思想方法专题:勾股定理中的思想方法 ◆类型一分类讨论思想 、直角边与斜边不明需分类讨论 1.一直角三角形的三边长分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为【易错3】 A.13B.5 C.13或5D.4 2.直角三角形的两边长是6和8,则这个三角形的面积是 锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论 3.★(2016东营中考)在△ABC中,AB=10,AC=2√10,BC边上的高AD=6,则BC 的长为【易错4】() A.10B.8 6或 4.在等腰△ABC中,已知AB=AC=5,△ABC的面积为10,则BC= 错4】 ◆类型二方程思想 、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长 5.如图,小华将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末 端拉到距离旗杆δm处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为 折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长 如图,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C上.若 6,BC=9,求BF的长.【方法4】 三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长
思想方法专题：勾股定理中的思想方法 ◆类型一 分类讨论思想 一、直角边与斜边不明需分类讨论 1．一直角三角形的三边长分别为 2，3，x，那么以 x 为边长的正方形的面积为【易错 3】 ( ) A．13 B．5 C．13 或 5 D．4 2．直角三角形的两边长是 6 和 8，则这个三角形的面积是____________． 二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论 3．★(2016·东营中考)在△ABC 中，AB＝10，AC＝2 10，BC 边上的高 AD＝6，则 BC 的长为【易错 4】( ) A．10 B．8 C．6 或 10 D．8 或 10 4．在等腰△ABC 中，已知 AB＝AC＝5，△ABC 的面积为 10，则 BC＝____________．【易 错 4】 ◆类型二 方程思想 一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长 5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末 端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m，则旗杆的高度为________． 二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长 6．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C′上．若 AB ＝6，BC＝9，求 BF 的长．【方法 4】 三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长
7.(2016益阳中考)如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面 ◆类型三利用转化思想求最值 8.(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B 点,那么它的最短路线的长是 cm.【方法5】 9.如图,A,B两个村在河CD的同侧,且AB=√13wm,A,B两村到河距离分别 为AC=1{m,BD=3kmn现要在河边CD上建一水厂分别向A,B两村输送自来水,铺设水 管的工程费每千米需300元.请你在河岸CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省 并求出铺设水管的总费用W(元).【方法5】 A C 参考答案与解析 C224或67
7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面 积． ◆类型三 利用转化思想求最值 8．(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为 4cm 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱外表面爬到 B 点，那么它的最短路线的长是________cm.【方法 5】 9．如图，A，B 两个村在河 CD 的同侧，且 AB＝ 13km，A，B 两村到河的距离分别 为 AC＝1km，BD＝3km.现要在河边 CD 上建一水厂分别向 A，B 两村输送自来水，铺设水 管的工程费每千米需 3000 元．请你在河岸 CD 上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省， 并求出铺设水管的总费用 W(元)．【方法 5】 参考答案与解析 1．C 2.24 或 6 7
