免费下载网址htp:/ Jiaoxie5uys168com 21.2锐角的三角函数值 教法设想: 通过同学们经常使用的三角板,让同学们计算一下,当∠A=30°<4的对边?∠ 斜边 ∠A的对边 斜边 ?由于同学们所使用三角板大小不一,但他(她)们求得的比值都 这是为什么 由相似三角形有关性质得出:在这些直角三角形中,锐角A取一个固定值,∠A的对边 与斜边的比值仍是一个固定值,进而再引入正弦,余弦的概念,并向同学说明0<sinA< 0<cosA<1(∠A为锐角) 再分别求出30°,45°,60°特殊三角函数值并应用其进行计算,进一步研究任意锐 角的正弦值与余角的余弦值关系 根据30°,45°,60°正、余弦值分析,引导同学归纳出:当角度在0°—90°间变化 时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);当角度在0°-90°间变化时, 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 适时介绍正弦和余弦表的构造.结合实例进行查表,知其角度查正弦值或余弦值,反之 亦然.正确处理好修正值. 对学有余力的学生,也可适当介绍“sin2A+cos2A=1”这一重要关系式 在学习正弦、余弦的概念后,再进一步学正切、余切较容易,可仿正弦、余弦的教法进 行,对学有余力的学生也可讲授gA C4、 CUeA CosA Sina 这些重要关系式 在教学中对0°,30°,45°,60°,90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记, 为此,我们可分别列出表并编出口决让学生记易,省时易记 I: 三角函数 45 Sin a √3 11 Cos a √27 tg a 口决: 三,三,二,一,三九二十七 表I 三角函数 60 90° Sin Cos 0 tg a 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 21.2 锐角的三角函数值 一、教法设想： 通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当∠A=30°, = A的对边 斜边 ? ∠ A=45°, = A的对边 斜边 ? 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都 是 1 2 和 2 2 ，这是为什么呢？ 由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角 A 取一个固定值，∠A 的对边 与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明 0< sinA < 1, 0< cosA< 1（∠A 为锐角）. 再分别求出 30°，45°，60°特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐 角的正弦值与余角的余弦值关系. 根据 30°，45°，60°正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在 0°—90°间变化 时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在 0°—90°间变化时， 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. 适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之 亦然. 正确处理好修正值. 对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2 A+ cos2 A = 1”这一重要关系式. 在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进 行，对学有余力的学生也可讲授 tgA ctgA tgA SinA CosA CtgA CosA SinA = = = 1 , , 这些重要关系式. 在教学中对 0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记， 为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记. 表 I： 三角函数 30° 45° 60° Sinα 1 2 1 2 = 2 2 3 2 Cosα 3 2 2 2 1 2 1 2 = tgα 3 3 1 9 3 = 3 27 3 = 口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七. 表 II. 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° Sinα 0 0 2 = 1 2 1 2 = 2 2 3 2 1 4 2 = Cosα 1 4 2 = 3 2 2 2 1 2 1 2 = 0 0 2 = tgα 0 3 3 1 3 = 1 3 ──
