免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 22.4圆周角 教学目的 使学生正确理解圆周角的概念 2.掌握圆周角定理及其证明的思路 3.通过圆周角定理的证明,使学生了解分情况证明数学命题和“转化”的思想和方法 教学重点和难点 重点:圆周角的概念和圆周角定理 难点:对圆周角定理证明中所使用的转化方法的理解和掌握 教学过程 、复习提问 1.什么叫圆心角.强调顶点在圆心的角的两边一定和圆相交 2.叙述圆心角定理的内容 二、引入新课 如果把圆心角的顶点移动,就不再是圆心角了.当角的顶点移动到圆上时,如图7—92 中,∠B1AC1的顶点在圆上,两边都不和圆相交;∠BAC的顶点在圆上,只有一边和圆相交 ∠B2AC2顶点在圆上,两边都和圆相交,我们把顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆 周角.(写出课题) 三、新课 1.圆周角的定义顶点在圆上并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角 从定义可知圆周角具备两个特征:一是顶点在圆上,二是两边都和圆相交 观察图7—93中,哪些角是圆周角 1) 2 B4(4) 图7-93 圆(1),(2)中的∠B1AC1和∠B2AC2不是圆周角,因为它们的顶点不在圆上(一个顶点在 圆内,一个顶点在圆外):图(3)中的∠B3AC3、∠CAD3、∠B3AD3都是圆周角,它们的顶点 都在圆上,并且两边都和圆相交;图(4)中的∠BAD、∠DAC4都不是圆周角,因为它们的 顶点虽在圆上,但它们的两边中至少有一边不和圆相交 2.圆周角定理 圆心角和圆周角都是和圆有关的角,圆心角的度数等于它所对弧的度数,圆周角的度数 与它所对弧的度数有什么关系呢?圆周角与圆心角之间有什么关系呢? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 22.4 圆周角 教学目的 1.使学生正确理解圆周角的概念. 2.掌握圆周角定理及其证明的思路. 3.通过圆周角定理的证明,使学生了解分情况证明数学命题和“转化”的思想和方法. 教学重点和难点 重点:圆周角的概念和圆周角定理. 难点:对圆周角定理证明中所使用的转化方法的理解和掌握. 教学过程 一、复习提问 1.什么叫圆心角. 强调顶点在圆心的角的两边一定和圆相交. 2.叙述圆心角定理的内容. 二、引入新课 如果把圆心角的顶点移动,就不再是圆心角了.当 角的顶点移动到圆上时,如图 7—92 中,∠B1AC1 的顶点在圆上,两边都不和圆相交;∠B2AC1 的顶点在圆上,只有一边和圆相交; ∠B2AC2 顶点在圆上,两边都和圆相交,我们把顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆 周角.(写出课题) 三、新课 1.圆周角的定义顶点在圆上并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角. 从定义可知圆周角具备两个特征:一是顶点在圆上,二是两边都和圆相交. 观察图 7—93 中,哪些角是圆周角. 圆(1),(2)中的∠B1A 1C1 和∠B2A2C2 不是圆周角,因为它们的顶点不在圆上(一个顶点在 圆内,一个顶点在圆外);图(3)中的∠B3A3C3、∠C3A3D3、∠B 3A3D3 都是圆周角,它们的顶点 都在圆上,并且两边都和圆相交;图(4)中的∠B4A4D4、∠D4A4C4 都不是圆周角,因为它们的 顶点虽在圆上,但它们的两边中至少有一边不和圆相交. 2.圆周角定理 圆心角和圆周角都是和圆有关的角,圆心角的度数等于它所对弧的度数,圆周角的度数 与它所对弧的度数有什么关系呢?圆周角与圆心角之间有什么关系呢?
