类比归纳专题:证明线段相等的基本思路 理条件、定思路,几何证明也容易 ◆类型一已知“边的关系(含公共边)”或“边角关系”,在两个三角形中用全等 1.如图,已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证: (1)AC=AD:(2)CF=DF. 2.如图,∠C=90°,BC=AC,D,E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB的中 点.求证:△MDE是等腰三角形 ◆类型二已知角度或平行关系,要证的两条线段在同一个三角形中用“等边对等角” 3.如图,在△ABC中,CE,CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG,EF∥BC交 AC于点D,求证:DE=DF 4.(2016孝南区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AD交BC
类比归纳专题：证明线段相等的基本思路 ——理条件、定思路，几何证明也容易 ◆类型一 已知“边的关系(含公共边)”或“边角关系”，在两个三角形中用全等 1．如图，已知 AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F 为垂足，求证： (1)AC＝AD；(2)CF＝DF. 2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D，E 分别在 BC 和 AC 上，且 BD＝CE，M 是 AB 的中 点．求证：△MDE 是等腰三角形． ◆类型二 已知角度或平行关系，要证的两条线段在同一个三角形中用“等边对等角” 3．如图，在△ABC 中，CE，CF 分别平分∠ACB 和△ACB 的外角∠ACG，EF∥BC 交 AC 于点 D，求证：DE＝DF. 4．(2016·孝南区期末)如图，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AD 交 BC
于D,过C作CN⊥AD交AD于H,交AB于N (1)求证:AN=AC (2)试判断BN与CD的数量关系,并说明理由 ◆类型三已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质 5.如图,△ABC中,∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D,过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,求证:BE=CF 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC BD=DF求证:
于 D，过 C 作 CN⊥AD 交 AD 于 H，交 AB 于 N. (1)求证：AN＝AC； (2)试判断 BN 与 CD 的数量关系，并说明理由． ◆类型三 已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质 5．如图，△ABC 中，∠CAB 的平分线与 BC 的垂直平分线 DG 相交于 D，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF. 6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上， BD＝DF.求证：
(1)CF=EB:(2)AB=AF+2EB 参考答案与解析 1.证明:(1)在△ABC和△AED中,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,∴△ABC≌△AE AC=AD: 2)由(1)知AC=AD,AF⊥CD,∴CF=DF 2.证明:连接CM∴∵∠C=90°,BC=AC,M是AB的中点,∴∠B=∠A=45°,∠ACM ∠BCM=∠BCA=45°=∠B,∴CM=BM在△MBD和△MCE中,BM=CM,∠B ∠MCE,BD=CE,∴△MBD≌△MCE,∴DM=EM,∴△MDE是等腰三角形 M 3.证明:∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=∠BCE∴CF为△ABC外角∠ACG 的平分线,∴∠ACF=∠GCF∵EF∥BC,∴∠GCF=∠F,∠BCE=∠CEF,∴∠ACE ∠CEF,∠F=∠DCF,∴CD=ED,CD=DF,∴DE=DF 4.(1)证明:∵CN⊥AD,∠AHN=∠AHC=90°又∵AD平分∠BAC,∴∠MAH=∠CAH. 又∵在△AN和△ACH中,∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°,∠AHC+∠CAH+∠ACH 180°∴∠ANH=∠ACH,∴AN=AC
(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 参考答案与解析 1．证明：(1)在△ABC 和△AED 中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED， ∴AC＝AD； (2)由(1)知 AC＝AD，AF⊥CD，∴CF＝DF. 2．证明：连接 CM.∵∠C＝90°，BC＝AC，M 是 AB 的中点，∴∠B＝∠A＝45°，∠ACM ＝∠BCM＝ 1 2 ∠BCA＝45°＝∠B，∴CM＝BM.在△MBD 和△MCE 中，BM＝CM，∠B＝ ∠MCE，BD＝CE，∴△MBD≌△MCE，∴DM＝EM，∴△MDE 是等腰三角形． 3．证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE.∵CF 为△ABC 外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF＝∠GCF.∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE＝∠CEF，∴∠ACE＝ ∠CEF，∠F＝∠DCF，∴CD＝ED，CD＝DF，∴DE＝DF. 4．(1)证明：∵CN⊥AD，∴∠AHN＝∠AHC＝90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠NAH＝∠CAH. 又∵在△ANH 和△ACH 中，∠AHN＋∠NAH＋∠ANH＝180°，∠AHC＋∠CAH＋∠ACH＝ 180°∴∠ANH＝∠ACH，∴AN＝AC；
AN=AC, (2)解:BN=CD理由如下:连接ND.在△ND和△ACD中,∠MD=CAD ID=AD △AND≌△ACD(SAS),∴DN=DC,∠AND=∠ACD又∵∠ACB=2∠B,∴∠AND=2∠B 又∵∠AND=∠B+∠NDB,∴∠B=∠NDB,∴NB=ND,∴BN=DN=CD 5.证明:连接BD,CD∵AD是∠FAE的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF∴∵DG 是BC的垂直平分线,∴BD=CD∴Rt△CDF≌Rt△BDE,∴BE=CF 6.证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC又∵BD=DF, Rt△CFD≌Rt△EBD(HL).∴CF=EB (2)在Rt△ADC和R△ADE中,AD=AD,DC=DE,∴Rt△ADC≌Rt△ADE,∴AC= AE, ..AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB
(2) 解：BN＝CD. 理由如下：连接 ND. 在△AND 和△ACD 中， AN＝AC， ∠NAD＝CAD， AD＝AD， ∴△AND≌△ACD(SAS)，∴DN＝DC，∠AND＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠AND＝2∠B. 又∵∠AND＝∠B＋∠NDB，∴∠B＝∠NDB，∴NB＝ND，∴BN＝DN＝CD. 5．证明：连接 BD，CD.∵AD 是∠FAE 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵DG 是 BC 的垂直平分线，∴BD＝CD.∴Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE＝CF. 6．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.又∵BD＝DF， ∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB； (2)在 Rt△ADC 和 Rt△ADE 中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝ AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB