命题点1:三角形相关性质的综合运用 ◆类型一命题正误的判断 (2017贵阳模拟)下列说法:①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;②三边 长分别是1,√10,3的三角形是直角三角形;③三个角之比为3:4:5的三角形是直角三 角形.其中正确的有() A.0个B.1个C.2个D.3个 2.下列命题:①两直角边对应相等的两个直角三角形全等:②等腰三角形顶角的平分 线把它分成两个全等的三角形;③三角形的外角大于三角形的任何一个内角:④若等腰三角 形的两边长为2和5,则它的周长为9或12其中假命题有() A.1个B.2个C.3个D.4个 ◆类型二新定义与阅读理解型问题 3.定义:“到三角形的两个顶点距离相等的点,叫作此三角形的准外心”.如图①, 若PC=PB,则称点P为△ABC的准外心 A C A DB A 图① 图② (1)观察并思考,△ABC的准外心有个 (2)如图②,△ABC是等边三角形,CD⊥AB,准外心点P在高CD上,且PD=4B, 在图中找出点P,并求出∠APB的度数; (3)已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,斜边BC=5,AB=3,准外心点P在AC边上, 在图中找出P点,并求出PA的长 4.若经过三角形某一顶点的直线可把它分成两个小等腰三角形,那么我们称该三角形
命题点 1：三角形相关性质的综合运用 ◆类型一 命题正误的判断 1．(2017·贵阳模拟)下列说法：①有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形；②三边 长分别是 1， 10，3 的三角形是直角三角形；③三个角之比为 3∶4∶5 的三角形是直角三 角形．其中正确的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2．下列命题：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②等腰三角形顶角的平分 线把它分成两个全等的三角形；③三角形的外角大于三角形的任何一个内角；④若等腰三角 形的两边长为 2 和 5，则它的周长为 9 或 12.其中假命题有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ◆类型二 新定义与阅读理解型问题 3．定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心”．如图①， 若 PC＝PB，则称点 P 为△ABC 的准外心． (1)观察并思考，△ABC 的准外心有________个； (2)如图②，△ABC 是等边三角形，CD⊥AB，准外心点 P 在高 CD 上，且 PD＝ 1 2 AB， 在图中找出点 P，并求出∠APB 的度数； (3)已知△ABC 为直角三角形，∠A＝90°，斜边 BC＝5，AB＝3，准外心点 P 在 AC 边上， 在图中找出 P 点，并求出 PA 的长． 4．若经过三角形某一顶点的直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称该三角形
为等腰三角形过该顶点的生成三角形 (1)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,问△ABC是否是生成三角形?请说明理由 (2)如果等腰△DEF有一个内角为36°,那么请你画出简图说明△DEF是生成三角形要 求画出直线,标注出图中等腰三角形的顶角与底角的度数) B ◆类型三三角形相关性质与其他性质的综合 5.将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,然后绕点O逆时针旋转90°至△AOB的 位置.若点B的横坐标为2,则点A的坐标为() A B x P 第5题图 第6题图 6.★(2017贵阳模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6,CD为AB 边上的高,点P为射线CD上一动点,当点P运动到使△ABP为等腰三角形时,BP的长为 命题点2:等腰三角形中易漏解或多解的问题
为等腰三角形过该顶点的生成三角形． (1)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，问△ABC 是否是生成三角形？请说明理由； (2)如果等腰△DEF 有一个内角为 36°，那么请你画出简图说明△DEF 是生成三角形(要 求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角与底角的度数)． ◆类型三 三角形相关性质与其他性质的综合 5．将等腰直角三角形 AOB 按如图所示放置，然后绕点 O 逆时针旋转 90°至△A′OB′的 位置．若点 B 的横坐标为 2，则点 A′的坐标为( ) A．(1，1) B．( 2， 2) C．(－1，1) D．(－ 2， 2) 第 5 题图 第 6 题图 6．★(2017·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，CD 为 AB 边上的高，点 P 为射线 CD 上一动点，当点 P 运动到使△ABP 为等腰三角形时，BP 的长为 ____________． 命题点 2：等腰三角形中易漏解或多解的问题
◆类型四求长度时忽略三边关系【易错1】 7.一个等腰三角形的两边长分别是4,8,则它的周长为() A.12B.16C.20D.16或20 学习了三角形的有关内容后,张老师请同学们讨论这样一个问题:“已知一个等腰 三角形的周长是12,其中一条边长为3,求另两条边的长”,同学们经过片刻思考和讨论后, 小明同学举手说:“另两条边长为3,6或45,45.”你认为小明回答是否正确: 理由是 9.若等腰三角形的三边长分别为x+1,2x+3,9,则x ◆类型五当腰或底不明求角度时没有分类讨论 10.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为() A.100°B.40° 11.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为 12.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”.如 果等腰三角形的“内角正度值”为45°,那么该等腰三角形的顶角度数为 13.已知三角形纸片ABC中,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角 形纸片后,发现所得两纸片均为等腰三角形,求∠C的度数 ◆类型六三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 14.(2017·绥化中考)在等腰△ABC中,AD⊥BC交BC于点D若AD=BC,则△ABC 的顶角度数为 15.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,求顶角的度数.【易错3】 ◆类型七一边确定,另两边不定,确定三角形的个数时漏解【易错4】 16.如图,点A的坐标为(2,2),若点P在坐标轴上,且△APO为等腰三角形,则满 足条件的点P有()
◆类型四 求长度时忽略三边关系【易错 1】 7．一个等腰三角形的两边长分别是 4，8，则它的周长为( ) A．12 B．16 C．20 D．16 或 20 8．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们讨论这样一个问题：“已知一个等腰 三角形的周长是 12，其中一条边长为 3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和讨论后， 小明同学举手说：“另两条边长为 3，6 或 4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________， 理由是________________________． 9．若等腰三角形的三边长分别为 x＋1，2x＋3，9，则 x＝________． ◆类型五 当腰或底不明求角度时没有分类讨论 10．已知等腰三角形的一个内角为 40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A．100° B．40° C．40°或 100° D．60° 11．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ________． 12．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如 果等腰三角形的“内角正度值”为 45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________． 13．已知三角形纸片 ABC 中，∠A＝80°，点 D 是 AC 边上一点，沿 BD 方向剪开三角 形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，求∠C 的度数． ◆类型六 三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 14．(2017·绥化中考)在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交 BC 于点 D.若 AD＝ 1 2 BC，则△ABC 的顶角度数为____________． 15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 20°，求顶角的度数．【易错 3】 ◆类型七 一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错 4】 16．如图，点 A 的坐标为(2，2)，若点 P 在坐标轴上，且△APO 为等腰三角形，则满 足条件的点 P 有( )
A.4个B.6个C.7个D.8个 A -10 45x 第17题图 17.如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图 中已有两个阵点分别标为A,B,请在此点阵图中找一个阵点C,使得以点A,B,C为顶点 的三角形是等腰三角形,则符合条件的C点有 18.如图,在6×6的正方形网格中,点A,B均在正方形格点上,在网格中的格点上找 点C,使△ABC为等腰三角形,则符合条件的C点有 参考答案与解析 1.C2.B 3.解:(1)无数解析:∵到三角形的两个顶点距离相等的点,叫作此三角形的准外心
A．4 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 第 16 题图 第 17 题图 17．如图，在 4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1，该点阵图 中已有两个阵点分别标为 A，B，请在此点阵图中找一个阵点 C，使得以点 A，B，C 为顶点 的三角形是等腰三角形，则符合条件的 C 点有________个． 18．如图，在 6×6 的正方形网格中，点 A，B 均在正方形格点上，在网格中的格点上找一 点 C，使△ABC 为等腰三角形，则符合条件的 C 点有________个． 参考答案与解析 1．C 2.B 3．解：(1)无数 解析：∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心
