华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（习题解答）第2章 连续系统的时域分析

22已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0，初始值。 y"()+4y'()+3)=f"0+f).0)=2,y0.）=-2,f)=60) 解：原式="0+6) 令y'(0=a8"()+b8')+c8)+Y) 则有0=a80)+b60)+,0 t)=a6(t)+Y1(t) 整理得 a8"()+[4a+b18'()+[3a+4b+c]5()+[yo()+4y,(0+3y,(]=8"'()+8) a=1 a=-1 4a+b=0→{b=-4 3a+4b+c=1c=14 .0)-0.)=6'0d-460d+0h=-4 0)=-2 y'0,)-y'0)=「8"0dh-48'u0d+1460+y,0d=14 y(0.)=12 y"()+4y'()+4y()=f()+3f(),y0)=0y(0)=2,f)=es() 解：由零输入的性质可知，要求零输入响应即求解微分议程 y"()+4y()+4t)=0 y,0)=1y(0)=2 解方程得 y(t)=Ce+C.le 代入初始值得 y,0)=C=1 y.(0)=-2C+C2=2 解以上两式得C,=1,C,=4,则系统的零输入响应为 y(t)=e-+41e-,120 由零状态响应的性质可知，求零状态响应即求解微分方程 [y",(0+4yr0+4y)=60+2e'e(0 yy0.)=y0.)=0 方程右端含有冲激项，两端对0.到0，积分 广y"r)+4y,)+4y)d=Dδ0+2e's)d

2.2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其  0 初始值。 y''(t)  4 y'(t)  3y(t)  f ''(t)  f (t) , y(0 )  2, y'(0 )  2, f (t)   (t)   解：原式  ' '(t)   (t) 令 ' '( ) ' '( ) '( ) ( ) ( ) 0 y t  a t  b t  c t   t 则有 '( ) ( ) ( ) ( ) 1 y t  a t  b t   t ( ) ( ) ( ) 1 y t  a t   t 整理得 ' '( ) [4 ] '( ) [3 4 ] ( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( )] ' '( ) ( ) 2 0 1 a t  a  b  t  a  b  c  t   t   t   t   t   t ∴                       14 4 1 3 4 1 4 0 1 c b a a b c a b a ∴ (0 ) (0 ) '( ) 4 ( ) ( ) 4 0 0 1 0 0 0 0                  y y  t dt  t dt  t dt '(0 ) '(0 ) ''( ) 4 '( ) 14 ( ) ( ) 14 (0 ) 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0                        y y t dt t dt t t dt y     ∴ '(0 )  12  y 2.5 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和完全响 应。 y''(t)  4 y'(t)  4y(t)  f '(t)  3 f (t), y(0 ) 0, y'(0 ) 2, f (t) e (t) t        解：由零输入的性质可知，要求零输入响应即求解微分议程           (0 ) 1, ' (0 ) 2 ' '( ) 4 '( ) 4 ( ) 0 x x y y y t y t y t 解方程得 t t x y t C e C te 2 2 2 1 ( )     代入初始值得 ' (0 ) 2 2 (0 ) 1 1 2 1         y C C y C x x 解以上两式得 1, 4, C1  C2  则系统的零输入响应为 ( ) 4 , 0 2 2      y t e te t t t x 由零状态响应的性质可知，求零状态响应即求解微分方程              ' (0 ) (0 ) 0 ' ' ( ) 4 ' ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) f f t f f f y y y t y t y t  t e  t 方程右端含有冲激项，两端对  0 到  0 积分            0 0 0 0 y' ' (t) 4y' (t) 4y (t)dt (t) 2e (t)dt t f f f  

考虑到》四的连续性得 y',(0.)-y,(0月+4[y,(0.)-y(0.】=1 得y0,)=1y,0.)=y,0.)=0 当1>0时，微分方程可化为 y"/(0+4y(0+4y0=2e 此方程全解为 y/t)=C1e-2+C2te-2"+2e',t≥0 代入初始值得 y/0.)=C,+2=0 y,0.)=-2C,+C2-2=1 解以上两式得9，=-2，C,=-山则系统的零状态响应为 y/0=-2e--fe2+2e',1≥0 系统的全响应为 )=y,(0+y)=-e2+31e-+2e,1≥0 2.16描述系统的方程为 y'+20=()-f) 求其冲激响应和阶跃响应。 解：选取新变量片()使它满足方程 y1+2y(0=f(0 设其冲激响应为h(),则有h(0,)=1 此方程全解为h()=Ce”,120 代入初始值得h(0,)=C,=1 则有h()=ec) 系统的阶跃响应为 h()=h')-h(0)=60-3e2s) 系统的阶跃响应为 g(t)=[h(x)dx=[[(x)-3es(x)d =e-2e0 2.21求下列函数的卷积积分()*5()： (2)f()=e(t),f()=s(), 解