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com tg a 口决:0, 二,三,四带根号,比上2要记牢 第二行左右倒,三,四行靠推导. 【指点迷津】 本单元锐角三角函数的引进,使形与数紧密结合为一体,开辟了数形结合的新航向.因 此,在本单元教学中,务必注意数形结合思维方法的引导,应用.用其法解决生活中的实际 问题.达到得心应手. 学海导航 【思维基础】 1.锐角三角函数定义 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=C,BC=a,AC=b,则∠A的正弦,余弦,正切,余切分 别是:SinA Cosa tgA CtgA 它们统称为∠A 的锐角三角函数.(1)一锐角的三角函数值是四个 ;锐角三角函数都不可能取 且A为锐角时,SinA,CosA均在 内取值 2.特殊角的三角函数值(完成下表) 0 45 增减值 函数 Sin a t ctg a 3.互余角间的三角函数关系,△ABC中,∠C=90°,A+B=90°,∠B=90°-A,则 有 Sin(90°-A) 4.同角三角函数关系公式:(∠A为锐角) (1) Sin a+ cosa Cos A Sina= (2)tgA Ctg A 【学法指要】 例1.如果∠A为锐角,CosA 4’那么() B.30°〈A≤4 D.60°<A<90 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ctgα ── 3 1 3 3 1 3 = 0 口决：0，一，二，三，四带根号，比上 2 要记牢. 第二行左右倒，三，四行靠推导. 【指点迷津】 本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向. 因 此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用. 用其法解决生活中的实际 问题. 达到得心应手. 二、学海导航： 【思维基础】 1. 锐角三角函数定义 Rt△ABC 中，∠C= 90°，AB= c，BC= a，AC= b， 则∠A 的正弦，余弦，正切，余切分 别是：SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为∠A 的锐角三角函数. （1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取 _________，且 A 为锐角时，SinA，CosA 均在______~ ______内取值. 2. 特殊角的三角函数值（完成下表） 0° 30° 45° 60° 90° 增减值 Sinα Cosα tgα ctgα 3. 互余角间的三角函数关系，△ABC 中，∠C= 90°，A + B = 90°，∠B =90°－A，则 有： Sin(90°－A) = ___________ Cos(90°－A) = ___________ tg (90°－A) = ___________ Ctg(90°－A) = ___________. 4. 同角三角函数关系公式：（∠A 为锐角）. （1）Sin 2 A + Cos2 A = ___________; Cos2 A = ___________, Sin2 A = ____________. 【学法指要】 例 1. 如果∠A 为锐角，CosA= 1 4 ，那么（ ） A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45° C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90° 三角 函 角度 数 三角函数 值
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 思路分析: 1 1 CosA=,0=Cos90° 当角度在0°~90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减少)而减小(或增大) ∴60°Cosx> tg x B. tgx> cos x> Sin x Sin x> tg x D. tg x> Sin x>Cos x 思路分析 取A CosX= Cos60%= 1gX=1g60=√3 > tg x> Sin x> Cos x 解选择题,采取特例法可出奇制胜,如本例取x=60°在45°<ⅹ<90°的范围内,很 快可知Sin60°,Cos60°,tg60°的值,谁大谁小,相形见绌.因之,在解决有关选择题 时,根据题目的限制条件,灵活选取特殊值(也可画特殊图形,特殊点,特殊位置,特殊线 等),可巧夺天工 例3.计算:(√7-Sm36°) Cos30°g60°Sm30°-Cos45°1.Cg4 Cos60°+Siw4s+( Sin600g300 思咯分析:若a≠0时,a°=1 Sin36°≠0 (√7-Sm36°)=1 对此项中的Sin36°是一项干扰支.迷惑同学们,因为Sin36°,不是表内特殊值,求不 出来,至使解题陷入僵局,其实不然.不需要求Sin36°之值,只需要知道∵√7-Sin36°≠0 即可.因而,解题时,必须善于排除干扰支,解除困惑,准确使用数学概念,正确求出答案, 对于特殊角三角函数值的计算,一.要准确无误代入三角函数值:二要按照实数的运算法 则进行运算:三.运算的结果必须是最简关系式.于是对上式便一目了然了 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 思路分析： CosA Cos CosA Cos = = = = 1 4 1 2 60 1 4 0 90 , 当角度在 0°~ 90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）. ∴ 60° Cos x > tg x B. tg x > Cos x > Sin x C. Cos x > Sin x > tg x D. tg x > Sin x > Cos x 思路分析： ∵ 45° Sin x > Cos x ∴ 应选 D 解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取 x = 60°在 45°< x < 90°的范围内，很 快可知 Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值，谁大谁小，相形见绌. 