5.1求下列函数的单位拉普拉斯变换，并注明收敛域 (1)1-e 解： -e1=4W-4e1-4”GR40 (5)e'+e 解： e'+e']= -1's+打，Re>1 1 2s 5.3利用常用函数[如()，ec(),sin(B)e(),cos(Bm)c()等的象函数及拉普拉斯变换的 性质，求下列函数的拉普拉斯变换。 (2)e'[ε(t)-8(t-2月 解： f)=e'[e(t)-st-21=e's)-e2e-2st-2) +15中7e2=1e 1e2 F(s)= 3+1 (7)sin(2) 解： )=sin(21)e()=sin 2m(1)cos2re() A09247中an 2-3 o f0=乐maa0l F(s)=2sin(ac0]=g+元 Sπ d'sin()(t) (12)dh 解： (=sin(sin(() 2 3 F6)=写+元
5.1 求下列函数的单位拉普拉斯变换，并注明收敛域。 （1） t e 1 解： ,Re[ ] 0 ( 1) 1 1 1 1 [1 ] [1] [ ] s s s s s L e L L e t t （5） t t e e 解： ,Re[ ] 1 1 2 1 1 1 1 [ ] 2 s s s s s L e e t t 5.3 利用常用函数[如 (t),e (t),sin( t) (t),cos( t) (t) t 等的象函数及拉普拉斯变换的 性质，求下列函数的拉普拉斯变换。 （2） [ ( ) ( 2 )] e t t t 解： 1 1 1 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( 2)] ( ) ( 2) 2( 1) 2 2 2 ( 2) s e e s e s F s f t e t t e t e e t s s t t t （7） ) ( ) 4 sin(2t t 解： 2( 4) 2 ] 4 4 2 [ 2 2 ( ) cos 2 ( ) 2 2 sin 2 ( ) 2 2 ) ( ) 4 ( ) sin(2 2 2 2 s s s s s F s f t t t t t t t (11) [sin( ) ( )] 2 2 t t dt d 解： 2 2 2 2 2 2 ( ) [sin( ) ( )] ( ) [sin( ) ( )] s s F s s L t t t t dt d f t (12) ( ) sin( ) 2 2 t dt d t 解： 2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) sin( ) ( ) sin( ) ( ) s F s t t t dt d t f t
1 54如已知因果函数F)=。-5十1，求下列函数的象函数。 2)e-rf21-1) 由时移特性得 f(t-1)>e-F(s) 由尺度变换性质得 fF( 由5域平移性质得 e-r3) 即0r2-e,7月 2 56求下列象函数F(s)的初值f(0,和终值f(o). )2*3 (s+1)2 解：因FS)的分母高于分子次数，则其原函数/)中不含0及其各阶号数，则由初值定 理可得 0)=e0=o=是2 F(S)的极点5=-1在左半平面，故终值存在 四=m-回0-0 5.8求下列各象函数的拉普拉斯逆变换。 s2+4s+5 (3)32+35+2 解： F)=s+4+5 2++21++2=1+2+ 35+3 s+2s+1 太=+到=-1k=S+5+利=2 s+1s=-2 s(s+3)-1 +2ts+7f0=60-e+2e'1e0 1 2 F(s)=1- (s+10(s+4) (4)(s+2)s+3) 解：
5.4 如已知因果函数 1 1 ( ) 2 s s F s ，求下列函数的象函数。 （2） (2 1) 3 e f t t 由时移特性得 f (t 1) e F(s) s 由尺度变换性质得 ) 2 ( 2 1 (2 1) 2 s f t e F s 由 s 域平移性质得 ) 2 3 ( 2 1 (2 1) ( 3) 2 1 3 s e f t e F s t 即 4 7 2 ) 2 3 ( 2 1 [ (2 1)] 2 2 3 ( 3) 2 1 3 s s s e F e f t e F s s t 5.6 求下列象函数 F(s) 的初值 (0 ) f 和终值 f () 。 （1） 2 ( 1) 2 3 ( ) s s F s 解：因 F(s)的分母高于分子次数，则其原函数 f (t) 中不含 (t) 及其各阶导数，则由初值定 理可得 2 ( 1) (2 3) (0 ) lim ( ) lim ( ) lim 2 0 s s s f f t sF s t s s F(s) 的极点 s=-1 在左半平面，故终值存在 0 ( 1) (2 3) ( ) lim ( ) lim ( ) lim 2 0 0 s s s f f t sF s t s s 5.8 求下列各象函数的拉普拉斯逆变换。 （3） 3 2 4 5 2 2 s s s s 解： , ( ) [ ( ) 2 ] ( ) 1 2 2 1 ( ) 1 2 ( 3) ( 1)( 4) 1, 1 3 2 1 1 3 2 3 3 1 3 2 4 5 ( ) 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 f t t e e t s s F s s s s s k s s k s k s k s s s s s s s F s t t s s （4） ( 2)( 3) ( 1)( 4) s s s s s 解：
F)=++4-+2 8+年+，2+ k=s+lXs+4) 号k:=s++到 =1 (s+2s+3)0 (s+3) a-2 k=5+1s+4 s(s+2)-3 28+4 5)s(s2+4) 解 k F(s)= 25+4-k+k G+号++2，=2 s(s-2j) =c 1 -2 f0=+5co2+ag0=+5sm2-45'k0 5.15描述LT系统的微分方程为 求下列条件下的零格入的得20=/0+4/四 (2)f)=e2e,0.)=1y0)=1 解：对微分方程取拉普拉斯变换有 s2Y(s)-0.)-y0.)+3sY(s)-30)+2Y(s)=sF(s)+4F(s) 即(s2+3s+2)Y(s)-[y(0.)+y(0)+30】=(+4)F(s) 可解得 Y)=y.()+y,=0)+y0)+30) 5+4 s2+3s+2 2+35+2F)） 将FP)=4L/o=es1= 1 +2和初值代入得 S+4 3 2 Y(s)= 2+35+2s+15+2 8+4 2 y)=+35+2‘5+23+1+25+2 对以上两式取逆变换，得零输入和零状态响应分别为
] ( ) 3 2 3 2 , ( ) [ 3 1 3 2 2 1 1 3 2 ( ) 3 2 ( 2) ( 1)( 4) 1 ( 3) ( 1)( 4) , 3 2 ( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 2)( 3) 2 3 ( 1)( 4) ( ) 2 3 3 3 2 2 0 1 1 2 3 f t e e t s s s F s s s s s k s s s s k s s s s k s k s k s k s s s s s F s t t s s s （5） ( 4) 2 4 2 s s s 解： )] ( ) [1 2 sin(2 45 )] ( ) 4 3 ( ) [1 2 cos(2 2 1 ) 2 1 2 1 ( 2 1 ) 2 1 2 1 ( 1 ( ) 2 1 2 1 ( 2 ) 2 4 1, 4 2 4 ( 4) 2 2 2 4 ( ) 3 2 2 0 1 2 1 2 3 2 f t t t t t s j j s j j s F s k j c s s j s k s s k s j k s j k s k s s s F s s j s 5.15 描述 LTI 系统的微分方程为 y' '(t) 3y'(t) 2y(t) f '(t) 4 f (t) 求下列条件下的零输入响应和零状态响应 （2） ( ) ( ), (0 ) 1, '(0 ) 1 2 f t e t y y t 解：对微分方程取拉普拉斯变换有 ( 3 2) ( ) [ (0 ) '(0 ) 3 (0 )] ( 4) ( ) ( ) (0 ) '(0 ) 3 ( ) 3 (0 ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) 2 2 s s Y s sy y y s F s s Y s sy y