模型分析与控制一2014年第一学期期中考试一参考答案B 一.(10分)水箱系统及其方块图如下所示，h表示液位，Q1,Q2分别表示进、出流量。试 水箱 Q2 出水口 分析（要求简单地说明理由）：1)系统是否可以称为闭环控制系统？2)出水流量对水箱 液位有何作用？ 参考答案： 1)不可以。 闭环控制的主要特点，一是检测偏差，二是根据偏差调整控制量，从而达到消除或减小 偏差的目的。这需要通过传感器、控制器和执行机构等专门的元器件来实现。本题系统 不具备液位检测装置，液位的变化也不改变控制量。所以通过出水口到达Q2所形成的 回路，并不构成真正意义上的控制闭环。 2)负反馈。 设水箱横截面积为A,那么根据物质守恒规律，单位时间内流进流出水箱的流量差，应 等于水箱内水量的变化，即 pAAh =(Q:-Q2)At =pA4=Q1-Qz dt 另一方面，出水流量Q2取决于实际水位h,并且水位越高，流量越大，而增大出水流 量，则意味着进出流量差的减小，这是不利于水位升高的；反之，若水箱水位降低，则 出水流量减小，而减小出水流量，又有助于水位的上升。因此，出水流量对水箱液位起 到了负反馈的作用。 因为这种反馈是被控对象自身所具有的，所以又称为“自平衡”，以区别于为实现闭环控制而人为引入的反馈
—2014 —B 1 . 10 h Q1, Q2 Q1 Q1 Q2 Q2 h h : 12 1 h Q2 2 A ρAΔh = (Q1 − Q2)Δt =⇒ ρAdh dt = Q1 − Q2 Q2 h 1 1
模型分析与控制一2014年第一学期期中考试一参考答案B 2 二·(10分)交流电控制系统中有一种常用的T型网络，其电路和各元件的参数如下图所 示。现以v(t)为输入、v(t)为输出，试求系统的传递函数。 R2 C C 参考答案： Vo(s) R1R2C2s2+2R1Cs+1 G()=Ve()-Ri RaC22+(2Ri+Ra)Cs+1 求解过程：设流过电阻R1,2的电流分别为1，I2,则可列出下列三个电位平衡方程： 6=是+4风 (1a) Vn=12R2+ +Ri Cs (1b) I-2=2R+ 2 (1c) Cs 由(1c)可得I1=(R2Cs+2)I2,分别代入(1)和(1b)后将两式相除即得出答案
—2014 —B 2 . 10 T vr(t) vo(t) vr R vo 1 R2 C C G(s) = Vo(s) Vr(s) = R1R2C2s2 + 2R1Cs + 1 R1R2C2s2 + (2R1 + R2)Cs + 1 R1R2 I1I2 Vo = I2 Cs + I1R1 (1a) Vr = I2R2 + I2 Cs + I1R1 (1b) I1 − I2 Cs = I2R2 + I2 Cs (1c) (1c) I1 = (R2Cs + 2)I2 (1a) (1b)
模型分析与控制一2014年第一学期期中考试一参考答案B 三.(15分)以下两个系统方块图中，大写字母均表示传递函数，小写字母表示输入或输出 信号。假定图(@)系统与图(b)系统等价，求相应的传递函数P(s)、Q(s);另外请计算传 递函数C(s)/D(s)。 G2 H H2 (a) P G2G3+G4 (b) 参考答案2： G 1+G1G2H1 P(s)=1+G1G2H1' Q(s)=1+G1G2H1+(G2G3+Ga) C(s) 1+G1G2H1 D(s)-1+G1G2H1+(G2G3+G4)(G1+H2) 求解过程：求P(s)、Q(s)的方法有多种，关键是用方块图等价变换法则，得到如下图所 示的一个中间结果，点线部分可转化为虚线部分，再求P(s),Q(s)就比较方便了。 G G2G3+G4 H2 G2 求C(s)/D(s)的方法有多种，通过图(a)求是最不明智的，通过图(b)求就要容易得多， C(s) Q Ds-1+P(G2G3+G4)0 把求出的P、Q代入稍作简化就可得到答案3了。 2本题来源于王显正教材80页习题2.16(，且基本保持了原方块图，但对所要求解的内容作了修改，难度稍大。 3还可求出 C(s) P(G2G3+G4)Q G1(G2G3+G4) R(s)=1+P(G2Gs+Ga)Q=1+G1Ga+(GaGa+Ga)(G1+Ha) 但考虑这一问与求C(s)/D(s)有点重复了，所以没有将其放在里面