考虑到 y (t) f 的连续性得 [ ' (0 )  ' (0 )]  4[ (0 )  (0 )]  1 f  f  f  f  y y y y 得 '(0 )  1, (0 )  (0 )  0  f  f  y y y 当t  0 时，微分方程可化为 t f f f y t y t y t e  ' ' ( )  4 ' ( )  4 ( )  2 此方程全解为 ( ) 2 , 0 2 2 2  1       y t C e C te e t t t t f 代入初始值得 ' (0 ) 2 2 1 (0 ) 2 0 1 2 1           y C C y C f f 解以上两式得 2, 1, C1   C2   则系统的零状态响应为 ( ) 2 2 , 0 2 2         y t e te e t t t t f 系统的全响应为 ( ) ( ) ( ) 3 2 , 0 2 2           y t y t y t e te e t t t t x f 2.16 描述系统的方程为 y'(t)  2y(t)  f '(t)  f (t) 求其冲激响应和阶跃响应。 解：选取新变量 ( ) 1 y t 使它满足方程 ' 2 ( ) ( ) 1 1 y  y t  f t 设其冲激响应为 ( ), 1 h t 则有 (0 ) 1 h1   此方程全解为 ( ) , 0 2 1  1   h t C e t t 代入初始值得 (0 ) 1 h1   C1  则有 ( ) ( ) 2 1 h t e t t    系统的阶跃响应为 ( ) '( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 1 1 h t h t h t t e t t        系统的阶跃响应为 ) ( ) 2 1 2 3 ( ( ) ( ) [ ( ) 3 ( )] 2 2 e t g t h x dx x e x dx t t t x               2.21 求下列函数的卷积积分 ( ) ( ) 1 2 f t  f t ： （2） ( ) ( ), ( ) ( ); 2 2 1 f t e t f t t t      解：

原式=e“s(0*s0=广e2rc(r)s1-t)dr =e2dr…s0=0-e"c0 4)0=es0,50=es0: 解： 原式=e”s0*e-s0=广e2s(r)e--ct-t)dr =e[e'dre(t)=(e-e-)s(t) (6)f0=1+2),f5(0=st-3: 解： 原式=1+2)*c(1-3) =[(1)*(t)]*[6(t+2)*6(1-3] =s)*61-)=t-1)s1-) (8)f1(1)=8(1,2()=ε(1)-ε(1-2上 解 原式=180)*s0*[60)-80-2)=80*[60)-60-2刃 =2f80--2y°cu-2) f0,12 223试求下列LT系统的零状态响应，并画出波形图。 (3)输入信号/0如图(c)所示，h)=e'( 解：由输入信号的/)的波形图可得 f3(0)=2Lε()-e1-1】 则系统的零状态响应为

(1 ) ( ) 2 1 ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 e d t e t e t t e t d t t t                           原式  （4） ( ) ( ), ( ) ( ); 3 2 2 1 f t e t f t e t t t       解：                    t t t t t t t e e d t e e t e t e t e e t d 0 3 2 3 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( )           原式   （6） ( ) ( 2), ( ) ( 3); f 1 t   t  f 2 t   t  解： ( )* ( 1) ( 1) ( 1) [ ( )* ( )]*[ ( 2)* ( 3)] ( 2) * ( 3)            t t t t t t t t t t t        原式   （8） ( ) ( ), ( ) ( ) ( 2 ); f 1 t  t t f 2 t   t   t  解：                      2( 1), 2 0.5 ,0 2 0, 0 ( 2) ( 2) 2 1 ( ) 2 1 ( ) *[ ( ) ( 2)] 2 1 ( ) * ( ) *[ ( ) ( 2)] 2 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t   原式        2.23 试求下列 LTI 系统的零状态响应，并画出波形图。 （3）输入信号 ( ) 3 f t 如图（c）所示，h(t) e (t); t    解：由输入信号的 ( ) 3 f t 的波形图可得 ( ) 2[ ( ) ( 1)] f 3 t   t   t  则系统的零状态响应为

y5)=f50*h) =2s0-s1-1]*est) =26)-6t-1]*[1-e)e(t] =21-e')s0)-(1-e)su-1月 0,11 (4)输入信号f()如图(d)所示，h()=2(1+1)-s1-1 解：由激励f(0的波形图可得 f4(0）=(t+-2s(0+t- 则系统的零状态响应为 y)=)*h) =[s(t+1)-2s(0)+(t-1]*[2s(1+1)-2s(u-1】 =[61+1)-260)+δ1-1]*e)*)*[26(1+1)-261-1】 =218(t)*[6t+1)-28(t)+6(t-1]*[61+1)-61-1] =-216)*[60+2)-261+1)+261-1)-261-2) =2[(+2)s1+2)-2(1+1)s(1+1)+21-1)s(t-1)-(u-2)s(t-21

                                  2(1 ) , 1 2(1 ),0 1 0, 0 2[(1 ) ( ) (1 ) ( 1)] 2[ ( ) ( 1)]*[(1 ) ( )] 2[ ( ) ( 1)]* ( ) ( ) ( ) * ( ) ( 1) 1 3 3 e e t e t t e t e t t t e t t t e t y t f t h t t t t t t t t f         （4）输入信号 ( ) 4 f t 如图（d）所示，h(t)  2[ (t 1)   (t 1)]; 解：由激励 ( ) 4 f t 的波形图可得 ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) f 4 t   t    t   t  则系统的零状态响应为 2[( 2) ( 2) 2( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) ( 2) ( 2)] 2 ( ) *[ ( 2) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 2)] 2 ( ) *[ ( 1) 2 ( ) ( 1)]*[ ( 1) ( 1)] [ ( 1) 2 ( ) ( 1)]* ( ) * ( ) *[2 ( 1) 2 ( 1)] [ ( 1) 2 ( ) ( 1)]*[2 ( 1) 2 ( 1)] ( ) ( ) * ( ) 4 4                                              t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t y t f t h t f                           