sY s y Y s sF s F s 即 可解得 ( ) 3 2 4 3 2 (0 ) '(0 ) 3 (0 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F s s s s s s sy y y Y s Y s Y s x f 将 2 1 ( ) [ ( )] [ ( )] 2 s F s L f t L e t t 和初值代入得 2 3 ( 2) 2 1 3 2 1 3 2 4 ( ) 2 2 1 3 3 2 4 ( ) 2 2 2 s s s s s s s Y s s s s s s Y s f x 对以上两式取逆变换，得零输入和零状态响应分别为
y,0=L-'[Y(s】=(3e'-2e-)e0 y,0=L[Y(sl=3e-(2+3e]st） 5.19己知某LT系统的阶跃响应8)=(1-e“)e(),欲使系统的零状态响应 y/(u)=(1-e-2+fe-2)e() 求系统的输入信号.) 解：由已知可得 Hs)=g01=- 1 8+2s(5+2) 即有) 2 s+2 零状态响应的象函数为 y,6)=,01=40-e+e01= 1 35+4 ；5+2+6+2+2 则输入的象函数为 F)=因2+2 12 H(s)s(s+2)ss+2 对上式取逆变换，得输入信号 )=F(+( 5,22如下图所示的复合系统，由4个子系统连接组成，若各子系统的系统函数或冲激响应 分别为： ，)= H,()=1 +260=80h,0=ee0 求复合系统的冲激响 应h). H () A.() 解：由已知可得子系统函数的系统函数为 H,)=46= H,()=h]=s+2 则由系统级联各并联的性质可知复合系统的系统函数为
( ) [ ( )] [3 (2 3) ] ( ) ( ) [ ( )] (3 2 ) ( ) 1 2 1 2 y t L Y s e t e t y t L Y s e e t t t f f t t x x 5.19 已知某 LTI 系统的阶跃响应 ( ) (1 ) ( ) 2 g t e t t ，欲使系统的零状态响应 ( ) (1 ) ( ) 2 2 y t e te t t t f 求系统的输入信号 f (t) 。 解：由已知可得 ( 2) 2 2 1 1 ( ) [ ( )] 1 s s s s H s L g t s 即有 2 2 ( ) s H s 零状态响应的象函数为 2 2 2 2 ( 2) 3 4 ( 2) 1 2 1 1 ( ) [ ( )] [(1 ) ( )] s s s s s s Y s L y t L e te t t t f f 则输入的象函数为 2 2 1 1 ( 2) 2 2 3 ( ) ( ) ( ) s s s s s H s Y s F s f 对上式取逆变换，得输入信号 ) ( ) 2 1 ( ) [ ( )] (1 1 2 f t L F s e t t 5.22 如下图所示的复合系统，由 4 个子系统连接组成，若各子系统的系统函数或冲激响应 分别为： , ( ) ( ), ( ) ( ), 2 1 , ( ) 1 1 ( ) 2 1 2 3 4 h t t h t e t s H s s H s t 求复合系统的冲激响 应 h(t) 。 解：由已知可得子系统函数的系统函数为 2 1 ( ) [ ( )] 1 ( ) [ ( )] 4 4 3 3 s H s L h t s H s L h t 则由系统级联各并联的性质可知复合系统的系统函数为
H(s)=H,(S)[H,(s)·H,(s)-H,(S] =11-1J S+1s+2SS+2 1 3 1-s-2-2 、2 s(s+1)s+2)5s+15+2 对上式取逆变换，得复合系统的冲激应为 1 3 h=Lr[Hs]=(5-2e' +2e)s0
2 2 3 1 2 2 1 ( 1)( 2) 1 ] 2 1 1 2 1 [ 1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] 1 2 3 4 s s s s s s s s s s s H s H s H s H s H s 对上式取逆变换，得复合系统的冲激应为 ) ( ) 2 3 2 2 1 ( ) [ ( )] ( 1 2 h t L H s e e t t t