第一章检测卷 时间:120分钟 满分:150分 题号 总分 得分 选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分,在每道小题的四个选项中,只 有一个选项正确) 在△ABC中,AB=AC若∠A=40°,则∠C的度数是( A.70°B.55°C.50°D.40° 2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是() A√3,√4,√5B.1,√2, 3.如图,∠BAD=∠BCD=90°,AB=CB,可以证明△BAD≌△BCD的理由是() A. HL B. ASA C. SAS D. AAS A D 第3题图 第4题图 4.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是( A.∠B=∠CB.AD⊥BC C.AD平分∠BACD.AB=2BD 5.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于c C.a与b相交D.a⊥b 6.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示一楼、二 楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC=8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h为() B 150 第6题 7题图 7.如图,若∠AOB的平分线上一点P到OA的距离PM=5cm,N是射线OB上的任一 点,则关于PN的长() A. PN>5cm B. PN<5cm
第一章检测卷 时间：120 分钟 满分：150 分 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每道小题的四个选项中，只 有一个选项正确) 1．在△ABC 中，AB＝AC.若∠A＝40°，则∠C 的度数是( ) A．70° B．55° C．50° D．40° 2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A. 3， 4， 5 B．1， 2， 3 C．6，7，8 D．2，3，4 3．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD 的理由是( ) A．HL B．ASA C．SAS D．AAS 第 3 题图 第 4 题图 4．如图，△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，下列结论中不正确的是( ) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD 平分∠BAC D．AB＝2BD 5．用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( ) A．a 不垂直于 c B．a，b 都不垂直于 c C．a 与 b 相交 D．a⊥b 6．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中 AB、CD 分别表示一楼、二 楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC＝8m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 为( ) A.8 3 3m B．4m C．4 3m D．8m 第 6 题图 第 7 题图 7．如图，若∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离 PM＝5cm，N 是射线 OB 上的任一 点，则关于 PN 的长( ) A．PN＞5cm B．PN＜5cm
C.PN≥5cmD.PN≤5cm 8.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为() A.8或10B.8C.10D.6或12 9.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F, 连接CF若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( A.48°B.36°C.30°D.24° B E C 第9题图 第10题图 10.如图,在三角形纸片ABC中,AB=BC,∠B=40°,点D,E分别在AB,BC边上, 将该纸片沿直线DE折叠,点B恰好落在点C处,则∠ACD的度数为() A.10°B.20°C.30°D.40° 11.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD于点D,交AC于点E,∠A ∠ABE若AC=5,BC=3,则BD的长为() A.2.5B.1.5C.2D.1 N 第l1题图 第12题图 12.如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作MN∥BC,分别 交AB,AC于点M,N若AB=12,AC=18,BC=24,则△AMN的周长为() 13.如图是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次), 不能够得到两个等腰三角形纸片的是() 70°3 70 70 B A A B 14.如图,等边△ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB于 E,交AC于F,则图中的等腰三角形有() A.4个B.5个C.6个D.7个
C．PN≥5cm D．PN≤5cm 8．已知一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 4，则该等腰三角形的周长为( ) A．8 或 10 B．8 C．10 D．6 或 12 9．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F， 连接 CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF 的度数为( ) A．48° B．36° C．30° D．24° 第 9 题图 第 10 题图 10．如图，在三角形纸片 ABC 中，AB＝BC，∠B＝40°，点 D，E 分别在 AB，BC 边上， 将该纸片沿直线 DE 折叠，点 B 恰好落在点 C 处，则∠ACD 的度数为( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 11．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD 于点 D，交 AC 于点 E，∠A ＝∠ABE.若 AC＝5，BC＝3，则 BD 的长为( ) A．2.5 B．1.5 C．2 D．1 第 11 题图 第 12 题图 12．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 MN∥BC，分别 交 AB，AC 于点 M，N.若 AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AMN 的周长为( ) A．30 B．36 C．39 D．42 13．如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)， 不能够得到两个等腰三角形纸片的是( ) 14．如图，等边△ABC 的三条角平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC，分别交 AB 于 E，交 AC 于 F，则图中的等腰三角形有( ) A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
