上海交通大学：《系统模型、分析与控制 Modeling、Analysis and Control》课程教学资源[12]期中考试2013 -答案

1.(10分) 分别求图1(a)和图1(b)所示系统的稳态误差。 nt)=1(t) r(t)=0 20 10 c(n) (S-10(s+2) S 图1a n(t)=t r(t)=1 10 c(t) 20 (S+10)(s+2) 2.图1b 1.解答 (a)有外界扰动引起的系统框图变为 n(t)=1(t) 10 c(t) 20 (S+10)(s+2) Cn(s) 10(s-10(s+2) (1分) N(s)）sS-10(s+2)+200

1. （10 分） 分别求图 1(a)和图 1(b)所示系统的稳态误差。 图 1a 2. 图 1b 1. 解答 （a）有外界扰动引起的系统框图变为 ( 10)( 2) 200 10( 10)( 2) ( ) ( )       s s s s s N s s n C （1 分） s 10 n(t) 1(t) c(t) ( 10)( 2) 20 s  s  ＋ c(t) s 10 n(t) t r(t) 1 ( 10)( 2) 20 s  s  ＋ ( 10)( 2) 20 s  s  s 10 n(t) 1(t) r(t) 0 c(t)

特征方程为5(5-10(5+2)+200=S3-82-205+200=0 (1分) 根据劳斯判据，系统不稳定，所以稳态误差为○ (2分) (b) 因为系统是线性稳定的，所以分别求扰动和参考输入引起的稳态误差。 由外界扰动引起的系统框图变为 n(t)=t c(t) 20 (S+10(S+2) 10 C,(s) 20s N(s)s(s+10)(s+2)+200 则Cn(o)=limsC(s)=s 20s =0.1 s(s+10)(s+2)+20032 en(∞)=0-0.1=-0.1 (3分) 针对参考输入r(t)的误差传递函数为 E,(S)_ss+10(s+2) R(s)s(S+10)(S+2)+200 则e,四-。5周80Y2m片0 S>0 (或者根据开环传递函数，判别为I型系统，针对阶跃信号的输入，稳态误差为 0) (2分) 所以总的稳态误差es=en(o)+e,（o)=0.1+0=-0.1 (1分) (B卷为第2题答案：(a)与(b)的结果互换) 2.（10分)针对图2的方框图，画出对应的信号流图(3分)，计算该系统的传

特征方程为 20 200 0 2 8 3 s(s10)(s2)200 s  s  s  （1 分） 根据劳斯判据，系统不稳定，所以稳态误差为  （2 分） （b） 因为系统是线性稳定的，所以分别求扰动和参考输入引起的稳态误差。 由外界扰动引起的系统框图变为 ( ) 20 ( ) ( 10)( 2) 200 C s n s N s s s s     则 2 0 20 1 ( ) lim ( ) 0.1 ( 10)( 2) 200 n n s s C sC s s  s s s s        () 00.1 0.1 n e （3 分） 针对参考输入 r(t)的误差传递函数为 ( 10)( 2) 200 ( 10)( 2) ( ) ( )       s s s s s s R s s r E 则 0 1 ( 10)( 2) 200 ( 10)( 2) 0 ( ) lim ( )           s s s s s s s s s s r e E s r (或者根据开环传递函数，判别为 I 型系统，针对阶跃信号的输入，稳态误差为 0) （2 分） 所以总的稳态误差  () () 0.100.1 r e n e ss e （1 分） (B 卷为第 2 题答案：（a）与（b）的结果互换) 2. （10 分）针对图 2 的方框图，画出对应的信号流图（3 分），计算该系统的传 c(t) s 10 n(t) t ( 10)( 2) 20 s  s 

递函数(7分) H4(s) R(s) C(s) G(s) C(s) G(s) G(s) H,(s) H2(s) H,(s) 图2 2.解答 根据所给的方框图画出信号流图，如下图所示： H R(S) G G G4 1C(S) 0 H H 3分) 根据信号流图，利用Mason公式得到回路的传递函数为： L=G,GH L=-GGH L=-GG2GH2 L=GGGG,H3 (3分) 所有回路均相接触，有一条前向通路为 P=GGGGa △1=1 (1分) 所以特征式 A=1-G,GH+GGHa+GGGH2-GG2GGaHs (1分) 应用Mason公式，可得系统的传递函数为 C(s)PA R(s）△