因之，在解决有关选择题 时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线 等），可巧夺天工. 例 3. 计算： ( 7 36 ) ( ) 30 60 60 45 30 45 60 30 45 0 1 − + + − − Sin Cos tg Cos Sin Sin Cos Sin tg Ctg 思咯分析：若 a≠0 时 , a 0 = 1 7 36 0 7 36 1 0 − Sin ( − Sin ) = 对此项中的 Sin36°是一项干扰支. 迷惑同学们，因为 Sin36°，不是表内特殊值，求不 出来，至使解题陷入僵局，其实不然. 不需要求 Sin36°之值，只需要知道 7 − Sin36 0 即可. 因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案， 对于特殊角三角函数值的计算，一. 要准确无误代入三角函数值；二. 要按照实数的运算法 则进行运算；三. 运算的结果必须是最简关系式. 于 是对上式便一目了然了
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 1√3 原式= (1-√2) =3(√2-1) 3√2-3-1-√2 2√2-4 例4.已知方程3x2-43x+3k=0的两根为tg0,ctg0,求k和0,(0为锐角) 思路分析:∵tg0,ctg0为二次方程3x2-4√3x+3k=0的二根,根据与系数关系式, e6+c8、4√3 gb·cgb=K ∴原方程为3x2-43x+3=0 即tg 3·ctg0=√3或tg0= ctg 锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系,各种知识交织在一起,因而必须把综 合知识进行剖析,分解,然后各个击破,便可打通思路.如本例,首先运用二次方程的有关 知识——根与系数关系;再运用锐角三角函数的倒数关系求出K,又回到解一元二次方程来 解出二根,从中求出tgθ,ctgθ之值,再求出对应的θ之值,总之,善于剖析,化整为零, 个一个解决,对复杂的综合题便可攻破了 例5.在△ABC中,三边之比a:b:c=1:√3:2,则sinA+tgA等于( 3+2 1+2√3 6 3+1 思路分析 可设a=k,b=√3k,c=2k(k>0) a2+b2=k2+(√3k) ∴△ABC是直角三角形,且∠C=90° 根据三角函数定义,可知 a k k√3 , b√3k-3 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 原式 = + + − = + + − = − + − = − − − = − − − 1 3 2 3 1 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 3 1 3 2 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 2 3 1 2 2 2 4 1 1 ( ) ( ) 例 4. 已知方程 3 4 3 3 0 2 x − x + k = 的两根为 tgθ, ctgθ,求 k 和θ，（θ为锐角） 思路分析：∵tgθ, ctgθ为二次方程 3 4 3 3 0 2 x − x + k = 的二根，根据与系数关系式， 得 tg ctg tg ctg K + = = 4 3 3 ∵tgθ· ctgθ=1 ∴k = 1 ∴原方程为 3 4 3 3 0 2 x − x + = x1 = x2 = 3 3 , 3 即 tgθ= 3 3 , ctgθ= 3 或 tgθ= 3 , ctg = 3 3 故θ1=30° θ2 = 60° 锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综 合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关 知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求 出 K，又回到解一元二次方程来， 解出二根，从中求出 tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零， 一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了. 例 5. 在△ABC 中，三边之比 a：b：c = 1： 3 ：2，则 SinA + tgA 等于（ ） A. 3 2 3 6 + B. 1 2 3 2 + C. 3 3 2 D. 3 1 2 + 思路分析：∵ a：b：c = 1： 3 ：2 ∴ 可设 a = k, b = 3 k , c = 2k ( k > 0 ) ∴a 2 + b2 = k2 + ( 3 k)2 = 4k2 = (2k)2 = c 2 ∴ △ABC 是直角三角形，且∠C= 90° 根据三角函数定义，可知： SinA a c k k tgA a b k k = = = = = = 2 1 2 3 3 3