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 观察图7-94中,∠BAC、∠BAC、∠BA2C都是BC所对的圆周角,BC所对的圆心角是∠ BC.其中∠BAC与∠BOC关系很容易发现,因为0点在边AB上,∠BOC是△OAC的外角, 又因为 可知 所以 ∠BAC=-∠BOC.事实上,这种倍半关系具有一般性.这就是今天我们要讲的圆 周角定理.(写出定理) 图7 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知:在⊙0中,BC所对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC.求 证明:分三种情况讨论 证:∠BAC=∠BOC 2 (1)如图7-95(1)中,圆心。0在∠BAC OA=OC→∠C=∠BAC ∠BAC=∠BOC ∠BOC=∠BAC+∠C (2)如图7-95(2)中,圆心0在∠BAC的内部. 作直径AD,由(1)可知, 7-95 ∠DAC=-∠DOC →∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC) →∠BAC=∠B (3)如图7-95(3)中,圆心0在∠BAC的外部 作直径AD,由(1)可知 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 观察图 7—94 中,∠BAC、∠BA1C、∠BA2C 都是 BC 所对的圆周角,BC 所对的圆心角是∠ BOC.其中∠BAC 与∠BOC 关系很容易发现,因为 O 点在边 AB 上,∠BOC 是△ OAC 的外角, 又因为 OA=OC , 可 知 ∠ BAC= ∠ ACO ,所以 周角定理.(写出定理) 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知:在⊙O 中, 所对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC.求 证明:分三种情况讨论. (1) 如 图 7 — 95(1 ) 中,圆心 O 在 ∠ BAC 一 边 上. (2)如图 7—95(2)中,圆心 O 在∠BAC 的内部. 作直径 AD,由(1)可知, (3)如图 7—95(3)中,圆心 O 在∠BAC 的外部. 作直径 AD,由(1)可知
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ BAD=-∠BOD ∠DAC=∠DOC →∠DAC-∠BAD=(∠DOC-∠BOD) BAC=∠BOC 总结:定理证明用的是“分类讨论”方法.先证明圆心在圆周角的边上这种特殊情况, 再证明圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部的情况.对后两种情况,是通过添加辅 助线——作过圆周角顶点的直径.转化成已证过的特殊情况加以解决.这种“转化”思想方 法是一种重要的数学思想方法.解题时我们总是把复杂问题转化成简单问题,把一般情况转 比成特殊情况,把未知问题转化成已知问题.如平行四边形的面积问题,是转比成矩形的面 积问题解决的:三角形面积问题是转化成平行四边形的面积问题解决的.学习圆周角定理, 不仅要掌握定理的内容,还要重视对定理证明过程中所使用的“分类讨论”和“转化”方法 的理解.在今后的学习中和解决数学问题时,应逐步学会运用这些方法 圆周角定理表明了圆心角和圆周角之间的倍半关系.因为“圆心角的度数和它所对弧的 度数相等”,可以推知 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 图7-96 例1如图7—96、0A、OB、OC都是⊙0的半径,∠AOB=2∠BOC 求证:∠ACB=2∠BAC. 证明:由OA、OB、OC都是⊙0的半径可知, ∠ACB=∠AOB ∠BAC=∠BcP→∠ACB=∠BAC 又∠AOB=2∠BOC 图7-97 例2如图7—97,已知:⊙0是△ABC的外接圆,∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AO 解:∵⊙0是△ABC的外接圆 ∵.∠A、∠B、∠C是圆周角,∠AOB是圆心角 又∵∠BAC=50°,∠ABC=47°, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 总结:定理证明用的是“分类讨论”方法.先证明圆心在圆周角的边上这种特殊情况, 再证明圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部的情况.对后两种情 况,是通过添加辅 助线——作过圆周角顶点的直径.转化成已证过的特殊情况加以解决.这种“转化”思想方 法是一种重要的数学思想方法.解题时我们总是把复杂问题转化成简单问题,把一般情况转 比成特殊情况,把未知问题转化成已知问题.如平行四边形的面积问题,是转比成矩形的面 积问题解决的;三角形面积问题是转化成平行四边形的面积问题解决的.学习圆周角定理, 不仅要掌握定理的内容,还要重视对定理证明过程中所使用的“分类讨论”和“转化”方法 的理解.在今后的学习中和解决数学问题时,应逐步学会运用这些方法. 圆周角定理表明了圆心角和圆周角之间的倍半关系.因为“圆心角的度数和它所对弧的 度数相等”,可以推知: 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 例 1 如图 7—96、OA、OB、OC 都是⊙O 的半径,∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC. 证明:由 OA、OB、OC 都是⊙O 的半径可知, 例 2 如图7—97,已知:⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB. 解:∵⊙O 是△ABC 的外接圆 ∴∠A、∠B、∠C 是圆周角,∠AOB 是圆心角. 又∵∠BAC=50°,∠ABC=47°
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∠ACB=180°-(∠A+∠B) =180°-(50°+47°)=83° 由圆周角定理可知,∠ACB=∠AOB ∠AOB=2∠ACB=2×83°=16 四、小结 强调要正确理解圆周角的概念,掌握圆周角定理及其证明的思路 说明圆周角定理也可以理解成:“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍.” 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B) =180°-(50°+47°)=83°. ∠AOB=2∠ACB=2×83°=166°. 四、小结 强调要正确理解圆周角的概念,掌握圆周角定理及其证明的思路. 说明圆周角定理也可以理解成:“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍.