经济数学 令浙江商术械掌挂称摩院 2.4高阶导数 1.引入 设作变速直线运动的物体的运动规律为S=5(t), 问：在某一时刻的加速度应当怎样求解？ 由运动规律S=S(t)可知，速度为v=v(t)=S'(t)。 加速度是速度的变化率，是速度的导数。因此求加速度需要位移 关于时间连续求两次导数。 9] 二2.4高阶导数
经济数学 2.4 高阶导数 设作变速直线运动的物体的运动规律为 ， 问：在某一时刻 的加速度应当怎样求解？ ? s = s(t) 0 t 1.引入 由运动规律 s = s(t) 可知，速度为 v = v(t) = s (t) 加速度是速度的变化率，是速度的导数。因此求加速度需要位移 关于时间连续求两次导数。
经济数学 以浙江商業械業核钠，墨院 ZheJlang Vecational Cotlege 0f commorco 2.高阶导数的概念 定义2.3 如果函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍是x的可导函数， 则称f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作： ),酸”，政装，成装 df 类似地，可以定义函数y=f(x)的三阶，四阶，…，几 阶导数，它们分别记作： y"y4,,y0 d3y dy d"y 或 ，k，等等。 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 9 2.4高阶导数
经济数学 定义2.3 f (x0 ) ，或 y ，或 2 ，或 2 dx d y 2 。 2 dx d f 2.4 高阶导数 2.高阶导数的概念 y = f (x) y = f (x) x f ( x) f ( x) 如果函数 的导数 仍是 的可导函数， 则称 的导数为 的二阶导数，记作： 类似地，可以定义函数 y = f (x) 的三阶，四阶，…， n 阶导数,它们分别记作： y (4) y (n) ， ，…， y 或 3 3 dx d y 4 4 dx d y n n dx d y ， ，…， 等等。 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
经济数学 浙江商常减掌核锅业院 3.高阶导数的求法 根据高阶导数的概念，用什么方法可以求一个 函数的高阶导数？ 例1 设函数y=4x2+6x-2,求y”。 解：y'=(4x2+6x-2)'=8x+6 y”=(8x+6)'=8 9 2.4高阶导数
经济数学 ? 根据高阶导数的概念，用什么方法可以求一个 函数的高阶导数？ 4 6 2 2 例1 设函数 y = x + x − ，求 y 。 解： (4 6 2) 8 6 2 y = x + x − = x + y = (8x + 6) = 8 2.4 高阶导数 3.高阶导数的求法
经济数学 会浙江商常瓣掌祛期摩院 3.高阶导数的求法 例2 设函数y=e-x3,求y"(0)。 解： 因为y'=e-3x2 y"=e*-6x ym=e*-6 所以y"(0)=1-6=-5 *例3 设函数y=x”,求ym) (n为正整数)。 解：y'=(x"y=x1y”=(x-ly=nn-1)x-2 y"=(n(n-1)x"-2)y=n(n-10(n-2)x-3 由此推得 y(m =n! 二2.4高阶导数
经济数学 解： y e x x = − 6 = − 6 x y e 所以 y (0) = 1− 6 = −5 2 y e 3x x 因为 = − 2.4 高阶导数 3.高阶导数的求法 设函数 ，求 。 3 y e x x 例 = − y (0) 2 解： 1 ( ) − = = n n y x nx 1 2 ( ) ( 1) − − = = − n n y nx n n x 2 3 ( ( 1) ) ( 1)( 2) − − = − = − − n n y n n x n n n x ! ( ) y n n 由此推得 = …… …… 设函数 ,求 。 n y = x (n) ＊例3 y （ n 为正整数)
经济数学 名交浙江方常碱常拉将膨院 ZheJlang Vecatlonal Cotloge o1 Commorco 3.高阶导数的求法 例4求由方程 2 62 =1所确定的隐函数的导数y”。 解： 对方程 x2 y2 2+6户=1两端同时关于X求导，得 2x,2y' 62=0 b'x 于是得 y= a'y 对上式两端同时关于X求导，得 y"=- a"b2y-a2b2xy' a'y2 9 .4 高阶导数
经济数学 2.4 高阶导数 3.高阶导数的求法 解： 对方程 2 1 两端同时关于 x 求导，得 2 2 2 + = b y a x 0 2 2 2 2 = + b yy a x 于是得 a y b x y 2 2 = − 对上式两端同时关于 x 求导，得 4 2 2 2 2 2 a y a b y a b xy y − = − 例4 求由方程 1 所确定的隐函数的导数 y 。 2 2 2 2 + = b y a x +
经济数学 众浙江商常碱津挂掷膨院 3.高阶导数的求法 将y'=- b2x 代入得 a'y ”、 62-x( b2x a'y' b2(a2y2+b2x2) a2 ay 因为 x2,y2 =1，所以2y2+bx2=262 b 代入得 y"=- ayi 注：y与y都是的函数。 9 2.4高阶导数
经济数学 注：y 与 y 都是 x 的函数 。 2.4 高阶导数 3.高阶导数的求法 1 2 2 2 2 + = b y a x 因为 2 2 2 2 2 2 ，所以 a y + b x = a b 代入得 2 3 4 a y b y = − 将 代入得 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a y b a y b x y a y b x y x a b y + = − − − = − a y b x y 2 2 = −
经济数学 令浙江商常碱津拉期摩院 ZheJiang Vecatlonal College of Commerce 4.课堂练习 (一)求下列函数的二阶导数： 1)y=In2x y=-文 1少2 2)y≤七 (x-0 3)y=tanx 4)y=e*cosx y"=2secxtanx y"=-2e*sinx 。(二)求硒数y=十的阶导数，)三仁。m 1+x (1+x)中 +(三)设函数y-sim(x+y)=0,求y”与y1x0。 y”=sim(x+y) [cos(x+y)-1]3 y"l(=0 9 一2.4高阶导数
经济数学 （一）求下列函数的二阶导数： 1） −1 = x x 2） y 3） y = tan x y e x x 4） = cos y = ln 2x 3 ( 1) 2 − = x y y 2sec x tan x 2 = 2 1 x y = − y e x x = −2 sin 2.4 高阶导数 4.课堂练习 1 ( ) (1 ) ! ( 1) + + = − n n n x n y 3 [cos( ) 1] sin( ) + − + = x y x y y 0 ( ,0) = y （二）求函数 的 x y + = 1 1 * n 阶导数。 （三）设函数 y − sin( x + y) = 0 ，求 y 与 ( ,0) + y
经济数学 交浙江商常械掌拉期摩院 ZheJlang Vecational Cotloge o1 Commorco 作业 习题2 101(1)一(4)，11 9] 2.4高阶导数
经济数学 作业 2.4 高阶导数 习题2 10/（1）—（4），11