—2014 —B 3 . 15 (a) (b) P(s)Q(s) C(s)/D(s) − − − − G1 G2 G3 G4 G2G3 + G4 H1 H2 P Q c c d d r r (a) (b) 2 P(s) = G1 1 + G1G2H1 , Q(s) = 1 + G1G2H1 1 + G1G2H1 + (G2G3 + G4)H2 C(s) D(s) = 1 + G1G2H1 1 + G1G2H1 + (G2G3 + G4)(G1 + H2) P(s)Q(s) P(s)Q(s) − −− − G1 G1 G2 G2G3 + G4 H1 H2 c d r C(s)/D(s) (a) (b) C(s) D(s) = Q 1 + P(G2G3 + G4)Q = ... PQ 3 2 80 2.16(d) 3 C(s) R(s) = P(G2G3 + G4)Q 1 + P(G2G3 + G4)Q = G1(G2G3 + G4) 1 + G1G2H1 + (G2G3 + G4)(G1 + H2) C(s)/D(s)
模型分析与控制一2014年第一学期期中考试一参考答案B 四.(20分)一复合控制系统如下图所示。设K0>0,T6>0为被控对象的参数，T>0及 Kf为前馈控制器的参数，K。为主控制器的（比例控制）增益。输入信号为r(t)=1+t。 Kfs Tis+1 Ko s(Tos +1) 1)试求系统的稳态位置误差系数、稳态速度误差系数、及稳态加速度误差系数；2)对于 上述输入信号，为使系统的稳态误差严格为零，K:应如何设定？3)实际应用时K。应如 何设定为好？ 参考答案： KcKo 若1-KK0≠0，则Kp=o,K知=-KK Ka=0; 若1-KfKo=0,则Kp=∞，Kw=o, KcKo Ka=T+To =忘 求解过程：1)通过简单计算，可以求得系统的闭环传递函数为 ()= C(s)(Kf+KeTf)Kos+KcKo R(s)(Tos2+s+KcKo)(Tfs+1) 等价的开环传递函数为 Φ(s) (Kf+KeTf)Kos +KeKo G()=-有=Tos3+(四+0)s2+1-K0s 当1-KrKo≠0时，系统为I型系统： KcKo K,=imG()=o,K。=i吗sG)==K0 Ka lim s2G(s)=0 → 当1-KrKo=0时，系统为Ⅱ型系统： KcKo =lim G(s)=o0,K=lin sG(s)=00,Ka=lin s2G(s)=T 2)首先看到在此情况下，系统还是闭环稳定的。所以闭环系统的稳态误差4为 es二+=， 1-KfKo KcKo 为使系统的稳态误差严格为零，前馈控制环节的参数K:应设定为Ko的倒数。 3)以上结果表明，理论上只要K:等于Ko的倒数，则无论K如何设定，稳态误差一定 为零。然而由于制造误差、器件老化和使用环境的变化，实际应用中对象参数Ko不可能 完全精确地知道。也就是说要严格做到1-KK=0是不可能的，一般只能做到一定的 精度范围，如1-KfKo≤e,所以实际应用时，应该在兼顾其他性能指标的前提下，尽 可能地提高主控制器的增益K。。 4注意，根据线性系统的迭加原理，在下列任意二次抛物线信号的输入作用下，系统的稳态误差为 r因=a+t+→s=1+K+不+瓦。 a b
—2014 —B 4 . 20 K0 > 0T0 > 0 Tf > 0 Kf Kc r(t) = 1+t − r c Kf s Tf s + 1 K0 s(T0s + 1) Kc 1) 2) Kf ? 3) Kc ? 1 − KfK0 = 0 Kp = ∞, Kv = KcK0 1 − KfK0 , Ka = 0; 1 − KfK0 = 0 Kp = ∞, Kv = ∞, Ka = KcK0 Tf + T0 Kf = 1 K0 1) Φ(s) = C(s) R(s) = (Kf + KcTf )K0s + KcK0 (T0s2 + s + KcK0)(Tf s + 1) G(s) = Φ(s) 1 − Φ(s) = (Kf + KcTf )K0s + KcK0 TfT0s3 + (Tf + T0)s2 + (1 − KfK0)s 1 − KfK0 = 