∴△ABC的准外心是AB,BC,AC的垂直平分线上的点,∴△ABC的准外心有无数个 (2)此题分三种情况:①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC∵CD为等边三角形的 高,∴AD=BD,∠PCB=30°,∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PB=2PD在Rt△PDB中,由勾 股定理得PD2+D=PB2=(2PDy,∴D5DB=bb,与已知PD=4B矛盾, ∴PB≠PC;②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC;③若PA=PB,由PD=AB,得 PD=BD=AD,∴∠APD=∠BPD=45°,∴∠APB=90°点P如图①所示 C D B B 图① =5,AB=3,∴AC=VBC-AB=4分三种情况讨论:①若P1B=PC,设P =x,则P1B=PC=AC-4P=4-x,由勾股定理得x+32=(4-x),∴x=g,即PA= ②若P2A=P2C,则P24=2:③若P3A=P3B,由图可知此点不可能存在.综上所述,P=2 点P如图②所示 4.解:(1)△ABC是生成三角形.理由如下:过点A作AD⊥BC于点D.∵AB=AC,∠BAC =90°,∴:∠B=∠C=45°,∠BAD=∠CAD=1∠BAC=45°,∴∠B=∠BAD,∠C ∠CAD∴△ABD和△ACD是等腰三角形,∴△ABC是生成三角形 (2)如图①,△DEG与△EFG都是等腰三角形.如图②,△DEG与△DFG都是等腰三 角形,∴△DEF是生成三角形 区62FE<6105 G 图 6.4或62解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD= 90°,∴∠ACD=∠B=30°,∴AC=AB,AD=AC由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∴AC BC=2√3,∴AD=3,AB=43,∴DB=AB-AD=33.若△ABP为等腰三角形,需 分三种情况:①当AP=AB=4时,PD=P2-AD=3√5,∴PB=VPD+BD=62: ②当PB=AB=43时,△ABP为等腰三角形.③当AP=BP时,∵PD⊥AB,∴AD=BD 这与已求出的AD=√3,BD=3√3不符,∴此种情况不存在.综上所述,PB=4或6V2 7.C8.不正确没考虑三角形的三边关系9.3
∴△ABC 的准外心是 AB，BC，AC 的垂直平分线上的点，∴△ABC 的准外心有无数个． (2)此题分三种情况：①若 PB＝PC，连接 PB，则∠PCB＝∠PBC.∵CD 为等边三角形的 高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PB＝2PD.在 Rt△PDB 中，由勾 股定理得 PD2＋DB2＝PB2＝(2PD) 2，∴PD＝ 3 3 DB＝ 3 6 AB，与已知 PD＝ 1 2 AB 矛盾， ∴PB≠PC；②若 PA＝PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC；③若 PA＝PB，由 PD＝ 1 2 AB，得 PD＝BD＝AD，∴∠APD＝∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.点 P 如图①所示． (3)∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝ BC2－AB2＝4.分三种情况讨论：①若 P1B＝P1C，设 P1A ＝x，则 P1B＝P1C＝AC－AP1＝4－x，由勾股定理得 x 2＋3 2＝(4－x) 2，∴x＝ 7 8 ，即 P1A＝ 7 8 ； ②若 P2A＝P2C，则 P2A＝2；③若 P3A＝P3B，由图可知此点不可能存在．综上所述，PA＝2 或 7 8 .点 P 如图②所示． 4．解：(1)△ABC 是生成三角形．理由如下：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝ 1 2 ∠BAC＝45°，∴∠B＝∠BAD，∠C＝ ∠CAD.∴△ABD 和△ACD 是等腰三角形，∴△ABC 是生成三角形． (2)如图①，△DEG 与△EFG 都是等腰三角形．如图②，△DEG 与△DFG 都是等腰三 角形，∴△DEF 是生成三角形． 5．C 6．4 3或 6 2 解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝ 90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴AC＝ 1 2 AB，AD＝ 1 2 AC.由勾股定理得 AC2＋BC2＝AB2，∴AC ＝ 3 3 BC＝2 3，∴AD＝ 3，AB＝4 3，∴DB＝AB－AD＝3 3.若△ABP 为等腰三角形，需 分三种情况：①当 AP＝AB＝4 3时，∴PD＝ AP2－AD2＝3 5，∴PB＝ PD2＋BD2＝6 2； ②当 PB＝AB＝4 3时，△ABP 为等腰三角形．③当 AP＝BP 时，∵PD⊥AB，∴AD＝BD. 这与已求出的 AD＝ 3，BD＝3 3不符，∴此种情况不存在．综上所述，PB＝4 3或 6 2. 7．C 8.不正确 没考虑三角形的三边关系 9.3
10.C11.120°或20° 12.30°或90°解析:设最小角的度数为x,则最大角的度数为x+45°当最小角是顶 角时,x+x+45°+x+45°=180°,解得x=30°,此时三角形顶角的度数为30°;当最大角为 顶角时,x+x+45°+x=180°,解得x=45°,此时三角形顶角的度数为90°综上所述,该等 腰三角形的顶角为30°或90° 13.解:由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形,对于△ABD有三种情况:①若AB BD,则∠ADB=∠A=80°,∴∠BDC=180-∠ADB=1009,∠C=(180°-∠BDC)÷2= 40°:②若AB=AD,则∠ADB=(1809-∠A)2=50°,∴∠BDC=180°-∠ADB=130°,∠C (180°-∠BDO)÷2=25°:③若AD=BD,则∠ABD=∠A=80°,∴∠BDC=∠ABD+∠A =160°,∴∠C=(180°-∠BDO+2=10°综上所述,∠C的度数为40°或25°或10° 14.30°或150°9或90°解析:(1)当BC为腰时,AD⊥BC,AD=BC=4C,∴∠ACD =30°如图①,当AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°如图②,当AD在△ABC外部时,顶 角∠ACB=180°-30°=150° D A B B4 图① 图② 图③ (2)当BC为底时,如图③,∵AD⊥BC,AD=BC,∴AD=BD=CD,∴∠B=∠BAD, ∠C=∠CAD,∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°,∴顶角∠BAC=90°综上所述,等腰三角 形ABC的顶角度数为30°或150°或90° 15.