10远程教育网 28.2解直角三角形(4) 教学内容 本节课主要学习28.2坡度问题 教学目标 知识技能 使学生了解坡度的有关概念,使学生根据直角三角形的知识解决这类实际问题 数学思考 结合解直角三角形的问题,渗透微积分的基本思想 解决问题 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题 来解决 情感态度 渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯。 重难点、关键 重点:理解坡度问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问 题 难点:理解坡度问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问 关键:借助图形将坡度问题转化为解直角三角形的问题,并将其归结为直角三角形中元 素之间的关系 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 、复习引入 1.方位角、方向角的指什么? 2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程? 【活动方略】 学生思考问答,教师诱导小结 【设计意图】 复习上节课的知识,提出问题,引入新课 二、探索新知 例1:如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是55m,测得斜坡的 倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m). 分析:1.例题中出现许多术语——株距,倾斜角,这些概念学生未接触过,比较生疏, 而株距概念又是学生易记错之处,因此教师最好准备教具:用木板钉成一斜坡,再在斜坡上 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 1 28.2 解直角三角形（4） 教学内容 本节课主要学习 28.2 坡度问题 教学目标 知识技能 使学生了解坡度的有关概念，使学生根据直角三角形的知识解决这类实际问题。 数学思考 结合解直角三角形的问题，渗透微积分的基本思想。 解决问题 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题 来解决。 情感态度 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。 重难点、关键 重点：理解坡度问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问 题。 难点：理解坡度问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问 题。 关键：借助图形将坡度问题转化为解直角三角形的问题，并将其归结为直角三角形中元 素之间的关系。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 1．方位角、方向角的指什么？ 2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程？ 【活动方略】 学生思考问答，教师诱导小结． 【设计意图】 复习上节课的知识，提出问题，引入新课． 二、探索新知 例 1： 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m，测得斜坡的 倾斜角是 24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到 0.1m)． 分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏， 而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上
10远程教育网 钉几个铁钉,利用这种直观教具更容易说明术语,符合学生的思维特点 2引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2)已知:Rt△ABC中,∠C=90°, AC=5.5,∠A=24°,求AB. 3.学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做,其余 同学在练习本上做,教师巡视. 解:在Rt△ABC中,cosA AB AB=c6“0915600) 答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约是60米 例2:如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i1:3,斜 坡CD的坡度μ=l1:25,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m) 教师讲解:结合图,讲述坡度概念,并板书: 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示。即i=h:1 把坡面与水平面的夹角a叫做坡角 h:1 引导学生结合图形思考,坡度i与坡角α之间具有什么关系? 答:i 分析:图中ABCD是梯形,若BE⊥AD,CF⊥AD,梯形就被分割成Rt△ABE,矩形BEFC 和Rt△CFD,AD=AE+EFFD,AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出,EF=BC=6m 从而求出AI 解:作BE⊥AD,CF⊥AD,在Rt△ABE和Rt△CDF中, BE 1 Ae 3 2.5 ∴AE=3BE=3×23=69m) FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m) ∴AD=AE+EF+FD=69+6+575=132.5(m) 因为斜坡AB的坡度i=tana=≈0.3333查表得 a≈18°26′ BE =sn d 2 be AB= ana03162727(m)
http://school.chinaedu.com 2 钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点． 2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5.5，∠A=24°，求 AB． 3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例 1．教师可请一名同学上黑板做，其余 同学在练习本上做，教师巡视． 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是 6.0 米． 例 2：如图 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高 23m，斜坡 AB 的坡度 i=1∶3，斜 坡 CD 的坡度 i=1∶2.5，求斜坡 AB 的坡面角α，坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1m)． 教师讲解： 结合图，讲述坡度概念，并板书： 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用 i 表示。即 i＝h:l 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 引导学生结合图形思考，坡度 i 与坡角α之间具有什么关系？ 答：i＝ l h ＝tan 分析：图中 ABCD 是梯形，若 BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成 Rt△ABE，矩形 BEFC 和 Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF=BC=6m， 从而求出 AD． 解：作 BE⊥AD，CF⊥AD，在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中， ∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)． ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． 因为斜坡 AB 的坡度 i＝tan ＝ 3 1 ≈0.3333，查表得 α≈18°26′