15.如图,已知AB=A1B,A1B1=A142,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若∠A=70°,则 ∠An-ABn-1的度数为() 70° B 、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 16.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是 ,这个逆命题是 命题 17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=3,AB=12,则△ABD 的面积为 第17题图 第18题图 18.如图,△ABC中,D是BC上一点,若AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC= 19.如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E, 线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q若BF=2,则PE的长为 第19题图 第20题图 20.如图,直线m,n交于点B,且夹角为50°,点A是直线m上的点,在直线n上寻 找一点C使△ABC是等腰三角形,这样的C点有 三、解答题(本大题共7小题,各题分值见题号后,共80分) 21.(8分)如图,在长方形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF EF⊥DF,求证:BF=CD
15．如图，已知 AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则 ∠An－1AnBn－1 的度数为( ) A.70° 2 n B. 70° 2 n＋1 C. 70° 2 n－1 D. 70° 2 n＋2 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分) 16 ． 等 腰 三 角 形 两 腰 上 的 高 相 等 ， 这 个 命 题 的 逆 命 题 是 ____________________________________________，这个逆命题是__________命题． 17．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD 的面积为________． 第 17 题图 第 18 题图 18．如图，△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝ ________°. 19．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E， 线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.若 BF＝2，则 PE 的长为________． 第 19 题图 第 20 题图 20．如图，直线 m，n 交于点 B，且夹角为 50°，点 A 是直线 m 上的点，在直线 n 上寻 找一点 C 使△ABC 是等腰三角形，这样的 C 点有________个． 三、解答题(本大题共 7 小题，各题分值见题号后，共 80 分) 21．(8 分)如图，在长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE＝CF， EF⊥DF，求证：BF＝CD
22.(8分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BC的平分线AE交BC于点E,∠ACB 的平分线CD交AE于点D,∠ADC=125°求∠ACB和∠BAC的度数 23.(10分)如图,已知P点是∠AOB平分线上一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足为C、 (1)求证:∠PCD=∠PDC; (2)求证:OP垂直平分线段CD B 24.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E,F (1)求证:△BED≌△CFD (2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长
22．(8 分)如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC，∠BAC 的平分线 AE 交 BC 于点 E，∠ACB 的平分线 CD 交 AE 于点 D，∠ADC＝125°.求∠ACB 和∠BAC 的度数． 23．(10 分)如图，已知 P 点是∠AOB 平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为 C、 D. (1)求证：∠PCD＝∠PDC； (2)求证：OP 垂直平分线段 CD. 24．(12 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F. (1)求证：△BED≌△CFD； (2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC 的周长．
25.(12分)如图,AD是△ABC的边BC上的高,∠B=60°,∠C=45°,AC=6求: (1)AD的长 (2)△ABC的面积 A 26.(14分)如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点 (1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论 (2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论 B
25．(12 分)如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求： (1)AD 的长； (2)△ABC 的面积． 26．(14 分)如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 上的点． (1)若 AD＝BE＝CF，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； (2)若△DEF 是等边三角形，问 AD＝BE＝CF 成立吗？试证明你的结论．