0 I Kp = lims→0 G(s) = ∞, Kv = lims→0 sG(s) = KcK0 1 − KfK0 , Ka = lims→0 s2G(s)=0 1 − KfK0 = 0 II Kp = lims→0 G(s) = ∞, Kv = lims→0 sG(s) = ∞, Ka = lims→0 s2G(s) = KcK0 Tf + T0 2) 4 ess = 1 1 + ∞ + 1 Kv = 1 − KfK0 KcK0 Kf K0 3) Kf K0 Kc K0 1 − KfK0 = 0 |1 − KfK0| ≤ e Kc 4 r(t) = a + bt + c 2 t 2 =⇒ ess = a 1 + Kp + b Kv + c Ka
模型分析与控制一2014年第一学期期中考试一参考答案B 5 五.(10分)考虑下图所示系统，为保证系统稳定，试确定K的取值范围。 s+2 (s-1)(s2+6s+25) 参考答案5： K 25 首先求得系统闭环传递函数 K(s+2) (s)=3+5s2+(19+K)s+(2K-25 要使闭环系统稳定，必须有 19+K>0, 2K-25>0,5(19+K)>2K-25 即 K>-19, K、 2 K>-40 综合以上条件，即可得出结果。 5本题取自0gata教材第5版203页，稍作修政
—2014 —B 5 . 10 K − r c K s + 2 (s − 1)(s2 + 6s + 25) 5 K > 25 2 Φ(s) = K(s + 2) s3 + 5s2 + (19 + K)s + (2K − 25) 19 + K > 0, 2K − 25 > 0, 5(19 + K) > 2K − 25 K > −19, K> 25 2 , K> −40 5 Ogata 5 203
模型分析与控制一2014年第一学期期中考试一参考答案B 六.(20分）反馈控制系统的结构如下，现欲通过实验确定其参数参数，K。设在单位阶跃 信号作用下，其误差响应形如 e(t)=b1e-1t+b2e-2t,(a1>0,22>0,z≠22) 试确定a,K与1和2的关系；同时分析b1,b2分别应与和2有怎样的关系。 参考答案6： a=21+22,K=2a122; b1二n一 22 b2=2-1 一21 求解过程：将外环打开后，令系统的传递函数为G(s),那么 K G(s)= s(s+a) 所以误差传递函数 E(s) 1 s2+as R(S=1+G阿=g2+a5+F (2) 另一方面 b1 b2 E()=s+++动 R=5 所以 E(s)b1s (b1+b2)s2+(b122+b2z1)s R=s++s+2 s2+(21+22)s+122 与(2)的分母多项式的系数相比较，首先不难看出 a=21+22,K=2122 进一步通过比较分子多项式的系数还可看出 b1+b2=1,b122+b2a1=a=1+22 联立求解这两个关于b1,b2的方程即可得到b1,b2与1和2应满足的关系。 6本题构思受启发于王显政教材205页习题6.8的一个错误，通过分析发现二阶系统存在这样一个规律
—2014 —B 6 . 20 aK − − a r e K s 1 s e(t) = b1e−z1t + b2e−z2t , (z1 > 0, z2 > 0, z1 = z2) aK z1 z2 b1b2 z1 z2 6 a = z1 + z2, K = z1z2; b1 = z2 z2 − z1 , b2 = −z1 z2 − z1 G(s) G(s) = K s(s + a) E(s) R(s) = 1 1 + G(s) = s2 + as s2 + as + K (2) E(s) = b1 (s + z1) + b2 (s + z2) , R(s) = 1 s E(s) R(s) = b1s (s + z1) + b2s (s + z2) = (b1 + b2)s2 + (b1z2 + b2z1)s s2 + (z1 + z2)s + z1z2 (2) a = z1 + z2, K = z1z2 b1 + b2 = 1, b1z2 + b2z1 = a = z1 + z2 b1b2 b1b2 z1 z2 6 205 6.8 !