递函数（7 分） ( ) 1 G s ( ) 2 G s ( ) 3 G s ( ) 4 G s ( ) 1 H s ( ) 2 H s ( ) 3 H s ( ) 4 H s R(s) C(s)         图 2 2.解答 根据所给的方框图画出信号流图，如下图所示： (3 分) 根据信号流图，利用 Mason 公式得到回路的传递函数为： L G G H 1 2 3 1  L G G H 2 3 4 4   L G G G H 3 1 2 3 2   L G G G G H 4 1 2 3 4 3  （3 分） 所有回路均相接触，有一条前向通路为 P G G G G 1 1 2 3 4  1  1 （1 分） 所以特征式 2 3 1 3 4 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3       1 G G H G G H G G G H G G G G H （1 分） 应用 Mason 公式，可得系统的传递函数为 1 1 ( ) ( ) C s P R s   

C(s) GG,G.Gx R(s)1-G,G,Hj+GG,H3+GG2GH2-GG2G,GH3 (2分) (B卷为第1题答案：H,与H4的互换，结果为 C(s) GG,G,Ga R(s) 1-GG H+GG H3+GG2G,H2-GG2G,GHa 3.(10分)某系统的传递函数为C--10 该系统可以由三种放大器 Rs)s(0.1s+1) 电路串联实现。这三种电路分别为比例环节、积分环节和惯性环节。请从下列 四幅图中选出这三个环节(2分)。分别计算下列四幅图的传递函数(4分)。如 果R=102,请计算R2,C,C2的值是多少(4分)。 (a c (d) 解答 四个图对应的传递函数分别为： (a)G)=-G=-日G=-& 1 R RCs R RC2s+1 (d)G(s)=- RCs+1 (4分) RCs (B卷答案：(c)与(@的传递函数互换，其它一致。) (a)为比例环节；(b)积分环节；(c)惯性环节 (2分)

1 2 3 4 2 3 1 3 4 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3 ( ) ( ) 1 C s G G G G R s G G H G G H G G G H G G G G H      （2 分） (B 卷为第 1 题答案：H3 与 H4 的互换，结果为 2 3 1 3 4 3 1 2 3 2 1 2 3 4 4 1 2 3 4 ( ) 1 ( ) G G H G G H G G G H G G G G H G G G G R s C s      3. （10 分） 某系统的传递函数为 s(0.1s 1) -10   R(s) C(s) ，该系统可以由三种放大器 电路串联实现。这三种电路分别为比例环节、积分环节和惯性环节。请从下列 四幅图中选出这三个环节（2 分）。分别计算下列四幅图的传递函数（4 分）。如 果 R1 10 ，请计算 2 1 2 R ,C ,C 的值是多少（4 分）。 R1 R1 R2 R1 R1 C1 (a) (b) R1 R1 C2 R2 R1 R1 R2 C1 (c) (d) 解答 四个图对应的传递函数分别为： （a） 2 1 1 ( ) R G s R   (b) 2 1 1 1 G s( ) R C s   (c) 2 3 1 2 2 1 ( ) 1 R G s R R C s    (d) 2 1 4 1 1 1 ( ) R C s G s R C s    （4 分） (B 卷答案：(c)与(d)的传递函数互换，其它一致。) (a)为比例环节；（b）积分环节；（c）惯性环节 (2 分)

(B卷答案：(d为惯性环节，其它一致) 欲使、飞2 1 -10 R2 RC s(R,C2s+1)s(0.1s+1) 则须飞1 =10 RC2=0.1 R2 RC 若取R=R=10k2 则C=10uFC2=10uF (4分) 注意：有很多组解，仔细检查结果是否合理。 (B卷答案一致) 4.（12分)图4的四条曲线分别是四个传递函数在单位阶跃信号输入下的响应， 请从下列六组传递函数中选择对应的四个传递函数。并用文字说明原因（定性 阐明零点与极点对系统响应的影响)。 3(s+4) G(S)= 6(s+1) G(s)= G3(S)= (S+4) (s2+5s+6) 2(s2+5s+6) (s2+5s+6) G,(S)= 25(s+1) G,()=s+1s+2) 25(s+3) G6(S)= s2+4s+25 s2+4s+25 3(s2+4s+25) 4 A1 3.5 A2 A3 A4 2.5 A2 1.5 43 0.5 A4 0 0.5 1.5 2.5 图4 解答