27.(16分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是 x轴上一个动点(不与原点O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边△APQ (1)求点B的坐标; (2)在点P的运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?如不改变,求出其大小;如改 请说明理由 (3)连接OQ,当OQ∥AB时,求点P的坐标 B B 备用图
27．(16 分)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，2)，△AOB 为等边三角形，P 是 x 轴上一个动点(不与原点 O 重合)，以线段 AP 为一边在其右侧作等边△APQ. (1)求点 B 的坐标； (2)在点 P 的运动过程中，∠ABQ 的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改 变，请说明理由； (3)连接 OQ，当 OQ∥AB 时，求点 P 的坐标．
参考答案与解析 1.A2B3.A4.D5C6.B7C8C 9.A10C11D12.A13.B14.D 15.C解析:∵在△ABA1中,∠A=70°,AB=A1B,∴∠BALA=70°∵Al2=A1B1, ∠A1A2B1=∠A1B1A2.又∵∠ALA2B1+∠A1B1A2=∠BA1A,∴∠B1A ∠BALA 35°;同 理可得∠B2A42=1∠B1A241=×359=175,∠B4A4=1×17.5°=35,…:∠ Mn-IAnB1= 故选C 16.如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形真 17.181852193 20.4解析:∵△ABC为等腰三角形,∴应分以下三种情况.(1)当以C为顶点时,则 有BC=AC,即点C在线段AB的垂直平分线上,可知点C只能在直线m的上方,有一个 点:(2)当以A为顶点时,则有AC=AB,由两直线夹角为50°可知点C只能在直线m的上方, 有一个点:(3)当以B为顶点时,则有AB=CB,此时点C可以在直线m的上方,也可以在 直线m的下方,有两个点.综上可知满足条件的C点有4个 21.证明:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠C=90°(1分)∵EF⊥DF,∴∠EFD 0°,∴∠EFB+∠CFD=90°∴∠EFB+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFD(4分)在△BEF ∠BEF=∠CFD 和△CFD中,BE=CF △BEF≌△ CFD(ASA),(7分)∴BF=CD(8分) ∠B=∠C, 22.解:∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC(3分)∵∠ADC=125°,∴∠DCE=∠ADC ∠DEC=125°-90°=35°(5分)CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=70°(6分)∵AB AC,∴∠B=∠ACB=70°,∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=40°(8分) 23.证明:(1)∵P是∠AOB平分线上的一点,且PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD,∴∠PCD ∠PDC(4分) (2)在R△OCP和Rt△ODP中,∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL), (7分)∴OC=OD.又∴PC=PD,则点O和点P均在线段CD的垂直平分线上,∴OP垂直平 分线段CD(10分) 24.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°∵D 是BC的中点,∴BD=CD(3分)在△BED与△CFD中,∠DEB=∠DFC,∠B=∠C,BD CD,∴△BED≌△CFD(AAS).(6分) (2)解:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠B=60°(8 分)又∵DE⊥AB,∴∠EDB=30°在Rt△BED中,BD=2BE=2,∴BC=2BD=4,(10 分)∴△ABC的周长为AB+BC+CA=3BC=12.(12分) 25.解:(1)∵∠C=45°,AD⊥BC,∴∠DAC=45°,∴AD=CD(2分)∵AC2=AD2+CD2
参考答案与解析 1．A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.C 9．A 10.C 11.D 12.A 13.B 14.D 15．C 解析：∵在△ABA1 中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°.∵A1A2＝A1B1， ∴∠A1A2B1＝∠A1B1A2.又∵∠A1A2B1＋∠A1B1A2＝∠BA1A，∴∠B1A2A1＝ ∠BA1A 2 ＝35°；同 理可得∠B2A3A2＝ 1 2 ∠B1A2A1＝ 1 2 ×35°＝17.5°，∠B3A4A3＝ 1 2 ×17.5°＝ 35° 4 ，∴∠An－1AnBn－1＝ 70° 2 n－1 .故选 C. 16．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 17．18 18.52 19. 3 20．4 解析：∵△ABC 为等腰三角形，∴应分以下三种情况．(1)当以 C 为顶点时，则 有 BC＝AC，即点 C 在线段 AB 的垂直平分线上，可知点 C 只能在直线 m 的上方，有一个 点；(2)当以 A 为顶点时，则有 AC＝AB，由两直线夹角为 50°可知点 C 只能在直线 m 的上方， 有一个点；(3)当以 B 为顶点时，则有 AB＝CB，此时点 C 可以在直线 m 的上方，也可以在 直线 m 的下方，有两个点．综上可知满足条件的 C 点有 4 个． 21．证明：∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.(1 分)∵EF⊥DF，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.(4 分)在△BEF 和△CFD 中， ∠BEF＝∠CFD， BE＝CF， ∠B＝∠C， ∴△BEF≌△CFD(ASA)，(7 分)∴BF＝CD.(8 分) 22．解：∵AB＝AC，AE 平分∠BAC，∴AE⊥BC.(3 分)∵∠ADC＝125°，∴∠DCE＝∠ADC －∠DEC＝125°－90°＝35°.(5 分)∵CD 平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.(6 分)∵AB＝ AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.(8 分) 23．