核心素养专题:古代问题中的勾股定理 ◆类型一勾股定理应用中的实际问题 1.【“引葭赴岸”问题】如图,在水池的正中央有一根芦苇,池底长10尺,它高出水 面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,则这根芦苇的长度 是() A.10尺B.1l尺 C.12尺D.13尺 第1题图 第2题图 2.(2017西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有户不知高广,竿不知长 短,横之不出四尺,纵之不出二尺,斜之适出,问户斜几何 注:横放,竿比门宽长出四尺;竖放,竿比门高长出二尺,斜放恰好能出去 解决下列问题: (1)示意图中,线段CE的长为 尺,线段DF的长为 (2)设户斜长x,则可列方程为 3.《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》 中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高 曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?” 译文:“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时 秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多 长?”根据题意,可得秋千的绳索长为 尺 4.(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周 三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看 作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处 缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度为
核心素养专题：古代问题中的勾股定理 ◆类型一 勾股定理应用中的实际问题 1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长 10 尺，它高出水 面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度 是( ) A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺 第 1 题图 第 2 题图 2．(2017·西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长 短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何． 注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去． 解决下列问题： (1)示意图中，线段 CE 的长为________尺，线段 DF 的长为________尺； (2)设户斜长 x，则可列方程为________________． 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》 中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高 曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺(水平距离)时， 秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多 长？”根据题意，可得秋千的绳索长为________尺． 4．(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周 三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看 作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处 缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度为________尺．
◆类型二勾股定理的证明问题 5.(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图 后人称其为“赵爽弦图”,如图①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形 IJKL的边长为2,且U∥AB,则正方形EFGH的边长为 B 6.中国古代对勾股定理有深刻的认识 (1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明:用四个全等的图①所示的直 角三角形拼成一个如图②所示的大正方形,中间空白部分是一个小正方形.如果大正方形的 面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a,b,求(a+b)2的值 (2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究,他著有《积求勾股法》,用现代的数学语言 描述就是:若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍,设其面积为S,则求其边长的 方法:第一步=m:第二步:√=k第三步:分别用3,4,5乘以k,得三边长,当面 积S=150时,请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长
◆类型二 勾股定理的证明问题 5．(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”， 后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形 ABCD 的边长为 14，正方形 IJKL 的边长为 2，且 IJ∥AB，则正方形 EFGH 的边长为________． 6．中国古代对勾股定理有深刻的认识． (1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直 角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的 面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边分别为 a，b，求(a＋b)2 的值； (2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言 描述就是：若直角三角形的三边长分别为 3，4，5 的整数倍，设其面积为 S，则求其边长的 方法：第一步S 6 ＝m；第二步： m＝k；第三步：分别用 3，4，5 乘以 k，得三边长．当面 积 S＝150 时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．
参考答案与解析 D2(1)42(2)(x-4)2+(x-2)2=x23.14.5 4.25解析:将圆柱侧面展开,如图,AC=3尺,CD 5(尺),∴葛藤的最短长度为5×5=25(尺 6.解:(1)根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积是ab×4=1 2,即2ab=12,则(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25,即(a+b)2=25 ()当=130时,k=√m=S=1=5=5,所以三边长分别为:3×5=15,4×5 20,5×5=25,所以这个直角三角形的三边长为15,20,2
参考答案与解析 1．D 2.(1)4 2 (2)(x－4)2＋(x－2)2＝x 2 3.14.5 4．25 解析：将圆柱侧面展开，如图，AC＝3 尺，CD＝ 20 5 ＝4(尺)，∴AD＝ 3 2＋4 2＝ 5(尺)，∴葛藤的最短长度为 5×5＝25(尺)． 5．10 6．解：(1)根据勾股定理可得 a 2＋b 2＝13，四个直角三角形的面积是1 2 ab×4＝13－1＝ 12，即 2ab＝12，则(a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2＝13＋12＝25，即(a＋b) 2＝25. (2)当 S＝150 时，k＝ m＝ S 6 ＝ 150 6 ＝ 25＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5 ＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为 15，20，25