(B 卷答案：(d)为惯性环节，其它一致) 欲使 2 2 2 1 1 1 2 2 1 10 ( 1) (0.1 1) R R R C s R C s s s      则须 2 2 2 1 1 1 1 10 R R R C  2 2 R C  0.1 若取 1 2 R R k    10 则 1 C F 10 2 C F 10 （4 分） 注意：有很多组解，仔细检查结果是否合理。 (B 卷答案一致) 4. （12 分）图 4 的四条曲线分别是四个传递函数在单位阶跃信号输入下的响应， 请从下列六组传递函数中选择对应的四个传递函数。并用文字说明原因（定性 阐明零点与极点对系统响应的影响）。 1 2 6( 1) ( ) ( 5 6) s G s s s     2 2 3( 4) ( ) 2( 5 6) s G s s s     3 2 ( 4) ( ) ( 5 6) s G s s s     4 2 25( 1) ( ) 4 25 s G s s s     5 2 ( 1)( 2) ( ) 4 25 s s G s s s      6 2 25( 3) ( ) 3( 4 25) s G s s s     0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 图 4 解答

每个对应关系及原因分析(3分) A1对应G4:因为A1包含振荡成分，为欠阻尼系统，所以传递函数的根在s 平面中有虚部（在时域表现形式上存在三角函数成分）。考察各个传递函数的极 点，发现G4.G5.G6的极点有虚部。进一步考量，A1终值为1，所以传递函数增 益为1，排除G5 比较G4和G6,G4的零点s=-1比G6的零点s=-3更靠近虚轴，所以引起的超调 量更大。A1的超调量最大，所以对应的传递函数为G4.(3分) (B卷答案：题且中G2与G4的传递函数互换了，所以解答中只需把G2与G4互 换，其它一致.A1对应G2) A2对应G6:分析基本如上，只是因为A2超调量没有A1大，所以G6符合要求。 (3分) (B卷答案一致) A3对应G,因为A3不包含振荡成分，为过阻尼系统，所以传递函数的根在s 平面中的实轴上（在时域表现形式上不存在三角函数成分，只有指数成分）。考 察各个传递函数的极点，发现G1,G2,G3的极点在实轴上。进一步考量，A3终值 为1，所以传递函数增益为1，排除G3 比较G1和G2,G1的零点s=-1比G2的零点s=-4更靠近虚轴，所以引起的超调 量更大。A3的超调量比A4大，所以A3对应的传递函数为G1.(3分) (B卷答案一致) A4对应G2:分析基本如上，只是因为A4超调量没有A3大，所以G2符合要求。 (3分) (B卷答案：A4对应G4,其它一致) 注意：主要考察学生是否了解闭环极点不在实轴上（有虚部），以及在实轴上（无 虚部)的响应特点，分别是振荡（欠阻尼）和不振荡（过阻尼）的曲线。 零点对于过阻尼二阶系统：越靠近原点超调越大。 零点对于欠阻尼二阶系统：越靠近原点超调越大。 5.(15分)针对图5(a)的质量-弹簧阻尼系统。其中外力F为阶跃信号，x,为 输出，定义为距离平衡点的位移。参数为：F1kg,仁10N.s/m,k仁20N/m,F=1N。 原始系统的输出与期望位移x=1(0m比较，不能完全地满足下列期望指标： 稳态误差e<0.1m,超调量6<10%，t,<0.3s(5%误差标准)。 使用单位闭环反馈控制范式，如图Fig5(b),该系统作为被控对象（plant),请 设计PD(比例小积分微分)控制器来同时实现上述每一个指标。通常PD有三 个基本的环节K。,K

每个对应关系及原因分析（3 分） A1 对应 G4： 因为 A1 包含振荡成分，为欠阻尼系统，所以传递函数的根在 s 平面中有虚部（在时域表现形式上存在三角函数成分）。考察各个传递函数的极 点，发现 G4，G5，G6 的极点有虚部。进一步考量，A1 终值为 1，所以传递函数增 益为 1，排除 G5. 比较 G4 和 G6, G4 的零点 s  1 比 G6 的零点 s  3 更靠近虚轴，所以引起的超调 量更大。A1 的超调量最大，所以对应的传递函数为 G4. （3 分） (B 卷答案：题目中 G2与 G4的传递函数互换了，所以解答中只需把 G2与 G4互 换，其它一致。 A1 对应 G2) A2 对应 G6：分析基本如上，只是因为 A2 超调量没有 A1 大，所以 G6 符合要求。 （3 分） (B 卷答案一致) A3 对应 G1：因为 A3 不包含振荡成分，为过阻尼系统，所以传递函数的根在 s 平面中的实轴上（在时域表现形式上不存在三角函数成分，只有指数成分）。考 察各个传递函数的极点，发现 G1，G2，G3 的极点在实轴上。进一步考量，A3 终值 为 1，所以传递函数增益为 1，排除 G3. 比较 G1 和 G2, G1 的零点 s  1 比 G2 的零点 s  4 更靠近虚轴，所以引起的超调 量更大。A3 的超调量比 A4 大，所以 A3 对应的传递函数为 G1. （3 分） (B 卷答案一致) A4 对应 G2：分析基本如上，只是因为 A4 超调量没有 A3 大，所以 G2 符合要求。 （3 分） (B 卷答案：A4 对应 G4，其它一致) 注意：主要考察学生是否了解闭环极点不在实轴上（有虚部），以及在实轴上（无 虚部）的响应特点，分别是振荡（欠阻尼）和不振荡（过阻尼）的曲线。 零点对于过阻尼二阶系统：越靠近原点超调越大。 零点对于欠阻尼二阶系统：越靠近原点超调越大。 5. （15 分）针对图 5 (a)的质量-弹簧-阻尼系统。其中外力 F 为阶跃信号，xo 为 输出，定义为距离平衡点的位移。参数为：m=1kg，f=10N.s/m，k=20N/m，F=1N。 原始系统的输出与期望位移 xi=1(t) m 比较，不能完全地满足下列期望指标： 稳态误差 ss e <0.1m，超调量  10%，t s s  0.3 ( 5% 误差标准)。 使用单位闭环反馈控制范式，如图 Fig 5 (b)，该系统作为被控对象（plant），请 设计 PID（比例\积分\微分）控制器来同时实现上述每一个指标。通常 PID 有三 个基本的环节 K s s Ki Kp d , ,

