中国石油大学（华东）：《统计学》课程教学课件（讲稿）第4章 概率基础与抽样分布

第四章 概率基础与抽样分布 第一节 概率基础 第二节抽样分布

第四章 概率基础与抽样分布 第二节 抽样分布 第一节 概率基础 1

第一节 概率基础 一、正态分布（统计学中最重要最常用的分布） f(x) -3o4-2o4-044+64+2o4+3o

一、正态分布（统计学中最重要最常用的分布）   3   2        2   3 f (x) x 2 第一节 概率基础

(一)正态分布曲线的特点 (1)曲线的图形是一个单峰钟形曲线，它关于直线=对称，在=4士o处有拐 点： (2)曲线在=处达到最高点，从这个最高点出发，往正负两个方向下降，无 限逼近横轴，曲线与横轴的面积等于1； (3)均值、中位数和众数三者重合，都为 (4)正态分布曲线由参数和σ完全确定，当σ相等而不等时，曲线的图形沿 着X轴平行移动，形状不变；当μ相等而σ变小时，曲线变得狭高，反之，σ增 大时，曲线变得扁平

（一）正态分布曲线的特点 （1）曲线的图形是一个单峰钟形曲线，它关于直线x=μ对称，在x=μ ±σ处有拐 点； （2）曲线在x=μ处达到最高点，从这个最高点出发，往正负两个方向下降，无 限逼近横轴，曲线与横轴的面积等于1； （3）均值、中位数和众数三者重合，都为μ； （4）正态分布曲线由参数μ和σ完全确定，当σ 相等而μ不等时，曲线的图形沿 着X轴平行移动，形状不变； 当μ 相等而σ变小时，曲线变得狭高，反之， σ增 大时，曲线变得扁平。 3

01=02=03 f) X 4 4 4 μ反映正态分布的中心位置和变量的集中程度

1 2  3 f(x) x μ反映正态分布的中心位置和变量的集中程度 1  2 3 4

01<02<03 0①2 X u σ反映分布的离散程度； σ越小，曲线就越尖、越高； σ越大，曲线就越平坦；

  1 2 3  1   2   3 x σ反映分布的离散程度； σ越小，曲线就越尖、越高； σ越大，曲线就越平坦； 5

(二)正态分布的性质 (1)若X服从正态分布，则对任意的常数a（a0)、b,Z=aX+b也服 从正态分布。 (2)若X、Y服从正态分布，则对任意的常数a,b（a、b不全为0)， Z=aX+bY也服从正态分布。 (3)若X1,X2,.,X,服从正态分布，且相互独立，则对任意n个常 数a1,42,.,an（不全为0)，Za1X+a2X++anXn也服从正 态分布。 6

（二）正态分布的性质 （1）若X 服从正态分布，则对任意的常数 a（ a ≠0）、b，Z=aX+b也服 从正态分布。 （2）若X 、Y服从正态分布，则对任意的常数 a、b（ a 、b不全为0）， Z=aX+bY也服从正态分布。 （3）若X 1， X 2，.， X n服从正态分布，且相互独立，则对任意n个常 数 a1， a2 ，.， an （ 不全为0），Z= a1 X1+ a2 X2+.+ an Xn也服从正 态分布。 6

(三)正态分布的数学期望和方差 X)- -(x-4)2 =(,4Xg+u=a v(X)=x2f(x)dx-u -(x-42 e 202 dx-u2=o2 在正态分布中，数学期望值和方差σ2分别为位置参数和形状参数，记 为X≈N(u,σ2)

（三）正态分布的数学期望和方差                                         e d x x E X xf x d x x e d x x x 2 1 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1                    x e dx V( X ) x f ( x )dx ( x ) 在正态分布中，数学期望值μ和方差σ 2分别为位置参数和形状参数，记 为X～N(μ， σ 2 ) 7

(四)标准正态分布 标准正态分布：X~N(0,1) p (x) =0=1 -x δ 标准正态分布概率密度函数0(x): 由于对称性、面积为1p(一x)=1一9(x)

（四）标准正态分布 标准正态分布： X～N(0， 1) 标准正态分布概率密度函数φ（x）： 由于对称性、面积为1 φ（－x）=1－ φ（x） 0 x μ=0 σ=1 -x x φ（x） 8

(五)一般正态分布的标准化 由正态分布的性质1可知，X~N(4,σ2)，则(X一)1o也 服从正态分布。 令Z=(Xμ)1o E2=。(X-0=2E(X0-川=（u-川=0 va=vK-=vK-0=2.2=1

（五）一般正态分布的标准化 由正态分布的性质1可知，X ～N（μ, σ 2 ）,则（X－μ）/σ也 服从正态分布。 令Z= （X-μ）/σ     0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )               E Z E X E X 1 1 V( ) 1 V( ) 1 V( ) 2 2 2 2             Z X X 9

Z服从均值为0，方差为1的标准正态分布，即Z~N(0,1) 于是X的分布函数 PX=后z=1- 这种将变量线性变换为☑变量的过程，称为正态分布标准化。经 过标准化，对任意x,通过查标准正态分布表求得的0(z)函数值。 0

于是X的分布函数 这种将X变量线性变换为Z变量的过程，称为正态分布标准化。经 过标准化，对任意x，通过查标准正态分布表求得的φ（z）函数值。 Z服从均值为0，方差为1的标准正态分布，即Z ～N（0, 1 ）                                                                x x P Z X x P X x P x x P Z X x P X x P ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 10