10远程教育网 答:斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米 教师讲解:解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用相关 知识.例如,当我们要测量如课本图28.2-9所示大坝的高度h时,只要测出仰角a和大坝 的坡面长度L,就能算出h= Lsin a.但是,当我们要测量如课本图28.2-10所示的山高h 时,问题就不那么简单了.这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度 图28.2-9 图28.2-10 与测坝高相比,测山高的困难在于:坝坡是“直”的,而山坡是“曲”的.怎样解决这 样的问题呢? 我们设法“化曲为直,以直代曲”.我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段, 课本图28.2-11表示其中一部分小段.划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的,可以量出这段坡长L1,测出相应的仰角α,这样就可以算出这段山坡的高度h= Lisin a 图28 在每个小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 然后我们再“积零为整”,把h,h2,…相加,于是得到山高h 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲”的做法,就是 高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解 这方面的内容 【活动方略 学生思考与研究解决问题的方向与方法,教师诱导讲解 【设计意图】 借助图形将实际问题转化为解直角三角形的问题,分析其数量关系,并将其归结为直角 角形中元素之间的关系。 三、反馈练习 课本第95页练习2题 补充练习: 1、一段坡面的坡角为60°,则坡度ⅰ= 坡角 度 2、如图,燕尾槽的外口宽AD=90mm,深为70mm,燕尾角为60°,则里口宽为 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 3 答：斜坡 AB 的坡角α约为 18°26′，坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米． 教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时， 要根据实际情况灵活运用相关 知识．例如，当我们要测量如课本图 28．2-9 所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角α和大坝 的坡面长度 L，就能算出 h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图 28．2-10 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度 L． 图 28．2-9 图 28．2-10 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这 样的问题呢？ 我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段， 课本图 28．2-11 表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长 L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度 h1=L1sinα． 图 28．2-11 在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，……． 然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…相加，于是得到山高 h． 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是 高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解 这方面的内容． 【活动方略】 学生思考与研究解决问题的方向与方法，教师诱导讲解。 【设计意图】 借助图形将实际问题转化为解直角三角形的问题，分析其数量关系，并将其归结为直角 三角形中元素之间的关系。 三、反馈练习 课本第 95 页练习 2 题． 补充练习： 1、 一段坡面的坡角为 60°，则坡度 i=_______，坡角 ______度． 2、如图， 燕尾槽的外口宽 AD=•90mm， 深为 70mm， 燕尾角为 60•°， 则里口宽为
10远程教育网 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取2名学生上台书写答案。 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例3.利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为06米的一块(图6-35阴影部分是挖 去部分),已知渠道内坡度为1:1.5,渠道底面宽BC为0.5米,求: ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积 ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 巩固加深对知识的理解,提高学生数学素养 五、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发? 本节课应掌握: (1)坡度与坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示 即i=h:l 把坡面与水平面的夹角a叫做坡角 (2)利用解直角三角形的知识解决实际问题的时常用的“化整为零,积零为整”的方 法“化曲为直,以直代曲”。 2.作业:课本第96页习题28.2第5、8题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 4 ________． 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取 2 名学生上台书写答案。 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例 3．利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6 米的一块(图 6-35 阴影部分是挖 去部分)，已知渠道内坡度为 1∶1.5，渠道底面宽 BC 为 0.5 米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积； ②修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方数． 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 巩固加深对知识的理解，提高学生数学素养． 五、小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ 本节课应掌握： （1）坡度与坡角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用 i 表示。 即 i＝h:l 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． （2）利用解直角三角形的知识解决实际问题的时常用的“化整为零，积零为整” 的方 法“化曲为直，以直代曲”。 2．作业：课本第 96 页习题 28．2 第 5、8 题． 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识