提示：设计时只需要选择其中的两个环节进行组合，比如P+L,P+D,或I+D。计 算过程中，只需要考虑闭环极点的影响即可。 M m k 图5(a) X(s) F(s) X (s) PID Plant 图5(b) 解答： 原系统的传递函数为： X=1 1 Fs)MS2+F+ks2+105+20 (1分) 原始系统稳态误差 11 e.=x(o)-x（o)=1-lm0g2+10s+20 s=1-0.05=0.95m 原始系统： 0,=20=4.472,5=2 10 -=1.118 调节时间 4 4 t≈ (10-20)/2 =1.45s(因为5>1) 原来系统的稳态误差和调节时间都不满足要求。 (2分)

提示: 设计时只需要选择其中的两个环节进行组合，比如 P+I, P+D, 或 I+D。计 算过程中，只需要考虑闭环极点的影响即可。 图 5 (a) 图 5 (b) 解答: 原系统的传递函数为： 2 2 ( ) 1 1 ( ) 10 20 X s F s Ms fs k s s       （1 分） 原始系统稳态误差 1 0.05 0.95 1 10 20 1 ( ) ( ) 1 lim 2 0              s s s s e x x s ss i o m 原始系统： n  20  4.472 ， n  2 10  =1.118 调节时间 1.45 (10 20)/ 2 4 4 1      s t s s （因为  1 ） 原来系统的稳态误差和调节时间都不满足要求。 （2 分） F f k m xo

减小稳态误差，减少调节时间，保证超调量，所以需要使用PD控制器。(1分) X(s) F(s) X(s) s2+10s+20 把原始的系统看作开环系统，加入比例微分控制器，并构成闭环系统。闭环系 统的结构图和传递函数分别为： X(s) KS+K。 (1分) X,(s)s2+(10+Ka)s+(20+Kn) Kas+Kp K。 1-g+10+K)s+(20+K, Kp>180N/m(2分) (20+K) =V20+K5=,10+ (2分) 220+K, 6=34=10+K4*03>3=>K>10 (2分) 2 6=e5)2.3V1-52=>5>2.3V1-2=>5>0.917 (1分) 5= 10+K>0.917>K>0.917*220+K。-10 2,20+K。 因为Kn>180,所以K>0.917*2√20+180-10=15.94Ns/m (2分) 比较t,10 最后符合要求的范围为K,>180N/m,Ka>15.94Ns/m (1分) (B卷答案一致，只是计算过程中系统输出变量x为y) 6.（20分)机械振动系统如图6a所示。当系统受到=8.9N的力的作用时，质 量为m的动块振动情况如图6b所示。试根据这个响应曲线，确定系统的m、f 和k值