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com ∵.△ABC是直角三角形,且∠C=90° 根据三角函数定义,可知 k√3 Sina c 2k 2 ,2g sina t tg a 1√33+2√3 应选(A) 对于题设是以连比形式出现的,通常都是增设参数K,将未知转化已知,使问题明朗化 进而再研究三角形三边的关系,从而判定为直角三角形,又转化为锐角三角函数问题,找 到思路,这是解决此类问题的常用方法,而且又比较方便,请同学们今后遇到此类问题,可 小试“牛刀 【思维体操】 例1.已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高,在△ADB及△ADC中分别作内接正方形,使 每个正方形有两条边分别在DB,DA及DC,DA上,而两个正方形的第四个顶点E,F各在AB, AC上,求证:AE=AF 揭示思路1:设∠ABC=a.正方形EMXG与正方 形DNFH的边长分别为a,b AD=AH+DH=b·Ctga+b b ctg a +b b(1+ctga) bctga(1+ctga) +iga Ah Ae= AF= cosa cosa cosa ∵AE=AF 揭示思路2: 设BC=a,且∠ABC 则有 ab a cos a AB= AE+BE=AE+E4 EG ae Sina Sina AE cosa Ae+ cosa a cosa= AE(I+ Ae AE= asina. cosa 同理:AF sin a cosa 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴△ABC 是直角三角形，且∠C= 90° 根据三角函数定义，可知： SinA a c k k tgA a b k k = = = = = = 2 1 2 3 3 3 , ∴SinA + tg A = + = 1 + 2 3 3 3 2 3 6 ∴ 应选（A） 对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数 K，将未知转化已知，使问题明朗化， 进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角 形，又转化为锐角三角函数问题，找 到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可 小试“牛刀”. 【思维体操】 例 1. 已知 AD 是直角△ABC 的斜边 BC 上的高，在△ADB 及△ADC 中分别作内接正方形，使 每个正方形有两条边分别在 DB，DA 及 DC，DA 上，而两个正方形的第四个顶点 E，F 各在 AB， AC 上，求证：AE= AF. 揭示思路 1：设∠ABC= α. 正方形 EMDG 与正方 形 DNFH 的边长分别为 a , b ∵AD = AG + DG = a·tgα + a AD = AH + DH = b·Ctgα+b ∴a tgα + a = b ctgα+b ∴ a b ctg tg bctg ctg ctg = + + = + + (1 ) ( ) 1 1 1 = b·ctgα= AH. AE a AF AH a = = = cos , cos cos ∴AE = AF 揭示思路 2： 设 BC = a , 且∠ABC=α，则有 AB = a cosα AB AE BE AE EM Sin AE EG Sin AE AE Sin = + = + = + = + cos = + = + a AE AE cos ( cos sin ) sin cos sin 1 = + AE a sin cos sin cos 同理： AF a = + sin cos sin cos ∴AE = AF
免费下载网址htp: 1aoxuesu yS 由上两种思路证得AE=AF,可发现用三角法研究几何问题,开门见山,直截了当,只 要所给定的几何图形中有直角三角形.便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式,再 应用代数法计算一下,便可达到目的.题设所给的问题中,未有给定直角三角形,只要能构 造出直角三角形,同样也可转化为用三角法证解之,而且也比较方便,由此可见,用三角法 证(解)几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道.为数与形结合提供了新的条件,我们应 在这条新渠道不断探索,取得新的成果.现沿这思路继续扩散. 扩散 如图,Rt△ABC中,有正方形DEFG,D,G分别在 AB,AC上,E,F在斜边BC上,求证:EF2=BE·FC 揭示思路:从题设及图形中都可发现有直角三角 形,所以用三角法证之比较顺畅. DE 在Rt△BDE中,tgB= BE 在Rt△GFC中, tgC GF ∠B+∠C=90°,∴tgB=tg(90°-C)=ctgC DE GF EE'CF=gBgC=cgC·gC=1 ∵DE=GF=EF EF2=BE·C 扩散 在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN,过D,E向BC作垂线DF,EG,垂足分别为F,G, 求证:BC=DF+EG 提示思路:观察图形可发现直角三角形DFB 及直角三角形EGC.便萌生用三角法证明,可是此 时DF,EG比较分散.设法作AH⊥BC再构两个直 角三角形,通过正方形为“媒介”,这样把DF, EG就有了联系.此时,应用锐角三角函数定义建 立边角关系,便可马到成功 EG 在Rt△BC中,Sm(90-B)=b ∴EG=bcosβ 在Rt△DBF中,同理,DF= c cos d(设b,c,a,B如图) EG dF = b Cos b c cos 在Rt△ABH中,BH= c cos d 在Rt△ACH中,CH= b cos B ∵BC=BH+CH,∴BC= b cos B+ c cos d 扩散 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 由上两种思路证得 AE= AF， 可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只 要所给定的几何图形中有直角三角形. 便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再 应用代数法计算一下，便可达到目的. 题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构 造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法 证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件，我们应 在这条新渠道不断探索，取得新的成果. 现沿这思路继续扩散. 扩散一： 如图，Rt△ABC 中，有正方形 DEFG，D，G 分别在 AB，AC 上，E，F 在斜边 BC 上，求证：EF2 = BE·FC 揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角 形，所以用三角法证之比较顺畅. 在 Rt△BDE 中， tgB DE BE = 在 Rt△GFC 中， tgC GF CF = ∵∠B + ∠C =90°，∴tgB = tg(90°－ C) = ctgC ∴ DE BE GF CF = tgB tgC = ctgCtgC = 1 ∵DE = GF = EF ∴EF2 = BE·CF 扩散二： 在△ABC 外侧作正方形 ABDM 和 ACEN， 过 D，E 向 BC 作垂线 DF，EG，垂足分别为 F，G， 求证：BC = DF + EG 提示思路：观察图形可发现直角三角形 DFB 及直角三角形 EGC. 便萌生用三角法证明，可是此 时 DF，EG 比较分散. 设法作 AH⊥BC 再构两个直 角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把 DF， EG 就有了联系. 此时，应用锐角三角函数定义建 立边角关系，便可马到成功！ 在 Rt△EGC 中， Sin EG b (90−) = ∴EG = b cosβ 在 Rt△DBF 中，同理，DF = c cosα（设 b, c , α,β如图） ∴EG + DF = b Cosβ + c cosα 在 Rt△ABH 中，BH = c cosα 在 Rt△ACH 中，CH = b cosβ ∵BC = BH + CH , ∴BC = b cosβ + c cosα ∴BC = EG + DF 扩散三：
免费下载网址ht 1aoxuesu y 设顶角A=108°的等腰三角形的高为 h,∠A的三等分线及其外角的四等分线分别 为P,P,求证:1+ P2+P2 揭示思路:从图形中可发现有几个直 角三角形存在,这个信息向我们提供用三角 法证明是得天独厚的条件,不要犹豫,不然 将会失去良机 如图,设△ABC的底边上的高A=h,∠A的三等分线AD=P1,∠A的外角四等线AE P2,∠BAC=108°,AB=AC, ∠DAH=18 在Rt△ADH中,cosl8°sh PI ∴∠CAE=(180°-108°)=18° ∠ACB==(180°-108°)=36° ∠AEC=18 在R△AE中,Sin8=h p2 h2 h P2 扩散四: 已知:如∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为D、E、F. AB BE 求证:3 揭示思路:本例直角三角形之多,用三角法 证之更不宜迟,用锐角三角函数定义,列出边角 关系,可十分巧妙就证得结论 设∠ABC=a,则∠DAF=∠CDF=a BE DE BE=DE·cga CF ga=DF→GF=DF 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 设顶角 A = 108°的等腰三角形的高为 h，∠A 的三等分线及其外角的四等分线分别 为 P1，P2，求证： 1 1 1 1 2 2 2 2 P P h + = . 揭示思路： 从图形中可发现有几个直 角三角形存在，这个信息向我们提供用三角 法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然， 将会失去良机. 如图，设△ABC 的底边上的高 AH = h , ∠A 的三等分线 AD= P1， ∠A 的外角四等线 AE = P2，∠BAC= 108°，AB = AC， ∴∠DAH = 18° 在 Rt△ADH 中，cos18°= h p1 ∵ ∠CAE = 1 4 (180°－108°)= 18° ∠ACB = 1 2 (180°－108°)= 36° ∴∠AEC = 18° 在 Rt△AHE 中，Sin18°= h p2 + = + = + = h p h P P P h 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 18 18 1 1 1 1 cos sin 扩散四： 已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为 D、E、F. 求证： AB AC BE CF 3 3 = 揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法 证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角 关系，可十分巧妙就证得结论. 设∠ABC = α，则∠DAF = ∠CDF= α ctg BE DE BE DE ctg tg CF DF CF DF tg = = = =