模型分析与控制一2014年第一学期期中考试一参考答案B 1 七.(15分)一系统如图()所示，现欲通过实验确定参数T,输入信号如图(b)所示。1)求 t [s] (a) (b) 误差响应函数c(t)及其拉氏变换C(s),并画出响应曲线C(t)的大致形状；2)试由此提出 一个简单的确定时间常数T的方法，并给出相应的计算公式。 参考答案7： 1-e-t/T fort∈[0,1) c(t)= -e-t/T+e-(-1)/T,fortE[1,oo) co=1-e-(传 T Ts+1 测量出响应的最大值cmax,然后根据下式确定T T=-n1-cm） 求解过程：1)，显然，系统闭环传递函数和输入信号及拉氏变换分别为 Gs)=7s+7r因=10-1t-1)→)=1-e 1 所以系统输出信号的拉氏变换为 c0=ca0-+-0-e(g-7i) 求其反变换得到 ct)=1()-e-tr-1t-1)+e-t-/T,(t≥0) 其中后两个函数1(t-1)和e-(t-)/T在t∈[0,1)时取值为零，于是得到答案的上半部 分；在t∈[1,0∞)时，1(t)-1(t-1)=0,于是得到答案的下半部分。 t [s] t[s] emin (a) (b) 上图(a)和(b)分别显示了误差信号e(t)和系统输出c(t)的时间响应曲线。 2）显然，响应的最大值cmx发生在t=1s处，利用这一条件即可确定时间常数， 1-e-1/T Cmax T=-In(1-cma) 1 7来自于07年试题。曲线e(t),c(t)的情况另见Simulink程序sys-c.mdl的仿真结果
—2014 —B 7 . 15 (a) T (b) 1) − c e r r 1 T s 1 1 t [s] (a) (b) c(t) C(s) C(t) ! 2) T 7 c(t) = 1 − e−t/T , for t ∈ [0, 1) −e−t/T + e−(t−1)/T , for t ∈ [1, ∞) C(s) = (1 − e−s) 1 s − T T s + 1 cmax T T = − 1 ln(1 − cmax) 1 G(s) = 1 T s + 1; r(t) = 1(t) − 1(t − 1) =⇒ R(s) = 1 − e−s s C(s) = G(s)R(s) = 1 − e−s s(T s + 1) = (1 − e−s ) 1 s − T T s + 1 c(t) = 1(t) − e−t/T − 1(t − 1) + e−(t−1)/T , (t ≥ 0) 1(t − 1) e−(t−1)/T t ∈ [0, 1) t ∈ [1, ∞) 1(t) − 1(t − 1) = 0 c e emin cmax 1 1 1 1 t [s] t [s] (a) (b) (a) (b) e(t) c(t) 2 cmax t = 1 s 1 − e−1/T = cmax =⇒ T = − 1 ln(1 − cmax) 7 07 e(t), c(t) ! Simulink sys-c.mdl
