第十二章简单回归分析 前面介绍了两变量间关联性分析，本 章与下一章我们将进一步的介绍观察数据 中变量间的数量依存性的回归关系。 第一节{ 简单直线回归
第十二章 简单回归分析 前面介绍了两变量间关联性分析，本 章与下一章我们将进一步的介绍观察数据 中变量间的数量依存性的回归关系。 第一节 简单直线回归
直线回归的概念及其统计描述 在上一章中，对15名健康人疑血浓度 (Y)与凝血时间(X)数据计算相关系数 定量猫述了变量间关联性的强弱程度与方 向。为直观地说明直线▣归的概念，我们 以以上一章中对15名健康人凝血浓度与凝 血时间数据为例，来探讨两变量间依存变 化关系 反应变量(Y)与自变量(X)的简单线性模 simple linear regression model 可表达为 Y=a+BX:+8
一、直线回归的概念及其统计描述 在上一章中，对15名健康人凝血浓度 （Y）与凝血时间（X）数据计算相关系数， 定量描述了变量间关联性的强弱程度与方 向。为直观地说明直线回归的概念，我们 以以上一章中对15名健康人凝血浓度与凝 血时间数据为例，来探讨两变量间依存变 化关系。 反应变量（Y）与自变量（X）的简单线性模 型（simple linear regression model） 可表达为： Yi Xi i = + +
表12·115名健康成人凝血时间与凝血酶浓度测量值 受试者号 12345 6 8 910111213 14 15 X 1.11.21.0 0.91.2 1.10.9 0.61.0 0.9 1.1 09 1.1 1.0 0.7 1413 151513 14161714 161516141517 在通常情况下，研究者只能获取一定数 量的样本数据，用该样本数据建立的有关Y 与X变化的线性方程称为回归方程 (regression equation)嘢x
表12－1 15名健康成人凝血时间与凝血酶浓度测量值 在通常情况下，研究者只能获取一定数 量的样本数据，用该样本数据建立的有关Y 与X变化的线性方程称为回归方程 （regression equation)即： 受试者号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X 1.1 1.2 1.0 0.9 1.2 1.1 0.9 0.6 1.0 0.9 1.1 0.9 1.1 1.0 0.7 Y 14 13 15 15 13 14 16 17 14 16 15 16 14 15 17 Y ˆ = a +bX
在描述两变量的关系时，一般把两个变量中能 精确容易测量的作自变量，不易测量作为因变量： 即用易测量的数据X估计不易测量的另一数据。如 年龄估算小儿体重等。在描述凝血时间与凝血浓度 的依存关系中，将凝血酶浓度作为自变量(X)， 凝血时间作为应变量(Y)。由图12-1可见，凝 血时间随凝血酶浓度增大而减少且呈直线趋势，但 并非15点恰好全部都在一直线上。两变量数量间虽 然存在一定关系，但不是十分确定的。这与两变量 间严格对应的函数关系不同，称为直线回归 (Linear regression)。直线回归是回归分析中 最基本、最简单的一种，故又称简单simple regression)
在描述两变量的关系时，一般把两个变量中能 精确容易测量的作自变量，不易测量作为因变量。 即用易测量的数据X估计不易测量的另一数据。如 年龄估算小儿体重等。在描述凝血时间与凝血浓度 的依存关系中，将凝血酶浓度作为自变量（ X ）， 凝血时间作为应变量（Y）。由图12－1可见，凝 血时间随凝血酶浓度增大而减少且呈直线趋势，但 并非15点恰好全部都在一直线上。两变量数量间虽 然存在一定关系，但不是十分确定的。这与两变量 间严格对应的函数关系不同，称为直线回归 （Linear regression)。直线回归是回归分析中 最基本、最简单的一种，故又称简单simple regression)
凝血时间（秒） 09 18 17 16 15 14 13 12 .5 .6 .7 .8.9 1.0 1.1 1.2 1.3 凝血酶浓度（毫升） 图 12-1 凝血浓度与凝血时间的散点分布
图 12－1 凝血浓度与凝血时间的散点分布 凝血酶浓度（毫升） .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2 1.3 凝 血 时 间 （ 秒 ） 20 19 18 17 16 15 14 13 12
二、回归模型的前提假设 线性回归模型的前提条件是：线性 (linear)、独立(independent),正态 (normal),等方差(equal variance) 1、线性是指反应变量Y的总体平均值与自 变量X呈线性关系。 2、独立是指任意两观察值互相独立 3、正态性假定是指线性模型的误差项ε服 从正态分布， 4、等方差是指在自变量X取值范围内，不 论X取什么值，Y都具有相同的方差：
二、回归模型的前提假设 线性回归模型的前提条件是：线性 （linear)、独立(independent)，正态 (normal)，等方差(equal variance) 1、线性是指反应变量Y的总体平均值与自 变量X呈线性关系。 2、独立是指任意两观察值互相独立。 3、正态性假定是指线性模型的误差项i服 从正态分布。 4、等方差是指在自变量X取值范围内，不 论X取什么值，Y都具有相同的方差
X X2 X Xa X 图12-2 回归模型前提假设示意图
三、回归参数的估计 一)回归参数估计的最小二乘原则 参数α与一般只能通过样本数据来估计。 当X取值为X时，Y的平均值的估计 应为a+bX而实际观察值为Y。两者之差 称为残差(residual),即，=y,-(a+bX,) 当a与b取不同值时获取不同的候选直线 如能求a与b的适宜值，能使所有实测值 到这条直线的上纵向距离的平方和为最小 则称这一对a和b为与β的最小二乘估计 least estimation,LES)
三、回归参数的估计 一）回归参数估计的最小二乘原则 参数与一般只能通过样本数据来估计。 当X取值为Xi时，Y的平均值的估计 应为a+bXi ,而实际观察值为Yi。两者之差 称为残差（residual)，即 当a与b取不同值时获取不同的候选直线， 如能求a与b的适宜值，能使所有实测值 到这条直线的上纵向距离的平方和为最小， 则称这一对a和b为与的最小二乘估计 （least estimation,LES)。 i y ˆ ( ) i Yi a bXi e = − +
二)回归参数的估计方法=α+bX a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X每改变 一个单位，Y的变化的值，称为回归系数；表 示在X值处Y的总体均数估计值。为求a和b两 系数，根据数学上的最小二乘法原理，可导 出a和b的算式如下： 6=∑K-Y-) Σ- a=Y-bX 。-∑x-收-)=∑r-ΣxΣ Σx-y=xx-②x
二）回归参数的估计方法 a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X每改变 一个单位，Y的变化的值，称为回归系数；表 示在X值处Y的总体均数估计值。为求a和b两 系数，根据数学上的最小二乘法原理，可导 出a和b的算式如下：
1.由原始数据及散点图的初步分析，本例 呈直线趋势，故作下列计算 2.求 ∑X∑r∑X∑∑Y ∑X=14.7,∑Y=224,∑X2=14.81 ∑r2=3368,∑7=216.5。 3.计算X、Y的均数，及离均差平方和xX yy与离均差积和xw。 1-zx-对=x区y-1481 4.72 =0.404 n 15
1.由原始数据及散点图的初步分析，本例 呈直线趋势，故作下列计算。 2.求 3.计算X、Y的均数，及离均差平方和lXY、 lyy与离均差积和lXY