综合滚动练习:特殊的三角形 时间:45分钟分数:100分得分 、选择题(每小题4分,共32分) 1.已知一个等腰三角形底角的度数为80°,则这个等腰三角形顶角的度数为() A.20°B.70°C.80°D.100° 2.已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是() A.12B.15C.18D.2 3.如图,要用HL判定R△ABC和Rt△ABC全等的条件是( B.∠A=∠A',AB=A'B C. AC=AC, AB=A'B D.∠B=∠B,BC=BC 第3题图 第4题图 4.如图,△ABC是等边三角形,P为BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP,且 ∠APD=70°,则∠PAB的度数是() A.10°B.15°C.20°D.25° 5.如图,AD⊥BC,D是BC的中点,那么下列结论错误的是() A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠C C.△ABC是等腰三角形 D.△ABC是等边三角形 A 第5题图 第6题图 6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D,则∠D的度数为() A.15°B.17.5°C.20°D.22.5° 7.(2017滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD BA,则∠B的大小为【方法1②】() A.40°B.36°C.30°D.25°
综合滚动练习：特殊的三角形 时间：45 分钟 分数：100 分 得分：________ 一、选择题(每小题 4 分，共 32 分) 1．已知一个等腰三角形底角的度数为 80°，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A．20° B．70° C．80° D．100° 2．已知等腰三角形的一边长为 6，一个内角为 60°，则它的周长是( ) A．12 B．15 C．18 D．20 3．如图，要用“HL”判定 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′全等的条件是( ) A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 第 3 题图 第 4 题图 4．如图，△ABC 是等边三角形，P 为 BC 上一点，在 AC 上取一点 D，使 AD＝AP，且 ∠APD＝70°，则∠PAB 的度数是( ) A．10° B．15° C．20° D．25° 5．如图，AD⊥BC，D 是 BC 的中点，那么下列结论错误的是( ) A．△ABD≌△ACD B．∠B＝∠C C．△ABC 是等腰三角形 D．△ABC 是等边三角形 第 5 题图 第 6 题图 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点 D，则∠D 的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 7．(2017·滨州中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD ＝BA，则∠B 的大小为【方法 1②】( ) A．40° B．36° C．30° D．25°
第7题图 第8题图 8.★如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2若点M,N分别在OA,OB 且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有() A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上 、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,已知∠B=∠C,从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE这三个等式中 选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有(填序号) 第9题图 第11题图 10.若△ABC的三边a,b,c满足条件:ya-3+b-4+Vc-5=0,则△ABC是 三角形 l1.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则∠DAC+∠C 12.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°折叠该纸片,使点C落在点E 处,折痕为AD若CD=3cm,则BD的长为 cm O Mn B 第12题图 第13题图 13.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点MN在边OB上,PM=PN 若MN=2,则OM= 14.(2017·淄博中考)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意 点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF
第 7 题图 第 8 题图 8．★如图，∠AOB＝120°，OP 平分∠AOB，且 OP＝2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上， 且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．3 个以上 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 9．如图，已知∠B＝∠C，从①BE＝CE，②AB＝DC，③∠BAE＝∠CDE 这三个等式中 选出一个作为条件，可以推出△AED 是等腰三角形的有________(填序号)． 第 9 题图 第 11 题图 10．若△ABC 的三边 a，b，c 满足条件： a－3＋ b－4＋ c－5＝0，则△ABC 是________ 三角形． 11．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，则∠DAC＋∠C＝________°. 12．如图，在三角形纸片 ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°.折叠该纸片，使点 C 落在点 E 处，折痕为 AD.若 CD＝3cm，则 BD 的长为________cm. 第 12 题图 第 13 题图 13．如图，已知∠AOB＝60°，点 P 在 OA 上，OP＝8，点 M、N 在边 OB 上，PM＝PN. 若 MN＝2，则 OM＝________． 14．(2017·淄博中考)如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上的任意一 点，过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，则 DE＋DF＝________．
三、解答题(共44分) 15.(8分)如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿 B方向走了20米,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗? 16.(10分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E 在BC上,且AE=CF请判断AE与CF的位置关系,并说明理由
三、解答题(共 44 分) 15．(8 分)如图，树 AB 垂直于地面，为测树高，小明在 C 处，测得∠ACB＝15°，他沿 CB 方向走了 20 米，到达 D 处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 16．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.请判断 AE 与 CF 的位置关系，并说明理由．
17.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形的 周长为32,求BC和CD的长 18.★(14分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a以OC为一 边作等边△OCD,连接AD (1)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由 (2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
17．(12 分)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的 周长为 32，求 BC 和 CD 的长． 18．★(14 分)如图，点 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.以 OC 为一 边作等边△OCD，连接 AD. (1)当 α＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (2)探究：当 α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
参考答案 1. A 2C 3C 4C 5D 6A 7.B 8.D解析:如图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°OP平分∠AOB ∴∠EOP=∠POF=609OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP, ∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN在△PEM和△PON中 ∠PEM=∠PON PE=PO △PEM≌△PON,∴PM=PN∵∠MPN=60°,∴△PMM是等边三角 ∠EPM=∠OPN, 形,∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选D A 9.①②10.直角11.9012613.3 14.2√3解析:作AG⊥BC于G,连接AD∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°, 由勾股定理得AG=2√3∵S△BD+S△ACD=S△ABC,∴1ABDE+ACDF=BcAG∵AB=AC BC=4,∴DE+DF=AG=2 15.解:∵∠ADB=30°,∠ACB=15°,…∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°,(3分)∴∠ACB ∠CAD,∴AD=CD=20米.(6分)又∵∠ABD=90°,∠ADB=30°,∴AB=AD=10米, 树的高度为10米.(8分) 16.解:E⊥CF(2分理由如下:延长AE交FC于点G∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE 90°(4分)在R△ABE和R△CBF中,∵AE=CF,AB=CB,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL ∴∠EAB=∠FCB(7分)∵∠FCB+∠CFB=90°,∴∠EAB+∠AFC=90°,∴∠AGF=90°, AE⊥CF(10分) 17.解:如图,连接BD(2分)∵AB=AD,∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD AD=8,∠1=60°(5分)又∵∠1+∠2=150°,∴∠2=90°(7分)设BC=x,∵四边形的周 长为32,∴CD=32-AB-BC-AD=16-x在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=BD2+CD2, 即x2=82+(16-x)2,(10分)解得x=10,∴16-x=6,∴BC=10,CD=6.(12分) 18.解:(1)△AOD是直角三角形,(1分)理由如下:∵△ABC,△OCD是等边三角形, ∴BC=AC,OC=CD,∠ACB=∠OCD=60°,∴∠BCO=∠ACD在△BOC与△ADC中 ∠BCO=∠ACD,∴△BOC≌△ADC,(4分)∴∠ADC=∠BOC=a=150°,∴∠ADO BC=AO ∠ADC-∠ODC=150-60°=90°,∴△AOD是直角三角形.(6分) (2)由(1)知△BOC≌△ADC,∴∠CBO=∠CAD设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b
参考答案 1．A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.B 8．D 解析：如图，在 OA，OB 上截取 OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°.∵OP 平分∠AOB， ∴∠EOP＝∠POF＝60°.∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF 是等边三角形，∴EP＝OP， ∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN.在△PEM 和△PON 中， ∠PEM＝∠PON， PE＝PO， ∠EPM＝∠OPN， ∴△PEM≌△PON，∴PM＝PN.∵∠MPN＝60°，∴△PNM 是等边三角 形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选 D. 9．①② 10.直角 11.90 12.6 13.3 14．2 3 解析：作 AG⊥BC 于 G，连接 AD.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝60°，∴ 由勾股定理得 AG＝2 3.∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，∴ 1 2 AB·DE＋ 1 2 AC·DF＝ 1 2 BC·AG.∵AB＝AC ＝BC＝4，∴DE＋DF＝AG＝2 3. 15．解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝15°，(3 分)∴∠ACB ＝∠CAD，∴AD＝CD＝20 米．(6 分)又∵∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴AB＝ 1 2 AD＝10 米， ∴树的高度为 10 米．(8 分) 16．解：AE⊥CF.(2 分)理由如下：延长 AE 交 FC 于点 G.∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE ＝90°.(4 分)在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)， ∴∠EAB＝∠FCB.(7 分)∵∠FCB＋∠CFB＝90°，∴∠EAB＋∠AFC＝90°，∴∠AGF＝90°， ∴AE⊥CF.(10 分) 17．解：如图，连接 BD.(2 分)∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AD＝8，∠1＝60°.(5 分)又∵∠1＋∠2＝150°，∴∠2＝90°.(7 分)设 BC＝x，∵四边形的周 长为 32，∴CD＝32－AB－BC－AD＝16－x.在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 BC2＝BD2＋CD2， 即 x 2＝8 2＋(16－x) 2，(10 分)解得 x＝10，∴16－x＝6，∴BC＝10，CD＝6.(12 分) 18.解：(1)△AOD 是直角三角形．(1 分)理由如下：∵△ABC，△OCD 是等边三角形， ∴BC＝AC，OC＝CD，∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD.在△BOC 与△ADC 中， OC＝DC， ∠BCO＝∠ACD， BC＝AC， ∴△BOC≌△ADC，(4 分)∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝ ∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD 是直角三角形．(6 分) (2)由(1)知△BOC≌△ADC，∴∠CBO＝∠CAD.设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b
∠BAO=c,∠CAO=d,则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,∴∠DAO=a +d=(a+b)+(c+d)-(b+c)=50°由(1)可知∠ADC=∠BOC=a,∴∠ADO=∠ADC ∠CDO=a-60°(8分)△AOD为等腰三角形有以下三种情况:①AO=AD,则∠AOD= 180°-50° ∠ADO,∴ a-60°,∴a=125°;(10分)②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,∴a 180°-(a-60°) 60°=50°,∴a=110°:(12分③OD=AD,则∠OAD=∠AOD, ∴a=140°.综上所述,当a为125°或10°或140°时,△AOD是等腰三角形.(14分)
∠BAO＝c，∠CAO＝d，则 a＋b＝60°，b＋c＝180°－110°＝70°，c＋d＝60°，∴∠DAO＝a ＋d＝(a＋b)＋(c＋d)－(b＋c)＝50°.由(1)可知∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ADO＝∠ADC－ ∠CDO＝α－60°.(8 分)△AOD 为等腰三角形有以下三种情况：①AO＝AD，则∠AOD＝ ∠ADO，∴ 180°－50° 2 ＝α－60°，∴α＝125°；(10 分)②OA＝OD，则∠OAD＝∠ADO，∴α －60°＝50°，∴α＝110°；(12 分)③OD＝AD，则∠OAD＝∠AOD，∴ 180°－（α－60°） 2 ＝50°， ∴α＝140°.综上所述，当 α 为 125°或 110°或 140°时，△AOD 是等腰三角形．(14 分)