证明：(1)∵P 是∠AOB 平分线上的一点，且 PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，∴∠PCD ＝∠PDC.(4 分) (2)在 Rt△OCP 和 Rt△ODP 中，∵OP＝OP，PC＝PD，∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL)， (7 分)∴OC＝OD.又∵PC＝PD，则点 O 和点 P 均在线段 CD 的垂直平分线上，∴OP 垂直平 分线段 CD.(10 分) 24．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.(3 分)在△BED 与△CFD 中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD ＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．(6 分) (2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(8 分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.在 Rt△BED 中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(10 分)∴△ABC 的周长为 AB＋BC＋CA＝3BC＝12.(12 分) 25．解：(1)∵∠C＝45°，AD⊥BC，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.(2 分)∵AC2＝AD2＋CD2
∴62=2AD,∴AD=3y2(5分) (2)在R△ADB中,∵∠B=60°,∴∠BAD=30°,∴AB=2BD.(7分)∵AB2=BD2+AD, 28DP=BD+AD,∴BD=V6(10分):m=2BCAD=2BD+DO)AD=2× 32×32=9+33(12分) 26.解:(1)△DEF是等边三角形.(2分)证明如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠A ∠B=∠C,AB=BC=CA又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE ∴DF=ED=FE(5分)∴△DEF是等边三角形.(6分) A B E (2)4D=BE=CF成立.(8分)证明如下:如图,∵△DEF是等边三角形,∴DE=EF= FD,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°∴∠1+∠2=120°(10分)∵△ABC是等边三角形,∴∠A ∠B=∠C=60°,∴∠2+∠3=120°,∴∠1=∠3.同理∠3=∠4,易证 △ADF≌△BED≌△CFE(AAS),∴AD=BE=CF、(14分) 27解:(1)如图①,过点B作BC⊥x轴于点C∴△AOB为等边三角形,且OA=2,∴∠AOB 60°,OB=OA=2,∴∠BOC=30°(2分)又∵∠OCB=90°,∴BC==OB=1,OC √OB2-BC=√3,;点B的坐标为√3,1).(4分) B 图① 图 (2)∠ABQ=90°,始终不变.(5分)理由如下:∵△APQ,△AOB均为等边三角形,∴AP =AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB,∴∠PAO=∠Q4B(6分)在△APO与△AQB中, AP=AQ ∠PAO=∠QAB,∴△APO≌△AQB(SAS),∴∠ABQ=∠AOP=90°(8分) AO=AB, (3)如图②,当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方.∵AB∥OQ,∴∠BC 180°-∠ABQ=90°,∠BOQ=∠ABO=60°,∴∠OBQ=909—∠BOQ=30°又∵OB=O4=2 0=OB=1,∴BQ=√5(0分)由(2)可知,△APO≌△AQB,:.OP=BQ=V5,∴点P 的坐标为(-√3,0).(16分)
∴6 2＝2AD2，∴AD＝3 2.(5 分) (2)在 Rt△ADB 中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.(7 分)∵AB2＝BD2＋AD2， ∴(2BD) 2＝BD2＋AD2，∴BD＝ 6.(10 分)∴S△ABC＝ 1 2 BC·AD＝ 1 2 (BD＋DC)·AD＝ 1 2 ×( 6＋ 3 2)×3 2＝9＋3 3.(12 分) 26．解：(1)△DEF 是等边三角形．(2 分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝ ∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴DF＝ED＝FE.(5 分)∴△DEF 是等边三角形．(6 分) (2)AD＝BE＝CF 成立．(8 分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE＝EF＝ FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(10 分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 60°， ∴∠2 ＋ ∠3 ＝ 120°， ∴∠1 ＝ ∠3. 同 理 ∠3 ＝ ∠4 ， 易 证 △ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.(14 分) 27．解：(1)如图①，过点B 作BC⊥x轴于点C.∵△AOB 为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB ＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.(2 分)又∵∠OCB＝90°，∴BC＝ 1 2 OB＝1，OC＝ OB2－BC2＝ 3，∴点 B 的坐标为( 3，1)．(4 分) (2)∠ABQ＝90°，始终不变．(5 分)理由如下：∵△APQ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ，AO＝AB ，∠PAQ＝∠OAB ，∴∠PAO＝∠QAB.(6 分) 在△APO 与△AQB 中， AP＝AQ， ∠PAO＝∠QAB， AO＝AB， ∴△APO≌△AQB(SAS)，∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(8 分) (3)如图②，当点 P 在 x 轴负半轴上时，点 Q 在点 B 的下方．∵AB∥OQ，∴∠BQO＝ 180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°，∴∠OBQ＝90°－∠BOQ＝30°.又∵OB＝OA＝2， ∴OQ＝ 1 2 OB＝1，∴BQ＝ 3.(10 分)由(2)可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝ 3，∴点 P 的坐标为(－ 3，0)．(16 分)