减小稳态误差, 减少调节时间,保证超调量, 所以需要使用 PD 控制器。（1 分） 把原始的系统看作开环系统，加入比例微分控制器，并构成闭环系统。闭环系 统的结构图和传递函数分别为： ( ) (10 ) (20 ) ( ) 2 d p d p i o s K s K K s K X s X s       （1 分） 2 0 1 lim 1 0.1 (10 ) (20 ) (20 ) d p p s d p p K s K K  s K s K K           m=> Kp 180 N/m （2分） 20 w K n p   10 2 20 d p K K     （2 分） 0.3 3   n s w t  => *0.3 3 2 10    d s K t => Kd 10 （2 分） 2 ( / 1 ) e 0.1        2   2.3 1 => 2   2.3 1 =>   0.917 （1 分） 10 2 20 d p K K     >0.917=> Kd  0.917*2 20  Kp 10 因为 Kp 180 , 所以 Kd  0.917*2 20 180 10 15.94 Ns/m （2 分） 比较 t s  0.3 指标下 10 Kd 最后符合要求的范围为 Kp 180 N/m, Kd 15.94 Ns/m (1 分) (B 卷答案一致，只是计算过程中系统输出变量 x 为 y) 6. （20 分）机械振动系统如图 6a 所示。当系统受到 p=8.9N 的力的作用时，质 量为 m 的动块振动情况如图 6b 所示。试根据这个响应曲线，确定系统的 m、f 和 k 值

2.00 p(t) 1.00 T=1s T2=4s 图6a 图6b 如果图6(c)与图6(a)是相似(analogous)系统，在E=8.9(V的输入下，图 6(c)的电容累计电荷Q。响应也如图6(b)所示。无需重复以上计算过程，请 根据图6(a)所得的值，求L,R与C的值。 R C 解答 由图6a可得系统的微分方程为 m0+r0+0)=p0 (1分) dr 相应的传递函数 Y(s) 1 P(s)ms2+f尽+k 于是 Y(s)= 1 8.9 (1分) ms2+fs+k s 有图6b可得如下方程组： 4==-B=1g=atm-耳%=忧F (3分) wa其中

T1= 1s T2= 4s 图 6a 图 6b 如果图 6（c）与图 6（a）是相似（analogous）系统，在 Ei=8.9 (V)的输入下， 图 6（c）的电容累计电荷 Qo 响应也如图 6（b）所示。无需重复以上计算过程，请 根据图 6（a）所得的值，求 L, R 与 C 的值。 L R C Ei Qo 解答 由图 6a 可得系统的微分方程为 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d y t dy t m f ky t p t dt dt    （1 分） 相应的传递函数 2 ( ) 1 ( ) Y s P s ms fs k    于是 2 1 8.9 Y s( ) ms fs k s    （1 分） 有图 6b 可得如下方程组： 1 1 r d t t w       其中 2 1 arctan( )      2 1 w w d n   （3 分）

2r=3 12-4= (2分) limsY(s)=lims 18.98.9 =2 (2分) 0ms2+尽+ksk 联立求的：k=4.45NWm,wn=2.425=0.5 (3分) 根据系统的特征方程 s+5+k=0 m 并对照标准二阶系统特征方程s2+25w,S+wn2=0 有：k=,2=25w, (2分) m m 可得m=0.76Kg,f=1.84N/m/s (2分) 综上分析计算，得到系统的参数为m=0.76,f=1.84,k=4.45 图6(c)所示系统傲分方程为 Ld2@+R№，@+Q0=E0 (1分) dt 90+R20+2Q0=89 dt dt 对照图6(a)的微分方程，因为相似性。 所以 1 L=m.R=f.c=k (2分) 代入m=0.76,f=1.84,k=4.45得 C=0.225F,L=0.76HR=1.842 (1分) (B卷答案一致，只是计算过程中系统输出变量y为) 7.（15分)设单位负反馈系统的开环传递函数为 K G(s)= s(1+0.1s)1+0.25s) (1)试确定闭环系统稳定时的K值范围：

2 1 2 3 d t t w     （2 分） 2 0 0 1 8.9 8.9 lim ( ) lim 2 s s sY s s   ms fs k s k      （2 分） 联立求的： k  4.45 N/m, 2.42 wn    0.5 （3 分） 根据系统的特征方程 2 0 f k s s m m    并对照标准二阶系统特征方程 2 2 2 0 n n s w s w     有： 2 n k w m  2 n f w m   （2 分） 可得 m  0.76 Kg, f 1.84 N/m/s （2 分） 综上分析计算，得到系统的参数为 m  0.76， f 1.84， k  4.45 图 6（c）所示系统微分方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 Q t E t dt C dQ t R dt d Q t L o i o o    （1 分）   ( )  8.9 ( ) ( ) 1 2 Q t dt C dQ t R dt d Q t L o o o 对照图 6（a）的微分方程，因为相似性。 所以 k C L  m R  f  1 , , （2 分） 代入 m  0.76， f 1.84， k  4.45 得 C  0.225F,L  0.76H,R  1.84 （1 分） (B 卷答案一致，只是计算过程中系统输出变量 y 为 x) 7. （15 分）设单位负反馈系统的开环传递函数为 ( ) (1 0.1 )(1 0.25 ) K G s s s s    （1）试确定闭环系统稳定时的 K 值范围；