解题技巧专题:勾股定理与面积问题 全方位求面积,一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1.直角三角形的两条直角边的长分别为5cm,12cm,则斜边上的高线的长为 A -cm B. 13cm C. cm D.cm 2.(2017乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为1, 则点C到线段AB所在直线的距离是 ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3.已知R△ABC中,∠C=90°,若a+b=12cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是() 4. 48c B. 24cm C. 16cm D. 1lcm 4.若一个直角三角形的面积为6cm2,斜边长为5cm,则该直角三角形的周长是 A. 7cm B. 10cm (5+V37)cm D. 12cm 5.(2017襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数 学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个 大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形 的面积为13,则小正方形的面积为() A.3B.4C.5D.6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6.如图,已知AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形ABCD的面 7.如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2,求四边形ABCD的面积.【方
解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一 三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为 5cm，12cm，则斜边上的高线的长为( ) A. 80 13cm B．13cm C. 13 2 cm D. 60 13cm 2．(2017·乐山中考)点 A、B、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为 1， 则点 C 到线段 AB 所在直线的距离是________． ◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a＋b＝12cm，c＝10cm，则 Rt△ABC 的面积是( ) A．48cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为 6cm2，斜边长为 5cm，则该直角三角形的周长是( ) A．7cm B．10cm C．(5＋ 37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数 学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个 大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若(a＋b)2＝21，大正方形 的面积为 13，则小正方形的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三 巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知 AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形 ABCD 的面 积． 7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形 ABCD 的面积．【方
法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方 形的边长为9cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 参考答案与解析 2.35解析:如图,连接AC,BC,设点C到线段AB所在直线的距离是h∵S△ABC 3×3-×2X1-×2×1—×3×3 AB 2+22 故答案为 5 BECI 3.D4.D5C 6.解:连接AC,过点C作CE⊥AD交AD于点E.AB⊥BC,∴∠CBA=90°在Rt△ABC
法 6】 ◆类型四 利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边长为 9cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2 . 参考答案与解析 1．D 2. 3 5 5 解析：如图，连接 AC，BC，设点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 h.∵S△ABC ＝3×3－ 1 2 ×2×1－ 1 2 ×2×1－ 1 2 ×3×3－1＝9－1－1－ 9 2 －1＝ 3 2 ，AB＝ 1 2＋2 2＝ 5，∴ 1 2 × 5h＝ 3 2 ，∴h＝ 3 5 5 .故答案为3 5 5 . 3．D 4.D 5.C 6．解：连接 AC，过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 于点 E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在 Rt△ABC
中,由勾股定理得AC=√AB2+BC=√52+12=13:CD=13,;AC=CD:CE⊥AD,;AE D=×10=5在R△ACE中,由勾股定理得CE=Vc=4E=3-5=12:sm 4BCD=S△1BC+SCD=24BBC+21DCE=2×5×12+2×10×12=90 7.解:延长AD,BC交于点E.∴∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°AE=2AB=8在 Rt△ABE中,由勾股定理得BE=√AE2-AB=82-42=45∵∠ADC=90°,∴∠CDE 90°,:CE=2CD=4在R△CDE中,由勾股定理得DE=CE-DC=42-2=23∴S 四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE=×4×4 2×2√3=6 8.81
中，由勾股定理得 AC＝ AB2＋BC2＝ 5 2＋122＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE ＝ 1 2 AD＝ 1 2 ×10＝5.在 Rt△ACE 中，由勾股定理得 CE＝ AC2－AE2＝ 132－5 2＝12.∴S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝ 1 2 AB·BC＋ 1 2 AD·CE＝ 1 2 ×5×12＋ 1 2 ×10×12＝90. 7．解：延长 AD，BC 交于点 E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 BE＝ AE2－AB2＝ 8 2－4 2＝4 3.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝ 90°，∴CE＝2CD＝4.在 Rt△CDE 中，由勾股定理得 DE＝ CE2－DC2＝ 4 2－2 2＝2 3.∴S 四边形 ABCD＝S△ABE－S△CDE＝ 1 2 AB·BE－ 1 2 CD·DE＝ 1 2 ×4×4 3－ 1 2 ×2×2 3＝6 3. 8．81