． 重难点、关键 重点：利用二次函数解决商品利润问题． 难点：建立二次函数数学模型，求函数的最值． 关键：在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 1.求下列函数的最大值或最小值． （1） （2） 2.某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.已知商品的进价为每件 40 元， 那么一周的利润是多少？ 【活动方略】 教师出示问题，学生独立解答． 【设计意图】 复习巩固函数的最值知识，商品的利润知识，并通过第三问引出本节课的内容，为学生 能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情． 二、探索新知 [探究] 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：如果调 整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件；已知商 品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 1．分析问题 （1）计算利润应分几种情况？ （2）涨价时销售额为多少？ （3）进货额为多少？ （4）利润 y 与每件涨价 x 元的函数关系式是什么？ （5）变量 x 的范围如何确定？
10远程教育网 (6)如何求解最值 2.解决涨价问题 解:设每件涨价x元.由题意得 y=(60+x)(300-10x) 400300-10x) 其中,0≤x≤30 对于降价情况,学生参考涨价的讨论自己得出答案 【活动方略】 教师展示并提出问题, 学生自主分析,得出结论 (1)利润随着价格的变化而变化 (2)利润=销售额一进货额 销售额=销售单价×销售量 进货额=进货单价×进货量 师生共同得到: 当x=时,y最大.在涨价情况下,涨价元,即定价元时,利润最大,最 大利润是 【设计意图】 通过对实际问题的分析,把问题转化为二次函数求最值问题,让学生体会数学建模思想 三、反馈练习 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想 通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调査,发现这种商品单价每降低 01元,其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、应用拓展 例1:某公司试销一种成本单价为500元/件的新产 品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于 800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看做一次函数y=kx+b的关系,如图所 (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式 (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价一成本Q020030如动物一→x 总价)为S元,①试用销售单价ⅹ表示毛利润S:②试问销售单价定为多少时,该公司可获 得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少? 分析:(1)由图象知直线y=kx+b过(600,400)、(700,300两点,代入可求解析式 为 y=-x+1000 (2)由毛利润S=销售总价一成本总价,可得S与x的关系式 S=xy-500y=x(-x+1000-500-x+100) x2+1500x-500000(x-7502+62500(500<x<800) 所以,当销售定价定为750元时,获最大利润为62500元 此时,y=-x+1000=-750+1000=250,即此时销售量为250件
2 Www.chinaedu.com （6）如何求解最值？ 2．解决涨价问题 解：设每件涨价 x 元．由题意得： 40(300 10 ) (60 )(300 10 ) x y x x − − = + − 其中， 0 x 30． 对于降价情况，学生参考涨价的讨论自己得出答案． 【活动方略】 教师展示并提出问题， 学生自主分析，得出结论： （1）利润随着价格的变化而变化； （2）利润＝销售额－进货额 销售额＝销售单价×销售量 进货额＝进货单价×进货量 师生共同得到： 当 x = 时，y 最大．在涨价情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最 大利润是 元． 【设计意图】 通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想． 三、反馈练习 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约 100 件．该店想 通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加 10 件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、应用拓展 例 1：某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产 品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于 800 元/件，经试销调查，发现销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看做—次函数 y＝kx＋b 的关系，如图所 示。 (1)根据图象，求一次函数 y＝kx＋b 的表达式， (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本 总价)为 S 元，①试用销售单价 x 表示毛利润 S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获 得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少? 分析：(1)由图象知直线 y＝kx＋b 过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式 为 y＝－x＋1000 (2)由毛利润 S＝销售总价－成本总价，可得 S 与 x 的关系式。 S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100) ＝－x 2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500 (500＜x＜800) 所以，当销售定价定为 750 元时，获最大利润为 62500 元。 此时，y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为 250 件
10远程教育网 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值,掌握实际问题的解决方法 五、小结作业 问题:本节课你学到了什么知识? 生活中利润问题转化为数学问题进行解决:掌握数学建模思想在实际问题中的应用;体 现数学的实际应用价值 2.作业:课本P17习题26.3第1、2、6题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程. 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】 加深学生对知识的理解,促进学生对所学知识的反思、巩固、提高,使每个学生都有 不同的发展和提高
3 Www.chinaedu.com 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法． 五、小结作业 问题：本节课你学到了什么知识？ 生活中利润问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体 现数学的实际应用价值． 2．作业：课本 P17 习题 26．3 第 1、2、6 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】 加深学生对知识的理解，促进学生对所学知识的反思、巩固、提高，使每个学生都有 不同的发展和提高．