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com BE DE ctga DE cf dF tga DFCig'al Be AF DE CE=Ctg a CIga= DE-DE (AF=DE) AbAB Ctga-AC AC Cig a AB BE AC CF 扩散五: 在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于E,交OB 于F,求证:EC=20F 揭示思路:观察图形,图中有许多直角三角形,它 启示我们用三角法作为“向导”,可直达目的地 ∠BEF=∠ACB+∠EAC=45°+∠BAE ∠BFE=∠CAE,∴∠BEF=∠BFE 进而可知AD=DF 设正方表ABCD边长为1,又设∠BAE=∠CAE=a 则OA=0B 在Rt△ABE中,BE=AB·tga=BF BF=OB-CF=OB-OA·tga g Ab+OA OF=OA·tga (√2-1) EC=BC-BE=1.-1·tga=1-√2+1=2-√2=√2(√2-1) ∴EC=20F 应用锐角三角函数的定义研究几何问题;直观,又少添或不添设辅助线,充分发挥数的 长处.把几何问题通过锐角三角形边角关系,应用计算法,便可曲径通幽,柳暗花明.同学 们应加强这方面的学习,以拓宽几何证题思路 三、智能显示 【动脑动手】 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,则SinB+CosB的值() (A)大于 (B)小于1 (C)等于1 (D)不确定 2.在△ABC中,它的边角同时满足下列两个条件:(1)SinC=1:(2)SinA,CosB是方 程4x2-cx+1=0的两个根,求a,b,c及S△AC 3.证明:“从平行四边形ABCD的顶点A,B,C,D向形外的任意直线MN引垂线AA′BB 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com = = = = = = = = = BE CF DE DF ctg tg DE DF Ctg Ctg AF DF DE DF AF DE BE CF Ctg Ctg AB AC AB AC Ctg AB AC BE CF 2 3 3 3 3 3 3 ( ) 扩散五： 在正方形 ABCD 中，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E，交 OB 于 F，求证：EC = 20F 揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它 启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地. ∠BEF = ∠ACB + ∠EAC = 45°+∠BAE ∵∠BFE= ∠CAE, ∴∠BEF = ∠BFE, ∴BE = BF 进而可知 AD = DF 设正方表 ABCD 边长为 1，又设∠BAE = ∠CAE =α 则 OA= OB = 2 2 在 Rt△ABE 中，BE = AB·tgα= BF BF = OB－OF = OB － OA·tgα ∴ABtgα= OB － OAtgα = + = + tg = − OB AB OA 2 2 1 2 2 2 1 ∴OF = OA·tgα= 2 2 ( 2 －1) EC= BC－BE = 1－1·tgα= 1－ 2 +1 = 2 － 2 = 2 ( 2 －1) ∴EC = 20F 应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的 长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明. 同学 们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路. 三、智能显示 【动脑动手】 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 SinB + CosB 的值（ ） （A）大于 1 （B）小于 1 （C）等于 1 （D）不确定 2. 在△ABC 中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB 是方 程 4x2－cx + 1 = 0 的两个根，求 a，b，c 及 S△ABC 3.证明：“从平行四边形 ABCD 的顶点 A，B，C，D 向形外的任意直线 MN 引垂线 AA＇BB＇
免费下载网址ht 1aoxuesu y CC′DD′垂足是A′B′C′D′(如下图) 求证:AA'′+CC′=B′+D′,现将直线NN向上移动,使得A点在直线的一侧,B、 C、D三点在直线的另一侧(如中图),这时,从A、B、C、D向直线MN作垂线,垂足为A′ B′C′D′,那么垂线放A′B′CC′DD′之间存在什么关系?如将直线N再问上移动, 使两侧各有两个顶点(如下图).从A,B,C,D向直线MN作的垂线放AA′BB′CC′DD 之间又有什么关系?根据左图,中图,右图写出你的猜想,并加以证明 揭示思路:1.在Rt△ABC中,∠C=90° 由锐角三角函数定义,得 b sinb= CosB b aa+b Sinb+CosB=-+ ∵a+b>c SmB+CD、a+b ∴SinB+CosB>1,应选A. 2.∵SinC=1,∴∠C 'Sina t cosB SinA cosb 又A+B=90 ∵.B=90°-A SinA·CoB=Sin2A= 4,A=30 2,b=2√3 3.