3.C解析:根据题意画出图形,如图所示,图①中,AB=10,AC=2√10,AD=6 在R△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD=√AB2-AD3=√10 8,CD= AC-AD2=y√(2√0)2-62=2,此时BC=BD+CD=8+2=10:图②中,同理可得BD 8,CD=2,此时BC=BD-CD=8-2=6综上所述,BC的长为6或10.故选C 图① 4.2√5或4解析:如图①,△ABC为锐角三角形,过点C作CD⊥AB,交AB于 点D.:sS△BC=10,AB=5,:1ABCD=10,解得CD=4在R△ACD中,由勾股定理得AD =AC-CDp2=√52-4=3,∴BD=AB-AD=5-3=2在Rt△CBD中,由勾股定理得BC BD2+CD +42=2 C B 图① 图② 如图②,△ABC为钝角三角形,过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D同上可得 D=4在Rt△ACD中,AC=5,由勾股定理得AD=VAC2-CD=52-42=3.BD=BA+ AD=5+3=8在Rt△BDC中,由勾股定理得BC=√BD+CD=82+4=45综上所述, BC的长度为2√5或45 5.17m 6.解:∵折叠前后两个图形的对应线段相等,∴CF=CF设BF=x.∵BC=9,∴CF =CF=BC-BF=9-x∵C是AB的中点,AB=6,∴BC=AB=3在Rt△CBF中,由勾股 定理得CP2=BF2+CB2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4,即BF的长为4 7.解:过A作AD⊥BC交BC于点D在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD =x,则CD=BC-BD=14-x在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD 32-x2,AD=AC2-CD=132-(14-x)2,即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9在 R△ABD中,由勾股定理得AD=√AB2-BD=④52-9=12:.saBC=BCAD=1×14×12 =84 9.解:如图,作点A关于CD的对称点A,连接BA交CD于O,点O即为水厂的位 置.过点A作A'E∥CD交BD的延长线于点E,过点A作AF⊥BD于点F,则AF=AE, DF=AC=1km,DE=AC=1km.∴BF=BD-FD=3-1=2(km).在R△ABF中,AF2=AB2 BF2=13-22=9,∴AF=3km∴AE=3km在Rt△ABE中,BE=BD+DE=4km,由勾股 定理得AB=E+BE=32+4=5km).∴W=30005=-15000元.故铺设水管的总
3．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB＝10，AC＝2 10，AD＝6. 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，根据勾股定理得 BD＝ AB2－AD2＝ 102－6 2＝8，CD＝ AC2－AD2＝ （2 10）2－6 2＝2，此时 BC＝BD＋CD＝8＋2＝10；图②中，同理可得 BD ＝8，CD＝2，此时 BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为 6 或 10.故选 C. 4．2 5或 4 5 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 于 点 D.∵S△ABC＝10，AB＝5，∴ 1 2 AB·CD＝10，解得 CD＝4.在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AD ＝ AC2－CD2＝ 5 2－4 2＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在 Rt△CBD 中，由勾股定理得 BC ＝ BD2＋CD2＝ 2 2＋4 2＝2 5； 如图②，△ABC 为钝角三角形，过点 C 作 CD⊥AB，交 BA 的延长线于点 D.同上可得 CD＝4.在 Rt△ACD 中，AC＝5，由勾股定理得 AD＝ AC2－CD2＝ 5 2－4 2＝3.∴BD＝BA＋ AD＝5＋3＝8.在 Rt△BDC 中，由勾股定理得 BC＝ BD2＋CD2＝ 8 2＋4 2＝4 5.综上所述， BC 的长度为 2 5或 4 5. 5．17m 6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设 BF＝x.∵BC＝9，∴C′F ＝CF＝BC－BF＝9－x.∵C′是 AB 的中点，AB＝6，∴BC′＝ 1 2 AB＝3.在 Rt△C′BF 中，由勾股 定理得 C′F 2＝BF2＋C′B 2，即(9－x) 2＝x 2＋3 2，解得 x＝4，即 BF 的长为 4. 7．解：过 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D.在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设 BD ＝x，则 CD＝BC－BD＝14－x.在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AD2＝AB2－BD2 ＝152－x 2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x) 2，即 152－x 2＝132－(14－x) 2，解得 x＝9.在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 AD＝ AB2－BD2＝ 152－9 2＝12.∴S△ABC＝ 1 2 BC·AD＝ 1 2 ×14×12 ＝84. 8．4 5 9．解：如图，作点 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 BA′交 CD 于 O，点 O 即为水厂的位 置．过点 A′作 A′E∥CD 交 BD 的延长线于点 E，过点 A 作 AF⊥BD 于点 F，则 AF＝A′E， DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2 －BF2＝13－2 2＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在 Rt△A′BE 中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股 定理得 A′B＝ A′E 2＋BE2＝ 3 2＋4 2＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总
费用为15000元 B FDE A
费用为 15000 元．