解题技巧专题:勾股定理与面积问题 全方位求面积,一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1.直角三角形的两条直角边的长分别为5cm,12cm,则斜边上的高线的长为 A -cm B. 13cm C. cm D.cm 2.(2017乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为1, 则点C到线段AB所在直线的距离是 ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3.已知R△ABC中,∠C=90°,若a+b=12cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是() 4. 48c B. 24cm C. 16cm D. 1lcm 4.若一个直角三角形的面积为6cm2,斜边长为5cm,则该直角三角形的周长是 A. 7cm B. 10cm (5+V37)cm D. 12cm 5.(2017襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数 学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个 大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形 的面积为13,则小正方形的面积为() A.3B.4C.5D.6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6.如图,已知AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形ABCD的面 7.如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2,求四边形ABCD的面积.【方
解题技巧专题:勾股定理与面积问题 ——全方位求面积,一网搜罗 ◆类型一 三角形中利用面积法求高 1.直角三角形的两条直角边的长分别为 5cm,12cm,则斜边上的高线的长为( ) A. 80 13cm B.13cm C. 13 2 cm D. 60 13cm 2.(2017·乐山中考)点 A、B、C 在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为 1, 则点 C 到线段 AB 所在直线的距离是________. ◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度 3.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 a+b=12cm,c=10cm,则 Rt△ABC 的面积是( ) A.48cm2 B.24cm2 C.16cm2 D.11cm2 4.若一个直角三角形的面积为 6cm2,斜边长为 5cm,则该直角三角形的周长是( ) A.7cm B.10cm C.(5+ 37)cm D.12cm 5.(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数 学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个 大正方形,设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b,若(a+b)2=21,大正方形 的面积为 13,则小正方形的面积为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 ◆类型三 巧妙利用割补法求面积 6.如图,已知 AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形 ABCD 的面 积. 7.如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2,求四边形 ABCD 的面积.【方
法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方 形的边长为9cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 参考答案与解析 2.35解析:如图,连接AC,BC,设点C到线段AB所在直线的距离是h∵S△ABC 3×3-×2X1-×2×1—×3×3 AB 2+22 故答案为 5 BECI 3.D4.D5C 6.解:连接AC,过点C作CE⊥AD交AD于点E.AB⊥BC,∴∠CBA=90°在Rt△ABC
法 6】 ◆类型四 利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方 形的边长为 9cm,则正方形 A,B,C,D 的面积之和为________cm2 . 参考答案与解析 1.D 2. 3 5 5 解析:如图,连接 AC,BC,设点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 h.∵S△ABC =3×3- 1 2 ×2×1- 1 2 ×2×1- 1 2 ×3×3-1=9-1-1- 9 2 -1= 3 2 ,AB= 1 2+2 2= 5,∴ 1 2 × 5h= 3 2 ,∴h= 3 5 5 .故答案为3 5 5 . 3.D 4.D 5.C 6.解:连接 AC,过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 于点 E.∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°.在 Rt△ABC
中,由勾股定理得AC=√AB2+BC=√52+12=13:CD=13,;AC=CD:CE⊥AD,;AE D=×10=5在R△ACE中,由勾股定理得CE=Vc=4E=3-5=12:sm 4BCD=S△1BC+SCD=24BBC+21DCE=2×5×12+2×10×12=90 7.解:延长AD,BC交于点E.∴∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°AE=2AB=8在 Rt△ABE中,由勾股定理得BE=√AE2-AB=82-42=45∵∠ADC=90°,∴∠CDE 90°,:CE=2CD=4在R△CDE中,由勾股定理得DE=CE-DC=42-2=23∴S 四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE=×4×4 2×2√3=6 8.81
中,由勾股定理得 AC= AB2+BC2= 5 2+122=13.∵CD=13,∴AC=CD.∵CE⊥AD,∴AE = 1 2 AD= 1 2 ×10=5.在 Rt△ACE 中,由勾股定理得 CE= AC2-AE2= 132-5 2=12.∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△CAD= 1 2 AB·BC+ 1 2 AD·CE= 1 2 ×5×12+ 1 2 ×10×12=90. 7.解:延长 AD,BC 交于点 E.∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8.在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 BE= AE2-AB2= 8 2-4 2=4 3.∵∠ADC=90°,∴∠CDE= 90°,∴CE=2CD=4.在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 DE= CE2-DC2= 4 2-2 2=2 3.∴S 四边形 ABCD=S△ABE-S△CDE= 1 2 AB·BE- 1 2 CD·DE= 1 2 ×4×4 3- 1 2 ×2×2 3=6 3. 8.81