猜想如下: 对于中图有:CC′一AA 对于右图有:C 证法1.如图,设∠AEA′=a,则AA′= AESin a (OA-0E)Sina= OASin a- RESin a,又CC′= RESin A′=20 eSin a ∵00′=0 ESin a,∴CC′-AA′=200 由题设知,00’为梯形BB’D’D的中位线 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com CC＇DD＇垂足是 A＇B＇C＇D＇（如下图） 求证：AA＇ + CC＇=BB＇ + DD＇，现将直线 MN 向上移动，使得 A 点在直线的一侧，B、 C、D 三点在直线的另一侧（如中图），这时，从 A、B、C、D 向直线 MN 作垂线，垂足为 A＇ B＇C＇D＇，那么垂线放 AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？如将直线 MN 再问上移动， 使两侧各有两个顶点（如下图）. 从 A，B，C，D 向直线 MN 作的垂线放 AA＇BB＇CC＇DD＇ 之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明. 揭示思路：1. 在 Rt△ABC 中，∠C= 90° 由锐角三角函数定义，得 SinB b c CosB a c = , = + = + = + SinB CosB b c a c a b c ∵a + b > c + = + SinB CosB = a b c c c 1 ∴SinB + CosB > 1 , 应选 A. 2. ∵SinC = 1 , ∴∠C = 90° ∵SinA + CosB = c 4 ,SinA CosB = 1 4 又 A + B = 90°, ∴B = 90°－A ∴CosB = Cos(90°－A ) = SinA + = = = = SinA CosB SinA c SinA CosB Sin A 2 4 1 4 2 ∴c = 4 , A= 30°, a = 2 , b = 2 3 3. 猜想如下： 对于中图有：CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇ 对于右图有：CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇ 证法 1. 如图,设∠AEA＇= α,则 AA＇= AESinα= (OA－OE)Sinα= OASinα－OESinα，又 CC＇= CESin α= (OC + OE ) Sinα= (OA + OE ) Sinα = OASin α+ OESinα ∴CC＇－ AA＇= 2OESinα ∵OO＇= OESinα, ∴CC＇－ AA＇= 2OO＇ 由题设知，OO’为梯形 BB’D’D 的中位线
免费下载网址ht:/Jiaoxie5uy168.com 200 2)如图,仿(1)证法可得 DD′一BB=20 FSin e OESin a= OFSin B 证法二:(1)延长CB交MN于E,设AD 与M交于F,又设∠AFA′=a,则∠BEB′ =a,在Rt△EB′中, BB Sine ,BB′=BES 在Rt△ECC!中,Sina、CC ∵CC 在Rt△AA′F与Rt△FD′中 AA′= ASIna D′= DESin a AD=BC,∴CC′-BB′=DD′+AA′ (2)仿证法(1)同样可证得 CC′+BB′= BCSin a CC′-AA′=DD′-BB 证法三:(1)如图,作DE⊥CC′,则DD′C′E 为矩形,∴CE=CC′一DD CE CC-DD 设∠AFA′=a,则易知∠CDE=a在Rt△CDE中,5CDCD 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴BB＇+ DD＇= 2OO＇ ∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇ （2）如图，仿（1）证法可得 CC＇－ AA＇= 2OESinα DD＇－BB = 2OFSinβ ∵OESinα= OFSinβ, ∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇ 证法二：（1）延长 CB 交 MN 于 E，设 AD 与 MN 交于 F， 又设∠AFA＇= α，则∠BEB＇ = α，在 Rt△EBB＇中， Sin BB BE = ' ∵BE= CE－ CB ∴BB＇= BESinα－ CBSinα 在 R t△ECC＇中，Sinα= CC CE ' , ∴CC’= CESinα ∵CC＇－ BB＇= BCSinα 在 Rt△AA＇F 与 Rt△FDD＇中. AA＇= AFSinα, DD＇= DFSinα ∵DF= AD － AF ∴DD＇= ADSinα－ AFSinA＇ ∴DD＇= ADSinα－ AA＇ ∴DD＇+ AA＇= ADSinα ∵AD= BC, ∴CC＇－ BB＇= DD＇+ AA＇ ∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇ （2）仿证法（1）同样可证得 CC＇+ BB＇= BCSinα AA＇+ DD＇= ADSinα ∴CC＇+ BB＇= AA＇+DD＇， ∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇ 证法三：（1）如图，作 DE⊥CC＇， 则 DD＇C＇E 为矩形，∴CE= CC＇－ DD＇ 设∠AFA＇= α， 则易知∠CDE= α 在 Rt△CDE 中， Sin CE CD CC DD CD = = '−