解:此题要分情况讨论:当等腰三角形的顶角是钝角时,如图①,腰上的高在三角 形外部.由题意得顶角∠ACB=∠D+∠DAC=90°+20°=110°;当等腰三角形的顶角是锐 角时,如图②,腰上的高在其内部,故顶角∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°综上所述, 顶角的度数为110°或70° D .Bb 图① 图② 16.D解析:∵点A的坐标为(2,2),∴△OAP的边OA=2,这条边可能是底边也 可能是腰.①当OA是底边时,点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点,交点的坐标是(2 0)和(0,2);②当OA是腰且O是顶角顶点时,以O为圆心,以OA为半径作圆,与坐标轴 的交点坐标是(2,0),(-2,0),(0,22),(0,-22):③当OA是腰且A是顶角顶 点时,以A为圆心,以AO为半径作圆,与坐标轴的交点坐标是(4,0),(0,4).故满足条 件的点P共有8个.故选D 17.5解析:如图,分别以AB为腰、底找等腰三角形,故符合条件的C点有5个
10．C 11.120°或 20° 12．30°或 90° 解析：设最小角的度数为 x，则最大角的度数为 x＋45°.当最小角是顶 角时，x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得 x＝30°，此时三角形顶角的度数为 30°；当最大角为 顶角时，x＋x＋45°＋x＝180°，解得 x＝45°，此时三角形顶角的度数为 90°.综上所述，该等 腰三角形的顶角为 30°或 90°. 13．解：由题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD 有三种情况：①若 AB ＝BD，则∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝100°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝ 40°；②若 AB＝AD，则∠ADB＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝130°，∠C ＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③若 AD＝BD，则∠ABD＝∠A＝80°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A ＝160°，∴∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C 的度数为 40°或 25°或 10°. 14．30°或 150°或 90° 解析：(1)当 BC 为腰时，∵AD⊥BC，AD＝ 1 2 BC＝ 1 2 AC，∴∠ACD ＝30°.如图①，当 AD 在△ABC 内部时，顶角∠C＝30°.如图②，当 AD 在△ABC 外部时，顶 角∠ACB＝180°－30°＝150°. (2)当 BC 为底时，如图③，∵AD⊥BC，AD＝ 1 2 BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD， ∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝ 1 2 ×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角 形 ABC 的顶角度数为 30°或 150°或 90°. 15．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①，腰上的高在三角 形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐 角时，如图②，腰上的高在其内部，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述， 顶角的度数为 110°或 70°. 16．D 解析：∵点 A 的坐标为(2，2)，∴△OAP 的边 OA＝2 2，这条边可能是底边也 可能是腰．①当 OA 是底边时，点 P 是 OA 的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2， 0)和(0，2)；②当 OA 是腰且 O 是顶角顶点时，以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆，与坐标轴 的交点坐标是(2 2，0)，(－2 2，0)，(0，2 2)，(0，－2 2)；③当 OA 是腰且 A 是顶角顶 点时，以 A 为圆心，以 AO 为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．故满足条 件的点 P 共有 8 个．故选 D. 17．5 解析：如图，分别以 AB 为腰、底找等腰三角形，故符合条件的 C 点有 5 个．
B C 18.10解析:如图,(1)当BA=BC时,符合条件的有C1,C2 (2)当AB=AC时,符合条件的有C3,C4 (3)当CA=CB时,符合条件的有Cs,C6,C7,C8,C,C10 故符合条件的C点有10个 C .B
18．10 解析：如图，(1)当 BA＝BC 时，符合条件的有 C1，C2； (2)当 AB＝AC 时，符合条件的有 C3，C4； (3)当 CA＝CB 时，符合条件的有 C5，C6，C7，C8，C9，C10. 故符合条件的 C 点有 10 个．